高中數學二次函數建模能力培養

隨著數字化發展以及科學技術的進步，數學知識應用范圍不斷擴大，相關應用內容變得更加豐富，這對現代人才的建模素質與能力提出了越來越高的要求。高考數學試卷中考查學生數學建模能力的題型是必考題，但是如果高中生本身缺乏數學建模思想，會直接影響他們數學解題能力的發展，同時也會限制他們的實踐操作能力以及核心素養的養成。其中二次函數是高中數學教學中一類非常重要的函數，相應的二次模型建構能力關系學生能否順利解決二次函數問題。

一、數學二次函數建模能力培養的價值

鑒于農村地區教學條件有限，師資力量不足等問題較為突出，直接影響了高中生的數學知識學習效果。為了提高學生學習數學知識的效果，必須持續提高學生的數學學習能力。其中二次函數題型是高中數學教學中的重要題型之一，主要是圍繞二次函數，再聯系人們的生活實際，構建生活化的數學問題。函數題型主要考查學生對函數知識的理解與認識以及他們運用二次函數知識求解實際生活問題的能力，力求達到“學以致用，學以活用”的目的。縱觀以往的高考數學函數題型可知，其可以同利潤、物價、人口、產量以及路程等生活化實際問題有機結合，構成生活化函數問題。而數學建模思想是高中數學核心素養培養的題中之義，關系學生能否靈活應用所學函數知識來解決實際生活問題的能力。因為任何一道貼近生活實際的函數問題，經過建模思想的運用，可以從中構建出對應的函數模型，使學生應用所學函數部分的知識，便捷、快速地求解問題，極大提高了學生解決實際問題的實踐能力，助力高中生數學核心素養的養成。

二、數學二次函數建模能力培養的基本思路

二次函數是高中數學學習階段非常重要的一類題型，本身是函數知識和實際生活問題的有機結合，綜合性與繁雜性比較強。在將數學建模思想應用于高中二次函數題型求解時，必須明確基本的應用思路，主要可以歸結為如下幾個步驟：

第一步，挖掘和分析問題。在解決二次函數題型期間，要首先認真閱讀題目，明確已知解題條件和待求問題，搞清楚所求問題的求解本質以及數學問題中涉及哪些類型的函數知識。

第二步，建立和求解模型。在搞清楚待求二次函數題型的求解信息基礎上，需要從中歸納、總結出其中所涉及的二次函數模型，包括明確二次函數模型的基本變量參數，確定函數的基本求解信息等。而在構建二次函數模型期間，還要注意綜合考慮化歸思想、分類討論思想等一些數學思想，避免單純應用數學建模這一單一數學思想而影響最終數學模型構建的效果。

第三步，檢驗和應用模型。在構建求解數學問題的數學模型基礎上，需要調用相應知識來解決數學函數問題，再聯系實際快速求解問題。

基于上述三個數學建模思想的應用過程，可以在分析待求解二次函數題型的過程中經歷問題分析、模型建構與應用幾個關鍵的解題過程，最終可以快速找到解決問題的突破口。

三、數學二次函數建模能力培養的有效策略

（一）應用于方程和不等式問題解決

二次函數建模構建的基礎是學生對二次函數的性質、圖像特征等方面知識形成深刻認知，并在此基礎上有效結合具體的問題來開展深入剖析，找出其中包含的二次函數部分知識，力求借助二次函數模型建構提高學生的二次函數建模能力。在二次函數問題剖析中，由于涉及不等式、方程與函數等多方面內容，所以求解中可以針對性選擇相關問題來開展深入剖析。

