淺析矩形中求線段長的折疊問題

孫霞

折疊問題是近幾年來中考出現頻率較高的一類題型， 折疊問題的實質是圖形的軸對稱變換，即折疊前后的圖形是全等形，解決這類問題的關鍵要充分挖掘軸對稱的性質并利用題目中的隱含信息，下面就矩形中求線段長的折疊問題舉例說明。

一、將矩形的一邊沿對角線折疊

例1 矩形ABCD沿對角線BD折疊，使得點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AD=8，AB=4，求DF的長.

分析：根據折疊可知：∠DBC=DBE，可得△BFD是等腰三角形，設DF=BF=x，則AF=8-x。在Rt△ABF中，根據勾股定理列出方程，即可求出x的長。

解題技巧：由折疊前后的對應角相等，不難證明△BFD是等腰三角形，從而將題中的相關線段集中到Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程即可求解。

二、將矩形的一角折疊使頂點至邊

例2 如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在邊AD上，沿著BE折疊使點A落在邊CD上的點F處，若tan∠ABE=[13]，AD=3，求DF的長.

分析：由折疊可知：∠ABE=∠FBE，∴tan∠ABE=tan∠FBE=[13]，由條件可證∴△DEF∽△CFB，則[EFFBDFCB13]，即可求出DF的長。

解題技巧：由折疊的性質對線段和角進行等量轉化，將銳角三角函數轉化為相似三角形的相似比，通過對應邊成比例，建立比例式求解。

三、將矩形的一角折疊使頂點至對角線

例3 在矩形ABCD中，AB=2，E是AD上一點，AE=1.將△ABE沿BE折疊，點A的對應點為F.若點F落在對角線BD上，求邊AD的長.

分析：設DF=x，根據折疊的性質可知，∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠BFE=90°，易證△ABD∽△FED，則[DFADEFAB12]，∴AD=2x，∴DE=2x-1，在Rt△DEF中，根據勾股定理得列出方程（2x-1）2-x2=1，即可求出x的長。

解題技巧：矩形的一角折疊使頂點至對角線，可知矩形的一邊落在對角線上，由折疊的性質對線段和角進行等量轉化，將問題轉化為相似三角形和勾股定理列出方程求解。

變式：如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把矩形ABCD沿AE折疊，使點B落在B′處，連接B′C，當△CEB′為直角三角形時，求B′C的長.

解題技巧：當△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

1.當點B′落在矩形內部時，如變1圖。由折疊的性質得∠AB′E=∠B=90°，當∠EB′C=90°時，點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，點B落在對角線AC上的點B′處，設BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中用勾股定理列出方程可求解。

2.當∠B′EC=90°時，點B′落在AD邊上，如變2圖。由折疊的性質可知此時ABEB′為正方形，在Rt△B'CE中用勾股定理可求解。

四、將矩形的一角折疊使頂點至邊的中垂線

例4 如圖，E為矩形ABCD邊AD上的點，A點沿著BE折疊，使得點A落在矩形ABCD邊的中垂線上，AD=8，AB=6，求AE的長。

分析：由點A落在矩形ABCD邊的中垂線上，可分為由A落在AD的中垂線上和由A落在AB的中垂線上兩種情況。

1.如圖4-1，A落在AD的中垂線上，根據折疊的性質，在Rt△BFN中，根據勾股定理求得NF=[25]，由∠A=∠BFE=90°，∠FBN+∠BFN=90°，∠BFN+∠EFM=90°，則∠EFM=∠FBN，易得△BFN∽△NEM，得出比例式[BNA'BA'MA'E]，即[46625A'E]，即可求出AE的長。

2. A落在AB的中垂線上，過點A′作BC的垂線A′F，交BC邊于點F，則A′F=3，在Rt△BA′F中，由[A'FA'B12]，∠A′BF=30°，由折疊的性質，∠ABE=∠FBE=30°，通過30°的正切即可求出AE的長。

解題技巧：將矩形的一角折疊使頂點至邊的中垂線，由折疊的性質進行等量轉化，不難發現“一線三垂直”相似模型或特殊角，通過相似三角形的對應邊成比例或特殊角的三角函數求解。

五、將矩形的一角折疊使頂點至對角頂點處

例5? ?如圖，在矩形ABCD中，AB=24，AD=10，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A與點C重合，折痕與AB交于點M，與CD交于點N，求線段MN的長。

分析：方法1：在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=26，由折疊的性質可得，MN垂直平分AC，易證△CON≌△AOM，可知MO=NO，由條件可證△ABC∽△AOM，得比例式[OMBCAOAB]，即[OM101324]，即可解得OM的長。

方法2：由折疊的性質易證CN=CM，且MN垂直平分AC，可得CM=AM，設CM=AM=x，在Rt△BMC中，根據勾股定理得列出方程（24-x）2+102=x2，求得CN，在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=26，CO=13，由[12]CN×AD=[12]MN×CO=S△CMN即可求解。

解題技巧：將矩形的一角折疊使頂點至對角頂點處，由折疊的性質可知折痕是矩形的對角線的垂直平分線，通過相似三角形的對應邊成比例或等面積法求解。

通過以上典型例題不難看出，解決與矩形有關的折疊問題關鍵有以下幾點：一是要把握折疊的本質，即折疊實際上就是軸對稱變換，折疊前后的圖形是全等形，折痕為對應點連線的垂直平分線；二是要綜合運用全等三角形、相似三角形、直角三角形以及方程等相關知識，找準等量關系，進行線段或角的轉化，準確快速地解答折疊的問題.

本論文為高青縣教育科學規劃課題的科研成果，課題批準號：2021GQKTO5，課題名稱：基于初中數學折紙活動教學的設計與實踐研究