空間幾何體常見典型考題賞析

■朱 琴

空間幾何體是立體幾何的基礎知識,又是每年高考的必考知識,因此學好這部分知識至關重要,特別是空間幾何體的經典題型,更值得學習與探究。下面舉例分析,以供大家分享。

題型1：空間幾何體的三視圖

對于簡單幾何體的組合體,在畫三視圖時,首先分清它是由哪些簡單幾何體組成的,然后再畫其三視圖。由三視圖還原幾何體時,要遵循以下三步:①看視圖,明關系;②分部分,想整體;③綜合起來,定整體。

例1 如圖1,將一個正三棱柱ABCDEF截去一個三棱錐A-BCD,得到幾何體BCDEF(如圖2),則該幾何體的正視圖(或主視圖)是( )。

圖1

圖2

解：由于三棱柱為正三棱柱,故平面ADEB⊥平面DEF。由于△DEF是等邊三角形,所以CD在后側面上的投影為AB的中點與點D的連線,CD的投影與底面不垂直。應選C。

跟蹤練習1：某幾何體的三視圖如圖3所示,記集合A為此幾何體所有棱的長度構成的集合,則( )。

圖3

A.3∈A B.5∈A

C.26∈A D.43∈A

提示：由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖4所示。

圖4

該幾何體的底面是邊長為4的正方形,AF⊥平面ABCD,AF∥DE,AF=2,DE=4,可求得BE的長為43,BF的長為25,EF的長為25,EC的長為42。應選D。

題型2：空間幾何體的直觀圖

在斜二測畫法中,要確定關鍵點及關鍵線段。平行于x軸的線段平行性不變,長度不變;平行于y軸的線段平行性不變,長度減半。按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關系:

例2 已知正三角形ABC的邊長為a,那么△ABC的平面直觀圖△A"B"C"的面積為( )。

解：圖5,6所示的是△ABC的平面圖形和它的直觀圖△A"B"C"。

圖5

跟蹤練習2：如圖7,已知等腰梯形ABCD中,CD=1,AD=CB=2,AB=3,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,則由斜二測畫法畫出的直觀圖的面積為_________。

圖7

提示：作出等腰梯形ABCD的直觀圖,即梯形A"B"C"D",如圖8所示。

圖8

題型3：與球有關的“切”“接”問題

“切”的處理方法:與球有關的內切問題主要是指球內切多面體與旋轉體問題,解題時要找準切點,通過作截面來解決。“接”的處理方法:把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題,解題時要抓住外接的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑。

例3 正四棱錐的頂點都在同一球面上。若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為( )。

解：由題意可知,球心在正四棱錐的高上。設球的半徑為R,則(4-R)2+(2)2=R2,解得R=所以所求球的表面積為4π應選A。

跟蹤練習3：在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內有一個體積為V的球。若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( )。

提示：由AB⊥BC,AB=6,BC=8,得AC=10,要使球的體積V最大,則球與直三棱柱的部分面相切。若球與三個側面相切,可設底面△ABC的內切圓的半徑為r,則×6×8=×(6+8+10)×r,可得r=2,此時2r=4＞AA1=3,不合題意。

因此球與三棱柱的上、下底面相切時,球的半徑r最大。

題型4：古算書中的幾何體問題

中國古代在世界上居于數學領先地位。《九章算術》記載了當時世界上最先進的分數四則運算和比例算法,還記載有解決各種面積和體積問題的算法以及利用勾股定理進行測量的各種問題。

例4 《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為( )。

A.8π B.12π

C.20π D.24π

解：(方法1)將三棱錐P-ABC放入長方體中(如圖9),三棱錐P-ABC的外接球就是長方體的外接球。

圖9

因為PA=AB=2,AC=4,△ABC為直角三角形,所以

設外接球的半徑為R。

由題意可得(2R)2=22+22+(2)2=20,即R2=5,故球O的表面積為4πR2=20π。應選C。

(方法2)利用鱉臑的特點求解,如圖10。

圖10

因為四個面都是直角三角形,所以PC的中點到每一個頂點的距離都相等,即PC的中點為球心O,易得2R=PC=20,所以球O的表面積為4πR2=20π。應選C。

跟蹤練習4：《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無廣;高一丈。問積幾何。”其意思為:今有底面為矩形的屋脊柱的楔體,下底面寬3丈,長4丈;上棱長2丈,高1丈,問它的體積是多少。已知1丈為10尺。現將該楔體的三視圖給出(如圖11),其中網格紙上小正方形的邊長為1丈,則該楔體的體積為( )。

圖11

A.5000立方尺

B.5500立方尺

C.6000立方尺

D.6500立方尺

提示：該楔體的直觀圖是如圖12所示的幾何體ABCDEF。取AB的中點G,CD的中點H,連接FG,GH,HF,則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和。

圖12

可將三棱柱ADE-GHF割補成高為EF=2,底面積為S=×3×1=的一個直棱柱,故該楔體的體積V=×2+×2×3×1=5(立方丈)=5000(立方尺)。應選A。