考慮結(jié)合面接觸剛度的機(jī)床床身動(dòng)態(tài)特性分析

劉書晟, 史 軍, 孫建宏, 秦文強(qiáng), 曾艷泓, 張 松

(1.山東大學(xué) 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南 250061;2.濟(jì)南二機(jī)床集團(tuán)有限公司,濟(jì)南 250022; 3.重慶機(jī)床(集團(tuán))有限責(zé)任公司,重慶 401336)

機(jī)床的部件主要通過螺栓固定,這種連接方式便于拆卸,但引入了一個(gè)大的結(jié)合面,導(dǎo)致整個(gè)床身不連續(xù),從而影響床身的動(dòng)態(tài)特性[1]。整個(gè)機(jī)床結(jié)合面的接觸剛度占機(jī)床總剛度的60%～80%[2]。為了設(shè)計(jì)、開發(fā)高精度機(jī)床,應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確地獲取機(jī)床動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。

從微觀上揭示結(jié)合面接觸機(jī)理是獲得結(jié)合面接觸參數(shù)行之有效的方法。Greenwood等[3]假設(shè)結(jié)合面上微凸體的高度遵循正態(tài)分布,提出了GW模型。之后基于GW模型建立的CEB[4]、KE[5]、JG[6]、Brake[7]模型都將微凸體之間的接觸視為與球形微凸體的正接觸。但是研究表明結(jié)合面上微凸體之間的接觸大多是側(cè)接觸,而不是正接觸。Gorbatikh等[8]提出了接觸角分布函數(shù)來(lái)模擬微凸體的側(cè)接觸。事實(shí)上,在載荷作用下微凸體下的基體也會(huì)有相應(yīng)變形。Iida等[9-10]研究了基體變形對(duì)結(jié)合面接觸特性的影響。Ciavarella等[11-13]對(duì)微凸體間相互作用的接觸機(jī)理進(jìn)行了分析。

在考慮結(jié)合面接觸剛度的機(jī)械設(shè)備動(dòng)態(tài)特性研究方面,20世紀(jì)70年代Masataka等[14]進(jìn)行了一系列試驗(yàn)研究,總結(jié)出了機(jī)床螺栓結(jié)合面的接觸剛度和阻尼與接觸面積之間的經(jīng)驗(yàn)公式。黃玉美等[15]在此基礎(chǔ)上考慮了結(jié)合狀態(tài)、其他機(jī)械系統(tǒng)零件以及處理方法的影響,并提出了新的經(jīng)驗(yàn)公式。王立華等[16]結(jié)合理論模態(tài)分析和試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析,對(duì)某銑床的關(guān)鍵結(jié)合面動(dòng)態(tài)特性參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別。然而,這些研究都是基于試驗(yàn)結(jié)果,存在工作量大、數(shù)據(jù)不完整等缺點(diǎn),無(wú)法滿足工程分析和設(shè)計(jì)的要求。為了彌補(bǔ)試驗(yàn)方法的不足,陳虹旭等[17]基于修正的分形理論,識(shí)別結(jié)合面處的接觸特性參數(shù)并應(yīng)用在有限元模型中,通過試驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的正確性。付振彪等[18]基于Hertz接觸理論推導(dǎo)出結(jié)合面接觸剛度的計(jì)算公式,并采用多單元混合的方法劃分網(wǎng)格,建立整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)的有限元模型,對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性分析。Fan等[19]建立了一個(gè)考慮微凸體側(cè)接觸及相互作用的結(jié)合面法向剛度接觸模型,并將其運(yùn)用在有限元的結(jié)合面模型當(dāng)中。以上方法接觸剛度的計(jì)算方法不夠準(zhǔn)確,且有限元模型的約束方式還需要驗(yàn)證。

迄今為止,有關(guān)結(jié)合面剛度計(jì)算的研究不夠完善只有少數(shù)接觸剛度預(yù)測(cè)模型耦合肩-肩接觸,基體變形和微凸體相互作用;少有研究驗(yàn)證了不同材料結(jié)合面有限元模型的準(zhǔn)確性。本文通過彈簧單元來(lái)模擬結(jié)合面螺栓處的動(dòng)態(tài)特性,建立了一種考慮結(jié)合面法向接觸剛度的有限元模型。并通過試驗(yàn)值與仿真值的對(duì)比驗(yàn)證了有限元模型的準(zhǔn)確性和普適性。

1 機(jī)床結(jié)合面接觸特性分析

1.1 微凸體接觸統(tǒng)計(jì)模型

圖1 結(jié)合面之間的接觸Fig.1 Contact between joint surfaces

Kogut等在考慮彈性、彈塑性、全塑性接觸行為的情況下,利用有限元分析給出了單個(gè)微凸體的接觸載荷和變形之間的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式。并推導(dǎo)了假設(shè)微凸體高度分布的結(jié)合面接觸剛度的表達(dá)式。整個(gè)結(jié)合面的法向力和法向接觸剛度計(jì)算公式為

(1)

(2)

