小學生數學表達內涵意蘊與價值指向探究

江蘇省南京市南化實驗小學 周雨辰

華羅庚先生曾說過，學生在數學表達上要想得清楚，說得明白，寫得干凈。數學表達是數學學習的重要方式，更是應用數學的重要途徑。數學思維是內隱的，而數學表達卻是外顯的。核心素養的培育與發展，離不開數學思維的提升；數學思維的發展，則離不開數學表達的優質化訓練。在小學數學教學中，重視學生數學表達能力的培養，可以優化數學教學，促使學生核心素養落地生根。

一、數學表達的內涵意蘊

（一）數學表達的界定

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學。數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言，它包含了文字語言、圖形語言和符號語言等。表達是將思維所得的成果用語言以語音、語調、表情、行為等方式，以文字和口語反映出來的一種行為。而數學表達是指學生在數學學習過程中，針對具體的數學問題，基于已有的經驗認知，對認知對象進行模仿識記、分析歸納、再加工、再學習，并借助數學的語言、符號、圖形和表達式等豐富的表達形式，以口頭語言、書面語言和實物操作等方式，表達、交流和分享對數學認知對象的理解、解決問題的過程、觀點及結論的思考等學習行為。數學表達是以數學的語言表達思維，是以數學的方式表征現實問題。

（二）數學表達的特征

1.數學表達具有規范性

數學是一門嚴謹的學科，數學的學習要求嚴謹、邏輯性強，以充分地體現數學的核心和本質，更好地契合數學邏輯。在課堂教學環節，數學表達應在交流和補充中不斷地完善，力求做到規范表達。

例如，在日常教學“商不變的規律”時，學生往往可以做到通過觀察表格中被除數、除數和商的變化，總結出被除數和除數變化對商的影響的一般規律，但是通常會忽略“除數為0”這個特殊情況。此時，教師可以通過引導學生進行交流，思考除數不能為0的情況，通過學生的層層思考與不斷補充，將總結出的規律不斷完善總結，從而得到完整的“商不變的規律”。規律的補充就使數學表達更加具有一定的規范，這一環節就是數學表達不斷規范的體現。

2.數學表達具有多樣性

課堂教學中數學表達不限于口頭語言表達，教師還可以借助數學文字語言、符號、圖形和表達式等豐富的表達形式，通過口頭語言、書面語言和實物操作等方式進行表達。課堂教學中，教師應多加鼓勵學生用自己的方式表達，激發數學表達的多樣性，創造多樣的表達環境。例如，學習“100以內的加減法”時，有的學生會通過計數器撥珠進行思考，表達算法；有的則會借助擺小棒進行計算，展示算法；有的會通過同桌互相交流進行知識習得；有的則采用畫圖的方式幫助理解。這些均是數學表達的方式。不同的思維方式通過不同的數學表達得以體現。學生通過說、寫、畫等方式，表達各自的思維過程。

3.數學表達具有多元性

數學表達不僅是學習者單方面的個人表達，還可以是教師與學生、學生與學生之間學習互動的表達。教師對學生表達進行評價與指導，及時對學生的思維進行反饋，學生與學生之間的小組交流、互相討論習得、評價與反思的過程等，都是數學表達的參與方式，它們呈現多元化的樣式與特性。在課堂教學中，教師應積極創造表達交流的環境，營造生生交流、師生交流的良好學習氛圍，讓學生表達的方式更加多元化，這樣才能更好地激發學生的學習興趣，促使學生的核心素養落地生根。

（三）數學表達的層次水平

對于相同的問題情境，不同的數學表達方式與思維程度，所對應的數學表達層次水平會有不同。根據個體對問題的理解程度，數學表達可以分為四個層次：經驗性表達、概念性表達、結構性表達和創造性表達。

例如，教學蘇教版數學一年級下冊“數的順序”時，教師出示空白的百數表（如圖1）并提問：你知道深色框中的數字是多少嗎？你是怎么知道的？

圖1

生1：我從第一個格子一個一個地數，數到這里就是96。

生2：我發現一行有十個，所以我是從第一個格子五個五個地數，數到95后面是96。

生3：我是先橫著一個一個地數，先數到6，再豎著十個十個地數，6，16，26……96。

生4：我有兩個方法，不僅可以正著數，還可以從最后一格100倒著數。100，99，98，97，96。

通過這幾個學生的數學表達，我們可以從中分析出不同的表達層次和思維層次。

生1的表達屬于經驗性表達。經驗性表達是基于已有經驗的認識，對認知對象進行單一的點數指認、模仿、識記和機械表達。這一層次的表達特征具有易錯性和片面性。而運用概念性表達層次的學生可以通過分析、歸納等方法，對認知對象之間的邏輯關系進行學科本質的表述，具有一定程度的邏輯性、關聯性和理解性。

