基于旋量理論的弓形五連桿機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

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作者簡(jiǎn)介：余聯(lián)慶（1972-），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析與控制.

引文格式：余聯(lián)慶，劉興. 基于旋量理論的弓形五連桿機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模[J]. 武漢紡織大學(xué)學(xué)報(bào)，2024，37（1）：71-80.

YU Lianqing， LIU Xing. Kinematics Modeling of Bow-shaped Five-link Robot Based on Screw Theory[J]. Journal of Wuhan Textile University，2024，37（1）：71-80.

摘 要：傳統(tǒng)的D-H參數(shù)法采用建立局部坐標(biāo)系的方式，在運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過(guò)程中存在求解逆解時(shí)產(chǎn)生增根的問(wèn)題。因此，本文通過(guò)旋量理論方法建立弓形五連桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，對(duì)比D-H參數(shù)法建立的末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，證明兩種方法之間的等效性，并基于旋量理論建立起弓形五連桿機(jī)器人的速度模型。使用ADAMS軟件對(duì)弓形五連桿機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，測(cè)量角速度曲線與MATLAB理論曲線對(duì)比，結(jié)果表明了旋量理論建模方法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：弓形五連桿；旋量理論；速度模型

中圖分類號(hào)：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095－414X（2024）01－0071－10

0" 引言

開(kāi)鏈弓形五連桿機(jī)器人作為仿生爬行機(jī)器人，該機(jī)器人是通過(guò)模擬尺蠖蠕動(dòng)來(lái)進(jìn)行工作運(yùn)作并達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹９挝暹B桿尺蠖機(jī)器人是采用串聯(lián)方式將各個(gè)弓形桿件連接在一起，通過(guò)桿件連接處關(guān)節(jié)角的旋轉(zhuǎn)以及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中接觸地面帶來(lái)的摩擦來(lái)達(dá)成機(jī)器人完成尺蠖運(yùn)動(dòng)的目的。針對(duì)弓形五連桿機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，本質(zhì)就是建立相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。傳統(tǒng)機(jī)器人的建模方式多采用D-H參數(shù)法，但該方法采用建立局部坐標(biāo)系的方式，加大了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模在計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜性，并再求解逆解時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生增根。因此，本文通過(guò)旋量理論方法建立弓形五連桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型。

在弓形五連桿機(jī)器人的模型基礎(chǔ)上，通過(guò)旋量理論計(jì)算出末端執(zhí)行器的位置模型，對(duì)比常規(guī)的D-H參數(shù)法建立的數(shù)學(xué)模型，驗(yàn)證采用旋量理論建立模型的正確性。同時(shí)經(jīng)過(guò)旋量變換得到當(dāng)前位形的運(yùn)動(dòng)副旋量，將各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)副旋量組合起來(lái)既得弓形五連桿機(jī)器人的雅可比速度矩陣，建立其弓形五連桿機(jī)器人的速度模型。基于速度模型的建立，進(jìn)行Adams和Matlab仿真實(shí)驗(yàn)，分析仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)歸納弓形五連桿機(jī)器人在尺蠖運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性規(guī)律。

1" 弓形五連桿機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1" 旋量理論與剛體變換

剛體特性下的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)均可以由的齊次變換矩陣表示，該變換矩陣由玄旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣組成。根據(jù)沙勒（Chasles）定理，任意剛體運(yùn)動(dòng)都可以通過(guò)繞著某一軸的旋轉(zhuǎn)和平行于該的移動(dòng)實(shí)現(xiàn)，這種組合運(yùn)動(dòng)稱為螺旋運(yùn)動(dòng)，給運(yùn)動(dòng)的無(wú)窮小量為運(yùn)動(dòng)旋量。設(shè)表示為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸線方向上的單位向量，關(guān)節(jié)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為。設(shè)為旋轉(zhuǎn)軸上的一定點(diǎn)。其中的元素定義如下：

（1）

（2）

其中是三維列向量，為1x3維零向量。是的3階反對(duì)稱矩陣與等同。

（3）

是特殊歐氏群，可用來(lái)確定剛體的位形或一個(gè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)變換。為的李代數(shù)，其中的元素叫做運(yùn)動(dòng)旋量。軸的單位矢量和速度構(gòu)成的矩陣成為運(yùn)動(dòng)旋量，是一個(gè)六維向量，稱為的旋量坐標(biāo)。表示從到的指數(shù)變換。對(duì)于，則有；反之，對(duì)于則存在和，使得。指數(shù)積的一般形式為：

