對兩種平均作用力使用誤區(qū)的辨析

摘" "要：在高中物理教學(xué)中，除經(jīng)常研究恒力的作用過程外，有時還會對存在變力的力學(xué)過程進(jìn)行分析和計算，涉及到兩種平均作用力應(yīng)用的區(qū)別問題。從常見的錯誤出發(fā)，引出兩種平均作用力的物理意義，指出了在不同情境下應(yīng)用兩種平均作用力的區(qū)別。

關(guān)鍵詞：力對時間的平均；力對位移的平均；兩種平均作用力；辨析

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）2-0068-3

1" " 問題的引出

在一次討論問題時得知，一個學(xué)生遇到了一道試題，對最后一問求解后查看參考答案，發(fā)現(xiàn)自己的解答過程和結(jié)果都與參考答案不同，但他又覺得自己的解答過程和計算結(jié)果沒有問題，于是學(xué)生展示了解答過程，希望找到問題的原因。試題和解答如下。

題目" 如圖1所示，光滑平行足夠長的金屬導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上，導(dǎo)軌范圍內(nèi)存在磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下，導(dǎo)軌一端連接阻值為R的電阻，在導(dǎo)軌上垂直導(dǎo)軌放一長度等于導(dǎo)軌間距L、質(zhì)量為m的金屬棒，其電阻為r，金屬棒與金屬導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒在水平向右的恒力F作用下從靜止開始運動，經(jīng)過時間t后開始勻速運動，金屬導(dǎo)軌的電阻不計。求：

（1）金屬棒勻速運動時回路中電流大小；

（2）金屬棒勻速運動的速度大小以及在時間t內(nèi)通過回路的電荷量；

（3）若在時間t內(nèi)金屬棒移動的位移為x，求電阻R上產(chǎn)生的熱量［1］。

對第（3）問，學(xué)生解答過程為：由Q=W，W=Fx=BILx，I=，E=，QR=Q，解得QR=。大致一看，學(xué)生的解題思路似乎確實沒有問題。

參考答案 力F做功增加金屬棒的動能和回路的內(nèi)能，則Fx=Q+mv2

電阻R上產(chǎn)生的熱量QR=Q

解得QR=[Fx-]

到底是這道試題有多個答案，還是學(xué)生的解題方法存在問題呢？要解決這個疑問，首先要弄明白力對時間的平均值和力對位移的平均值的物理意義與區(qū)別。

2" " 兩種平均作用力的區(qū)別與聯(lián)系

2.1" " 力對時間的平均值

在t0到t的過程中，變力F對時間的平均值為（t）=Fdt=。可見，力對時間的平均值等于沖量除以時間。力對時間的平均值與時間的乘積，物理意義為力在時間上的積累，即沖量。故在應(yīng)用動量定理時，若作用力為變力，我們往往引入力對時間的平均作用力與時間的乘積來等于這個過程中動量的變化量。

2.2" " 力對位移的平均值

在x0到x的過程中，變力F對位移的平均值為（Δx）=F（x）dx=。可見，力對位移的平均值等于動能的變化量除以位移［2］。力對位移的平均值與位移的乘積，物理意義為力在空間上的積累，即功。故在應(yīng)用動能定理時，若作用力為變力，我們往往引入力對位移的平均作用力與位移的乘積來等于這個過程中動能的變化量。

從上面兩種平均力的定義和物理意義可知，它們是根據(jù)力對時間和空間的兩種不同的積累效應(yīng)來引入的，它們不僅是數(shù)學(xué)的定義，而且還具有確切的物理意義。因此，在與質(zhì)點動量變化相關(guān)的問題中，可用力對時間的平均值；在與質(zhì)點動能變化相關(guān)的問題中，可用力對運動路徑的平均值。這兩種平均作用力的物理意義完全不同，在一般情況下，二者是不相等的。

