三視圖問題中的題型例析

■趙梓印

空間幾何體的三視圖和直觀圖是新課標教材中的新增內容,也是高考考查的熱點,考題類型常以選擇題或填空題的形式出現,常見題型有:圖形判斷問題,求面積問題,求三視圖中的未知量問題等。

題型一：判斷正視圖

例1 已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖1所示,其中俯視圖是邊長為2的正三角形,側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為( )。

解：空間幾何體的正視圖和側視圖滿足“高平齊”,可知正視圖的高一定是2;正視圖和俯視圖滿足“長相等”,可知正視圖的底面邊長為2。根據側視圖中的直角說明這個空間幾何體最前面的面垂直于底面,這個面遮住了后面的一個側棱。應選C。

空間幾何體的三視圖是從正面、側面、上面三個方向對一個幾何體的全方位透視。一個幾何體的正視圖和側視圖的高度一樣,正視圖和俯視圖的長度一樣,俯視圖和側視圖的寬度一樣。

題型二：根據三視圖求幾何體的側面積

例2 《九章算術》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”。已知某“塹堵”的三視圖如圖2所示,則該“塹堵”的表面積為____。

圖2

解：由三視圖知,該幾何體是底面為等腰直角三角形(斜邊的邊長為2)、高為2的直三棱柱,所以該幾何體的表面積為2×2+

解答這類問題的關鍵是根據三視圖所提供的圖形信息,弄清楚幾何體的形狀和有關數據,然后求出其表面積。

題型三：求三視圖中的未知量

例3 圖3是一個體積為10的空間幾何體的三視圖,求圖中x的值。

圖3

解：由三視圖可知,該幾何體對應的直觀圖是一個長方體和四棱錐的組合體,所以該幾何體的體積V=3×2×1+×3×2×x=10,解得x=2。

解題時要注意題中的x是四棱錐的高,而不是斜高。