（4）

式中：

I為3x3的單位矩陣。

當(dāng)剛體末端位姿在工具坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的初始位姿為時(shí)，繞某給定軸進(jìn)行螺旋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)后的末端位姿可以表示為，右乘初始位姿可以得到末端姿態(tài)的代數(shù)表達(dá)式方程：

（6）

1.2" 弓形五連桿機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

基于旋量理論建立弓形五連桿機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，弓形五連桿機(jī)器人的三維模型和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，如圖1、圖2所示。

由于弓形五連桿機(jī)器人采用串聯(lián)桿件結(jié)構(gòu)以開(kāi)鏈弓形五連桿的頭部關(guān)節(jié)為基坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)OS設(shè)定在弓形五連桿的左端連桿垂直水平地面上，XS軸在弓形機(jī)器人與平面相接的水平面方向，方向由左端指向右端，ZS軸與關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸平行，方向由里向外垂直于面，YS的方向在坐標(biāo)原

點(diǎn)OS豎直方向上垂直于XS軸。建立坐標(biāo)系如圖3，對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)編號(hào)，從左端到右端依次編號(hào)為1，2，3，4，5。將完整的運(yùn)動(dòng)步態(tài)周期里分為4個(gè)運(yùn)動(dòng)階段，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系將運(yùn)動(dòng)階段按照2個(gè)運(yùn)動(dòng)子階段進(jìn)行分割，按照中心對(duì)稱將子階段對(duì)稱進(jìn)行設(shè)定即可。圖4為弓形五連桿尺蠖運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)序圖。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，步態(tài)1只有三個(gè)連桿進(jìn)行聯(lián)動(dòng)，進(jìn)行初始拱起的M1階段；步態(tài)2和步態(tài)3過(guò)程中有四個(gè)連桿進(jìn)行聯(lián)動(dòng)的拱起M2階段。對(duì)各階段進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)受力平衡分析，得到對(duì)應(yīng)階段下的穩(wěn)定性判斷依據(jù)。

M1階段的穩(wěn)定性判斷依據(jù)Q1：

（7）

M2_up階段的穩(wěn)定性判斷依據(jù)Q2_up：

（8）

M2_down階段的穩(wěn)定性判斷依據(jù)Q2_down：

（9）

其中初始位置下的末端工具坐標(biāo)系在慣性坐標(biāo)系中的變換為：

（10）

各個(gè)關(guān)節(jié)軸線的單位矢量為：，在各個(gè)關(guān)節(jié)軸線上任取一點(diǎn)，。則：

，，，，

根據(jù)公式，得。

，，，，

因此運(yùn)動(dòng)旋量為：

，，，

，

由上式子，代入式子（4）中得：

（11）

則

，，

，

，

計(jì)算出各個(gè)關(guān)節(jié)角的指數(shù)積后，根據(jù)POE公式，可以得到開(kāi)鏈弓形五連桿的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

（12）

對(duì)比旋量理論方法和傳統(tǒng)D-H參數(shù)法的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，驗(yàn)證該方法計(jì)算的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的準(zhǔn)確性。以開(kāi)鏈弓形五連桿尺蠖機(jī)器人為研究對(duì)象，采用D-H參數(shù)法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。通過(guò)齊次變換矩陣表示弓形五連桿機(jī)器人各個(gè)桿件之間在局部坐標(biāo)系的相對(duì)位置和姿態(tài)，最后依次相乘得到弓形五連桿機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。已知弓形五連桿機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如表1所示：

、、、、分別表示五個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法可知從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系齊次變換矩陣如下：