2.3" " 兩種平均作用力的大小關(guān)系

例1 如圖2所示，一水平彈簧左端固定在豎直墻面上，右端固定在滑塊P上，滑塊與地面接觸面光滑。現(xiàn)將滑塊P向右拉離彈簧原長位置后由靜止釋放，則在物塊向左回到彈簧原長位置過程中，彈簧彈力隨位移和時間變化的圖像如圖3所示，試比較兩種平均作用力的大小［3］。

由圖像可知，彈力對位移的平均值為Fx===kx，彈力對時間的平均值為=gt;=kx，即gt;。這是因為在振動過程中，彈力對位移是均勻變化的，而彈力對時間是非均勻變化的，故造成了它們的大小不相等。所以在一般情況下，力對時間的平均值和力對位移的平均值是不相等的。

那么，是不是所有情況下它們的值都不相等呢？

例2" 在勻變速直線運動中，求兩種平均作用力的大小關(guān)系。

解" 在t0 到t的過程中，變力F對時間的平均值為 （t）=Fdt=

在x0到x的過程中，變力F對位移的平均值為（Δx）=F（x）dx=

又因為Δx=（v0+v）Δt

聯(lián)立可得 （t）=（Δx）

即在勻變速直線運動中，可證明出兩種平均力大小相等。通過以上分析可知，只有在恒力作用下，物體做勻變速直線運動時，即力對時間和力對位移都是均勻變化的，這種情況下才有兩種平均作用力的大小相等。

3" " 兩種平均作用力的使用情境

由兩種平均作用力的物理意義可知：（Δx）只能與位移相乘計算這個過程中變力做的功，而不能與時間相乘計算沖量；而（t）只能與時間相乘計算這個過程中變力的沖量，而不能與位移相乘來計算功。

回到前述學(xué)生遇到的問題，他列出方程W=x=BILx，對后續(xù)求解實際是力對時間的平均，顯然用力對時間的平均值乘以位移來求功是錯誤的，進(jìn)而導(dǎo)致最后結(jié)果與參考答案的不同。

由于在一般過程中，變力F的t和的大小一般不同，故我們在使用平均作用力求解變力問題時，一定要關(guān)注具體的問題情境。具體而言，t只跟力對時間的積累效應(yīng)有關(guān)，故t只能應(yīng)用于力對時間的積累效應(yīng)的情境。例如，可用t求變力的沖量，求平均加速度，也可應(yīng)用于動量定理求物體的速度、動量、通過的電荷量等。而不可以把應(yīng)用于做功過程求功、平均功率，也不能把用于動能定理中求動能、速度等。與之相對應(yīng)，只跟力對位移的積累效應(yīng)有關(guān)，故只能應(yīng)用于力對位移的積累效應(yīng)的情境。例如，可用求變力的功、變力的平均功率，也可應(yīng)用于動能定理求物體的動能、速度等。不可以把應(yīng)用于求沖量和平均加速度，也不能把用于動量定理中求動量、速度等。否則就會導(dǎo)致錯誤［4］。

總之，在求解變力的相關(guān)問題時，我們首先要搞清楚這兩種平均作用力的物理意義，進(jìn)而明白各自的應(yīng)用情境和條件，切不可不加判斷而隨意應(yīng)用平均作用力，唯有如此才能避免類似的錯誤發(fā)生。

參考文獻(xiàn)：

［1］高2020屆高2017級高三物理一輪復(fù)習(xí)步步高全書學(xué)案第十章專題強(qiáng)化十三（2020年）［EB/OL］.http：//www.wendangku.net/doc/4f2902191.html.

［2］繆鐘英，羅啟蕙.力學(xué)問題討論［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2018：182.

［3］陳恩譜.物理原來可以這樣學(xué)［M］.長沙：中南大學(xué)出版社，2018：253.

［4］崔金巖.關(guān)于兩種平均作用力及其應(yīng)用［J］.物理教學(xué)，1990，12（4）：10-13.

（欄目編輯" " 蔣小平）

收稿日期：2023-11-14

作者簡介：范青林（1982-），男，中學(xué)高級教師，主要研究高中物理疑難問題。