例1：如圖1是某一二次函數的圖像，結合給定圖像求解如下問題：

（1）求解二次函數的兩個根；

（2）試求ax2+bx+c＞0這一不等式的解集；

（3）伴隨x的增加，y值不斷減小，試求x取值范圍是多少？

（4）假定方程ax2+bx+c=k，總計2個不相等的實數根，試求參數k取值。

解析：針對本道二次函數類型題，在求解中需要學生認真分析，尤其是要明確問題求解中包含的二次函數性質、圖像特征等方面知識，避免因為無法深入剖析問題而直接影響了問題的順利求解。函數概念是認識函數的基礎，由于高中階段涉及指數、對數、三角函數等幾類函數，并且不同類別函數的概念有所不同，這使得各種函數題型在求解中必須明確相應的函數類型及概念，之后才能在此基礎上有效構建及應用相應的函數模型。

解：針對問題（1），可以結合圖1中二次函數與x軸之間的交點來確定相應的答案，即：x1=1，x2=3。針對問題（2），可以在構建模型中同樣結合圖像性質，明確其實際上是x軸之上部分，故相應解題答案是1lt;xlt;3。針對問題（3），為了保證隨著x值的增加而使得y值出現變小的情況，主要表現為“減函數”，這就需要做到對稱軸的右側，即正確答案是“xgt;2”。針對問題（4），在構建二次函數模型過程中，可以將等式左邊看作是一個二次函數圖形，等式右邊可以看成y=k這一平行于x軸的直線，為了保證二者相交過程中保持2個不同的點，必須要保證y=k這一直線本身同函數圖像之間呈現為2個交點，即klt;2。

（二）應用于方程組求解問題

二次函數模型建構的根本出發點是借助模型建構來幫助學生調用二次函數部分的知識對問題進行剖析與解決，幫助他們可以更加高效、準確掌握所學知識點。方程組求解也是高中生常見的一類問題，以往的問題求解可能會采用常規求解方法，但是二次函數的方程組求解可能會涉及到較多步驟，工作量相對較大。而如果可以指導在對方程組問題進行求解中創新運用二次函數模型建構思路，那么可以幫助他們快速簡化問題。

例2：如圖2，現有一二次函數ax2+bx+c=k的拋物線圖像和x軸相交在A點與B點，和y軸相交在C點，其中頂點是P點。已知A點和B點橫坐標分別是-3和1。

（1）試求參數m和n；

（2）試求直線PC解析式。

解析：針對本道二次函數問題的求解，如果直接采取常規的解題方法，那么整個解題過程比較復雜，但是如果可以指導學生在對問題進行剖析與求解中創新融合二次函數建模思路，那么能夠對相應問題進行快速求解。

解：（1）基于題干信息，可知二次函數本身經過了A（-3，0）和B（1，0）這兩個點，故可知：

求解可知m=1，n=-3/2。

（2）由于y=[12]x2+x-[32]，故可以確定P點與C點的坐標，假定直線PC解析式是y=kx+b，這樣可知：

求解可知：k=1/2，b=-3/2。

如此一來，就可以對直線PC解析式進行確定，具體就是：y=[12]x-[32] 。

基于上述解題可知，在對二次函數問題進行剖析過程中，方程組求解本身同二次函數圖像交點坐標之間關系具有非常緊密的聯系。在指導學生學習和利用二次函數模型建構方法期間，必須要注重指導學生熟練掌握方程組求解方法，尤其是要使學生對二次函數、方程之間的緊密聯系進行明確。

（三）應用于生活實際的問題解決

為了對學生的二次函數建模能力進行有效鍛煉及提升，需要指導學生靈活運用該種建模能力，簡化學生求解問題的思路，使他們高效解決有關二次函數問題。

例3：現有一農場要修建養雞場，為了節約養雞場建設的材料，雞場一邊背靠著一堵長度足夠的墻，其余部分則選擇應用長度30m的竹籬笆進行圍建。現在建設過程中總計包括如下兩種建設方案：其一，針對方案一，主要是圍成圖3的一個矩形；針對方案二，主要是圍成圖3中的一個半圓形。假定矩形面積是S1，寬是x，半圓形面積是S2，半徑是r，試計算該選擇哪種建設方案來保證養雞場面積建設達到最大值（π≈3）。