（13）

將表1參數(shù)代入到式子（10）可得出相鄰兩連桿之間的齊次變換矩陣：

（14）

即相鄰兩桿件坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣為：

（15）

則對(duì)應(yīng)的逆變換矩陣：

（16）

第一連桿坐標(biāo)相對(duì)于坐標(biāo)系的齊次變換矩陣如下：

（17）

對(duì)應(yīng)的逆矩陣為：

（18）

其中： ，

，；。

由此弓形五連桿尺蠖機(jī)器人末端位置的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下：

（19）

其中，

。

將式（12）與式（19）相減可得：

（20）

由式（20）的計(jì)算結(jié)果，證明了基于旋量理論建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型方法的正確性。在建立弓形五連桿尺蠖機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型后，由于D-H參數(shù)法的局部坐標(biāo)系建立太多，一定程度上限制了對(duì)弓形五連桿在尺蠖運(yùn)動(dòng)中各個(gè)關(guān)節(jié)角的運(yùn)動(dòng)描述，同時(shí)建立的模型也相對(duì)于旋量理論建立的模型會(huì)更復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程會(huì)更繁瑣。反觀旋量理論建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，不用在各個(gè)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸上建立局部坐標(biāo)系，建模過(guò)程簡(jiǎn)便。而弓形五連桿機(jī)器人尺蠖運(yùn)動(dòng)中參與的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸較多，故采用旋量理論來(lái)給串聯(lián)連接的弓形五連桿機(jī)器人建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

旋量理論建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，就是利用兩個(gè)旋量矩陣表明弓形五連桿機(jī)器人的姿態(tài)和位姿之間的關(guān)系，通過(guò)這兩個(gè)旋量矩陣就能表示弓形五連桿機(jī)器人的位形。除此之外，用指數(shù)積進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)求解過(guò)程中，能明確逆解多解的條件和個(gè)數(shù)，具有明確的幾何意義和數(shù)值穩(wěn)定性，降低了弓形五連桿機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜性。

2" 弓形五連桿機(jī)器人的速度模型

2.1" 基于POE公式的機(jī)器人速度雅可比矩陣

根據(jù)弓形五連桿機(jī)器人在剛體特性下基于旋量理論建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)出弓形五連桿機(jī)器人速度雅可比矩陣，避免傳統(tǒng)微分法出現(xiàn)參數(shù)表現(xiàn)不足。

剛體特性下機(jī)器人末端執(zhí)行器的瞬時(shí)空間速度為：

（21）

通過(guò)運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)可將式（18）表示為：

（22）

令，，其中表示為機(jī)器人各關(guān)節(jié)的角速度，式（18）化簡(jiǎn)為：

（23）

通過(guò)對(duì)分析，了解其幾何意義。由基于旋量理論建立的正運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：

（24）

則

（25）

將式（22）轉(zhuǎn)換為運(yùn)動(dòng)旋量形式得：

（26）

令，式（20）變?yōu)椋?/p>

（27）

故，稱為機(jī)器人空間速度的雅可比矩陣，稱為運(yùn)動(dòng)副旋量， 表示運(yùn)動(dòng)旋量經(jīng)過(guò)變換后得到新的運(yùn)動(dòng)旋量。根據(jù)運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)的定義，運(yùn)動(dòng)副旋量坐標(biāo)計(jì)算公式如下：

（28）

為當(dāng)前位形下該關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線上的單位矢量，為當(dāng)前位形下軸線上一點(diǎn)的位置矢量。分別可通過(guò)以下公式計(jì)算求得：

（29）

（30）

表示為初始位置矢量。

通過(guò)以上式子即可求解出機(jī)器人空間速度的雅可比矩陣，將實(shí)際值代入式（24）即可解出六維向量，該向量前三維為角速度，后三維為線速度。

2.2" 弓形五連桿機(jī)器人的速度模型

由弓形五連桿機(jī)器人建立的旋量坐標(biāo)系，如圖3所示。由于初始位形下各個(gè)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸方向上的單位矢量為，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副旋量方向并不會(huì)發(fā)生改變，但位置會(huì)發(fā)生變化。因此各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)副旋量為：

（31）

又觀察可知

（32）

其中。

由式（29）得各個(gè)關(guān)節(jié)上的位置矢量為

，，，

（33）

則由式（25）得：

（34）

因此，弓形五連桿機(jī)器人的空間速度雅可比矩陣為

（35）

3" 仿真實(shí)驗(yàn)

由結(jié)構(gòu)示意圖5可知弓形連桿的基礎(chǔ)參數(shù)，其中弓形連桿的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為0.4πrad。根據(jù)設(shè)計(jì)的弓形桿件參數(shù)，使用SoildWorks繪制各個(gè)

零件的零件模型；然后，根據(jù)機(jī)器人的裝配關(guān)系將各個(gè)弓形桿件進(jìn)行裝配；最終，建立一個(gè)與弓形桿件機(jī)器人實(shí)體尺寸為1：1的三維模型。此仿生機(jī)器人的SolidWorks三維結(jié)構(gòu)圖如圖6所示，弓形五連桿機(jī)器人表示尺蠖周期運(yùn)動(dòng)的步態(tài)3狀態(tài)。

