比較冪的大小的幾種方法

文／南京師范大學第二附屬初級中學 王梓琦

比較冪的大小是我們經常遇到的題目。于是，我總結了一些常用的冪的大小比較方法，與小伙伴們進行分享。

方法一：直接運算，再比較

1.比較23與32的大小。

我比較喜歡此類題目，因為要比較的數值小，只需口算就行。像這類冪的數值比較小的題目，我們可以直接先運算，計算式子結果，然后再比較即可。23=8，32=9。因為8＜9，所以23＜32。

方法二：統一指數，比底數

2.已知a=350，b=440，c=530，則a、b、c的大小關系是________。

仔細對比，我發現三個數字的指數都有因數10，于是想到將指數先統一成三個指數的最大公因數，然后比較底數，問題就迎刃而解了。a=（35）10=24310，b=（44）10=25610，c=（53）10=12510。因 為125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即c＜a＜b。

方法三：統一底數，比指數

3.已知a=8131，b=2741，c=961，則a、b、c的大小關系是________。

有了方法二的經驗，我想到老師說的類比思想，于是試著將所有的底數都統 一。a=8131=（34）31=3124，b=2741=（33）41=3123，c=961=（32）61=3122。因 為124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122。即a＞b＞c。該方法需要我們對數字有較高的敏感性，能看到指數、底數之間的關聯哦。

方法四：作差法

4.已知M=62001+72003，N=62003+72001，比較M、N的大小。

這種類型的題目顯然無法用以上三種方法解題，但我觀察到M、N均有底數6 與7，想到：若a-b＞0，則a＞b。也就是說，若M-N＞0，則M＞N。于是我將M、N作差，M-N=62001+72003-62003-72001=72001×（72-1）+62001×（1-62）=72001×48-62001×35＞0，所以M＞N。

方法五：作商法

像這類指數龐大、底數有一定聯系的題目，我們可以采用作商法進行比較。

所以P=Q。

當然，這道題也可以通過化簡P直接得到結論，感興趣的小伙伴可以試一試。

方法六：放縮法

6.已知a=1996，b=9618，c=1996，d=6199，則這四個數的大小關系為________。

若要證明a＞b，可以尋找一個中間量c，證明a＞c且c＞b，從而得到a＞b。這道題目要比較的數比較多，于是我試著尋找中間量。因為6199＞6198，而6198=3699＞1996，1996=36148＞9618，而9618=（963）6＞1996，所以d＞a＞b＞c。

感悟：在求解比較冪的大小相關的題目時，我們不能被龐大的數字嚇到，而應該勤練習、多總結，積累更多的答題方法，從而游刃有余地解決各類問題。

教師點評

小作者通過“冪的運算”一章的學習，比較系統地總結出六種“冪的大小比較”題型的解法，從最簡單的“直接運算法”到較復雜的“放縮法”，循序漸進，思維縝密。其實，我們研究其他類型的數學題時，也需要由淺入深，自然也會收到“水到渠成”“撥云見日”的效果。