遇中點構造全等三角形解題策略

模型構建

同學們在解題時遇到中線或中點，可嘗試倍長中線或者倍長類中線，構造全等三角形，其目的就是對已知條件中的線段進行轉換.

如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD到E，使DE = AD，連接BE，則△ADC≌△EDB.

如圖2，D是BC的中點，延長FD到E，使DE = DF，連接CE，則△FDB≌△EDC.

典例分析

例 如圖3，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，點E是AB上的一點，連接CE，交AD于點F，若∠DFC = ∠BAD，求證：CF = AB.

方法1：通過倍長中線構造全等三角形.

思路點撥：已知AD為BC邊上的中線，∠DFC = ∠BAD，可延長AD到點H，使HD = AD，連接CH，如圖4，易證△ABD≌△HCD.

[證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=DC，延長AD到點H，使HD=AD，連接CH，在△ABD和△HCD中，BD=CD，∠ADB=∠HDCAD=HD，，∴△ABD≌△HCD（SAS），∴AB=CH，∠H=∠BAD.∵∠DFC=∠BAD，∴∠DFC=∠H，∴CF=CH，∴CF=AB.]

方法2：通過倍長類中線（或作平行線）構造全等三角形.

思路點撥：已知AD為BC邊上的中線，∠DFC = ∠BAD，可延長FD到點G，使DG = DF，連接BG（或過點B作BG[?]CF，交AD的延長線于點G），如圖5，易證△FDC≌△GDB.

[證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=DC.延長FD到點G，使DG=DF，連接BG，在△FDC和△GDB中，DF=DG，∠FDC=∠GDBCD=BD，，∴△FDC≌△GDB（SAS），∴FC=BG，∠DFC=∠G.∵∠DFC=∠BAD，∴∠BAD=∠G，∴BA=BG，∴CF=AB.]

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：6分鐘

1.如圖6，在△ABC中，E是AB上的一點，F是AC延長線上的一點，連接EF，交BC于點D，且ED = DF，EB = CF，求證：∠B = ∠ACB. （答案見本頁）

難度系數：★★★★★ 解題時間：12分鐘

2.如圖7，在△ABC中，∠A = ∠ACB，AC = 2，點P，E分別為AB，AC邊上的點，且∠AEP = 90°，點Q為BC延長線上的一點，連接PQ，交AC于點D，若PD = DQ，求DE的長. （答案見本頁）

（作者單位：開原市民主教育集團里仁學校）