將SolidWorks繪制好三維模型的弓形五連桿機(jī)器人裝配圖令存為Parasolid格式，然后導(dǎo)入到ADAMS仿真軟件中，得到仿真模型如圖7所示。

根據(jù)幾何對(duì)稱關(guān)系，只需對(duì)弓形桿件的前兩個(gè)運(yùn)動(dòng)階段進(jìn)行仿真即可分析整個(gè)尺蠖周期運(yùn)動(dòng)過(guò)程。在每個(gè)關(guān)節(jié)處建立測(cè)量點(diǎn)，得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)階段下，關(guān)節(jié)角速度和時(shí)間的變化規(guī)律。同時(shí)，將得到的數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB建立的弓形五連桿機(jī)器人的空間速度模型，就能計(jì)算出機(jī)器人在各個(gè)時(shí)刻末端執(zhí)行器的速度。對(duì)每個(gè)M1和M2尺蠖運(yùn)動(dòng)階段進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，得到各階段下相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的變化曲線圖，如圖8、圖9和圖10所示。

由仿真實(shí)驗(yàn)得到各階段下的關(guān)節(jié)角變換曲線圖，可以看出，弓形五連桿在從初始狀態(tài)開(kāi)始尺蠖運(yùn)動(dòng)時(shí)，其各個(gè)關(guān)節(jié)角的速度變換由加速逐漸隨著運(yùn)動(dòng)過(guò)程的轉(zhuǎn)變，參與尺蠖運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)節(jié)角的速度逐漸趨于平穩(wěn)，從步態(tài)1到步態(tài)2轉(zhuǎn)變即M2運(yùn)動(dòng)階段，關(guān)節(jié)角隨時(shí)間變化呈線性遞增，表明此時(shí)尺蠖運(yùn)動(dòng)中的各個(gè)桿件處于勻速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。

針對(duì)關(guān)節(jié)角隨在各階段下隨時(shí)間的變化曲線圖，將理論曲線和仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行圖形對(duì)比，如圖11、圖12和圖13所示。

由各運(yùn)動(dòng)階段關(guān)節(jié)角的變化對(duì)比圖可知，理論變換曲線和仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在一定誤差，但在允許的范圍內(nèi)。通過(guò)對(duì)比圖形驗(yàn)證了速度模型的正確性，為以后對(duì)弓形五連桿機(jī)器人的研究提供了一種新思路。

4" 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)的D-H參數(shù)法建立的弓形五連桿機(jī)器人模型復(fù)雜程度高、逆運(yùn)動(dòng)求解困難的問(wèn)題，本文采用了一種建模更加簡(jiǎn)單高效、幾何意義更加明顯的方法，即基于旋量理論的指數(shù)級(jí)公式建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并與D-H參數(shù)法進(jìn)行對(duì)比，理論上證明兩種方法的等效性。然后，在旋量理論建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型基礎(chǔ)上求解了弓形五連桿機(jī)器人的速度雅可比矩陣，并用ADAMS進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。最后，通過(guò)MATLAB得出關(guān)節(jié)角理論變化曲線與仿真實(shí)

驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖形，兩者之間存在允許精度范圍內(nèi)的誤差，證明了旋量理論建立的雅可比矩陣速度模型的簡(jiǎn)便性和可行性，也為日后的弓形五連桿機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究提供了一種高效的研究方法。

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Kinematics Modeling of Bow-shaped Five-link Robot Based on Screw Theory

YU Lianqing， LIU Xing

（School of Mechanical Engineering and Automation， Wuhan Textile University， Wuhan Hubei 430200， China）

Abstract： The traditional D-H parameter method adopts the method of establishing a local coordinate system， and there is a problem of increasing roots when solving the inverse solution in the process of kinematics modeling. Therefore， this paper establishes the kinematics mathematical model of the arched five-bar linkage by the screw theory method， compares the kinematics model of the end effector established by the D-H parameter method， proves the equivalence between the two methods， and establishes the speed model of the arched five-bar linkage robot based on the screw theory. ADAMS software is used to simulate the motion of the arched five-link robot. The angular velocity curve is compared with the MATLAB theoretical curve. The results show the correctness and effectiveness of the screw theory modeling method.

Key words： five-bow-shaped-bar；screw theory；velocity model

（責(zé)任編輯：周莉）