生2的表達在經驗性表達的基礎上，加入了自己的歸納與思考，對應概念性表達層次。結構性表達層次的學生則會對認知對象進行再加工，有更深層次的認知，能對對象的整體與部分的關系加以表達，獲得豐富的數學認知，具有豐富性和結構性。

生3能夠對百數表的數據排列規律進行思考，并認識到百數表中的數據與百數表的位置關系，能達到結構性表達水平。達到結構性表達層次的學生，對前認知進行再學習和再評價，綜合運用知識解決相關問題并進行表達，具有綜合性和整體性特征。

從生4的數學表達中可以看出，該學生不僅可以對百數表的規律進行正向掌握，還能將規律綜合運用進行逆推，充分從整體上掌握了百數表，在一定程度上達到了創新性表達。

從以上的課堂案例可以看出，經驗性表達、概念性表達、結構性表達和創造性表達這四種表達層次逐層遞進，互相關聯。

二、數學表達的價值指向

（一）有利于核心素養培養的落實

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出，讓學生會用數學的語言表達現實世界。《中國學生發展核心素養》中，也包含對表達與交流能力的要求。史寧中教授認為，數學核心素養主要體現在情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思的綜合運用能力上。可見，只有加強對學生數學表達能力的培養，才能促進其核心素養培育的深度落實。

（二）有利于提升教學的有效性

思維是內隱的。在教學時，教師借助學生的數學表達，可以對學生的學習思維進行判斷、評估，數學表達可以將數學的思維外顯并甚至實現可視化。經驗性表達在低年級中較為常見，表達時學生更加關注知識點本身，結合自己的已有經驗進行思考表達，體現的思維類型為形象思維。概念性表達通常在抽象思維的基礎上體現，在中年級的數學課堂較能體現。學生不僅可以結合相關的認知經驗，還能進行一些簡單的分析。在高年級數學教學中，學生能夠在思考問題時關注到知識之間的邏輯性，結構性表達更為突出，體現的思維則更加側重于邏輯思維。而創造性表達需要學生有較強的創造性思維，不僅要能熟練掌握知識，還要能夠將知識進行靈活運用，這一表達和思維層次往往可遇而不可求。如圖2，根據學生數學表達的表現，將數學表達的四個層級與數學思維的四個層級進行一一關聯對照，教師就可以準確把握學生的學習情況，及時調整教學方式并分層次進行針對性輔導，實施有效教學，做到順學而教、因材施教，從而提高教學效率。

圖2

（三）有利于觸及學習數學的本質

數學是一門邏輯性很強的學科，學生在數學學習的過程中通常需要對認知對象展開分析、判斷、推理等思維活動。對這些思維過程的表達，不僅可以培養學生的思維邏輯性，還可以使其在表達中不斷地提升對認知對象本質的思考與理解，促進學生對數學本質的解讀。

例如，在教學蘇教版數學四年級上冊“解決問題的策略（列表）”時，教師可以讓學生通過分析題目中的條件和問題，用自己的方式整理相關數學信息。有的學生選擇文字整理，有的學生選擇列表整理。在表征數學已知條件和問題作品的對比與交流中，學生可以逐漸感受列表方式的方便與快捷，體會到解決問題的方法不同的本質，從而根據不同的問題選擇恰當的方式，以解決實際問題，這就深刻地觸發了學習思維中講究策略的本質認識。

（四）有利于培養學生的自信心

教師在課堂上要積極鼓勵學生用自己的方式表達數學思維，努力促使學生數學學習中的交流能力、合作能力等得到相應的鍛煉。學生在展示交流中互相傾聽、互相學習，多種表達方式不斷交融，可以更好地激發學生的表達欲望，有利于提升其數學學習的自信心，增強其對數學學習的興趣，幫助其體會數學學習中的美妙意趣。

對學生數學表達能力的培養，不是一蹴而就的，它是一個長期的、循序漸進的過程。教師只有在教學過程中重視對學生數學表達能力的培養，不斷創設數學表達的情境，呵護、鼓勵學生想表達、會表達、善表達的種子不斷萌發，才能真正開啟數學思維的大門，讓核心素養落地、生根、發芽。