一點一直線 平行有模型

在與平行線的證明有關的題目中，拐點問題最為常見. 探索、發現并掌握與拐點問題有關的解題方法與規律模型，能達到事半功倍的效果.

模型1：如圖1，點E，F分別在平行線AB，CD上，點P在AB，CD之間，在直線EF的右側.

結論：如圖2，若AE[?]CF，則∠E + ∠F + ∠P = 360°.

證明：過點P作PQ[?]AE，如圖3，由AE[?]CF可得PQ[?]CF，

所以∠E + ∠EPQ = 180°，∠F + ∠FPQ = 180°，

所以∠E + ∠EPQ + ∠F + ∠FPQ "= 360°，即∠E + ∠F + ∠EPF = 2 × 180° = 360°.

變式1：如圖4，當平行線AB，CD之間的兩個點M，N在直線EF的右側時，可得什么結論？

結論：如圖5，若AE[?]CF，則∠E + ∠M + ∠N + ∠F = 540°.

思路點撥：過點M，N分別作MG[?]AE，NH[?]CF.

變式2：如圖6，當平行線AB，CD之間的n個點在直線EF的右側時，可得什么結論？

結論：如圖7，若AE[?]CF，則∠AEP1 + ∠[P1] + ∠[P2] + ∠[P3] + … + ∠[Pn] + ∠CFPn = （n + 1） × 180°.

思路點撥：證明方法同上，仍可采取在拐點處作平行的方法來證明.

模型2：如圖8，點P在平行線AB，CD之間，且在直線EF的左側.

結論：如圖9，若AE[?]CF，則∠E + ∠F = ∠P.

證明：如圖10，過點P作PQ[?]AE，由AE[?]CF可得PQ[?]CF，

所以∠E = ∠1，∠2 = ∠F，所以∠1 + ∠2 = ∠E + ∠F，即∠E + ∠F = ∠EPF.

變式1：如圖11，當平行線AB，CD之間的兩個點M，N在直線EF的左側時，可得什么結論？

結論：如圖12，若AE[?]CF，則∠E + ∠F + 180° = ∠M + ∠N.

證明：如圖13，過點M，N分別作MG[?]AE，NH[?]CF，易證AE[?]MG[?]NH[?]CF，可得∠1 = ∠E， ∠4 = ∠F，∠3 + ∠2 = 180°，所以∠EMN + ∠MNF - ∠E - ∠F = 180°，即∠E + ∠F + 180° = ∠EMN + ∠MNF.

變式2：如圖14，當平行線AB，CD之間有n個點時，可得什么結論？

結論：如圖15，若AE[?]CF，則∠E + ∠F + （n - 1）180° = ∠[P1] + ∠[P2] + ∠[P3] + … + ∠[Pn].

思路點撥：證明方法同上，仍可采取在拐點處作平行線的方法來證明.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：5分鐘

1. 如圖16，已知AM[?]AnN，（1）在圖16①中，∠[A]，∠[A1]，∠[A2]，∠[A3]與∠[B]，∠[B1]，∠[B2]的關系是什么？（2）在圖16②中，∠[A]，∠[A1，]，∠[A2]…∠[An]與∠B，∠[B1]，∠[B2]…∠[Bn-1]有什么關系？（答案見第31頁）

難度系數：★★★★ 解題時間：8分鐘

2. 如圖17，已知AB[?]DE，BF，DF分別平分∠ABC，∠CDE，求∠C與∠F的關系. （答案見第31頁）

（作者單位：遼寧省實驗中學初中部）