解析：針對本道問題而言，主要是現實生活中常見的一類實際問題。基于現實生活中這些問題的設計主要是考查學生的二次函數應用能力。針對二次函數模型有效構建，能夠將本道實際的生活問題進行抽象化表達，使學生靈活運用二次函數模型建構方面的知識來對整個問題進行剖析，并在這個過程中對所涉及的問題進行有效解決。

解：

在x=15/2的時候，S1值達到最大值，最大值是225/2平方米。

基于30=πr，可知r=10m，這樣可以求得S2=1/2×πr=150平方米。

如此一來，可以發現本道題的正確答案就是選擇方案二來保證竹籬笆圍成的面積達到最大值。

（四）應用于數學綜合問題解決

在指導學生有效運用二次函數建模知識求解問題中，除了單純考查二次函數問題外，同樣要緊密聯系一些綜合性問題來拓展學生思路，讓學生融合函數性質，將二次函數建模意識逐漸拓展到一切函數的建模方面。在相應的函數題型求解過程中還會涉及轉化、化歸等一些數學思想，需要綜合調用相關數學思想來簡化函數問題分析及求解過程。

例4：現有一函數lt;J：＼2024智慧教育＼3＼內芯＼6.14-7.jpggt;，試根據如下條件求解相應的問題：

（1）在參數a=2時，求令f（x）=x成立的x的集合；

（2）試求函數y=f（x）在y=f（x）上的最小值。

解析：本道例題是一道綜合運用函數知識和導數知識的問題，問題（1）主要是考查對x進行分類討論來去掉相應的絕對值符號，這樣就可以得到明確的方程，之后可以再求出其值；問題（2）則主要對a進行討論，結合函數一階導數值來對函數于區間上面的單調性判斷函數的最值。在求解這道函數題的時候需要結合函數的單調性質來構建對應的函數模型，并加以求解。

解：（1）基于題干信息，可知 lt;J：＼2024智慧教育＼3＼內芯＼6.14-7.jpggt;。

在x＜2時，f（x）=x2（2-x）=x，求解可得：x=0或x=1；

在x≥2的時候，f（x）=x2（x-2）=x，求解可得：x=1+[2]。

綜上所述，在參數a=2時，令f（x）=x成立的x的集合為{0，1+[2]}。

（2）假定相應最小值是m，

在a≤1的時候，在區間[1，2]上面，f（x）=x3-ax2，進而可得：

由此可知，函數f（x）=x3-ax2在區間[1，2]上面是單調遞增函數，故可知：

在1lt;a≤2的時候，在區間[1，2]上面≥0，基于f（a）=0可知

在agt;2的時候，在區間[1，2]上面f（x）=ax2-x3，此時

假定a≥0，在區間（1，2）上，故可知在區間[1，2]上面f（x）=ax2-x3為單調遞增函數，故可知：

在2lt;alt;3時，可知1lt;[23]alt;2，當1lt;xlt;[23]a時可得，故可知此時f（x）在區間[1，[23]a]上為增函數，此時可知：

在[23]lt;xlt;2時，也可以確定f（x）在區間[[23]a，2]上面為減函數，所以可知：

在2lt;alt;3的時候，

在2lt;a≤7/3的時候，

在7/3＜a＜3的時候，

綜上所述，本次所求函數的最小值如下：

上述這道函數題型本身的綜合性比較強，針對這種比較復雜的函數題型，要本著“化繁為簡，逐個攻克”的思想，尤其是在遇到包含絕對值的題型中，要通過靈活運用分類討論思想來逐步去掉絕對值符號，之后再進行問題求解。

總之，二次函數建模能力培養是提高高中生解決函數問題的一種教學手段。在培養高中生二次函數建模能力期間，可以緊密結合不等式、方程組求解等方面問題強化學生對二次函數性質及圖像等方面知識的認識，聯系生活實際，指導學生運用二次函數建模能力來簡化數學問題，促進學生二次函數建模能力的發展。