式中:N為微凸體的數(shù)量,N=nAn;n為微凸體分布密度;An為標(biāo)稱接觸面積;φ(z) 為遵循高斯分布的高度的概率密度函數(shù);R為微凸體半徑;δa為微凸體變形量;δc為標(biāo)定彈性變形和彈塑性變形之間轉(zhuǎn)換的無(wú)量綱臨界變形量。

Kogut-Etsion模型將所有微凸體接觸看作峰-峰接觸,實(shí)際上大多數(shù)微凸體接觸是肩-肩接觸,如圖2所示。考慮接觸角度對(duì)結(jié)合面之間實(shí)際接觸的描述更加準(zhǔn)確。

圖2 一對(duì)肩-肩接觸的微凸體Fig.2 A pair of asperities in shoulder-shoulder contact

在垂直于接觸面的法向壓力P的作用下,上下結(jié)合面發(fā)生變形。d為兩個(gè)接觸面之間的距離,s為上下表面中兩個(gè)微凸體對(duì)稱軸之間的距離。法向壓力P可分為兩個(gè)壓力分量,即法向壓力Pn和切向壓力Pτ。θ為接觸角,ωz和ωz′分別為Z和Z′方向上的接觸變形。在Z方向上,側(cè)峰接觸對(duì)的總變形量為ω。用肩-肩接觸變形ω代替峰-峰接觸變形δa所得結(jié)果更為準(zhǔn)確。根據(jù)幾何關(guān)系,接觸變形和接觸角的表達(dá)式如下

(3)

(4)

KE模型不考慮基體變形,實(shí)際上微凸體的法向總位移ω等于微凸體變形ωa與基體變形ωb之和。為了考慮基體變形,建立了微凸體-基體系統(tǒng)模型,如圖3所示。Li等使用不定點(diǎn)迭代法推導(dǎo)出了三個(gè)不同變形階段的接觸變形ω與微凸體變形ωa之間的關(guān)系式

圖3 微凸體-基體接觸系統(tǒng)Fig.3 Asperity-substrate system

(5)

(6)

(7)

式中:κ1=Ea/Eb,κ2=KH/Eb,κ2=H/Eb為結(jié)合面的材質(zhì)特性參數(shù);ξ1=1.5R0.5/rb,ξ2=0.5πR/rb,ξ2=1.5πR/rb為微凸體的幾何參數(shù);R為接觸微凸體的等效半徑;rb為接觸區(qū)域半徑。

KE模型未考慮微凸體之間的相互作用,根據(jù)Bhattacharyya等[21]的研究,參考微凸體和同一平面第m個(gè)微凸體之間的平均距離可以表示為

(8)

式中:m為微凸體相互作用的階次;Γ為伽馬函數(shù)。用平均距離rm,代替微凸體之間距離r,相鄰微凸體高度的變化可以表示為

由相鄰微凸體的相互作用引起的參考微凸體高度z的變化可以表示為

(10)

微凸體相互作用是指微凸體之間的相互干涉導(dǎo)致基體變形。在宏觀層面上看,這種相互作用表現(xiàn)為整個(gè)結(jié)合面平均高度的降低。由微凸體相互作用產(chǎn)生的平均平面的下降可以通過下式計(jì)算

(11)

基于微凸體的相互作用,將微凸體高度z校正為z′=z-Δε,微凸體高度分布函數(shù)可以表示為

(12)

微凸體相互作用對(duì)結(jié)合面的影響主要體現(xiàn)在微凸體的平均高度的變化上。

1.2 結(jié)合面接觸剛度的識(shí)別

通過白光干涉儀(WYKO NT9300)進(jìn)行表面形貌測(cè)試。由于鑄鐵和礦物復(fù)合材料左右床身結(jié)合面的加工精度要求一致。測(cè)試所得兩種材料床身的表面形貌如圖4所示。通過白光干涉儀的測(cè)量,可以獲得掃描粗糙表面的形貌數(shù)據(jù)(高度和坐標(biāo))。

圖4 表面形貌Fig.4 Surface morphology

Greenwood[22]提出,使用橢球體來(lái)模擬接觸面比使用球體更符合實(shí)際接觸面積的形狀。同時(shí),提出了一種利用XZ和YZ平面的頂點(diǎn)半徑計(jì)算橢球體等效頂點(diǎn)半徑的方法。如圖5所示,選擇了XZ平面和YZ平面中的五個(gè)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn),并使用二次函數(shù)來(lái)擬合兩個(gè)平面中的凹凸形狀。可以根據(jù)XZ平面和YZ平面中的頂點(diǎn)的半徑來(lái)計(jì)算微凸體的峰頂曲率半徑。

(13)

(14)

(15)

(16)

式中:Rv為橢球形微凸體的峰頂曲率半徑;R為橢球形微凸體接觸處的等效半徑;s為上結(jié)合面和下結(jié)合面中兩個(gè)微凸體對(duì)稱軸之間的距離。

識(shí)別離散點(diǎn)的幾何特征,以獲得關(guān)于微凸體的位置分布和幾何形狀的信息,包括微凸體的位置、高度和曲率半徑。對(duì)微凸體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后,可以得到結(jié)合面微凸體的特征參數(shù),如表1所示。微凸體高度和微凸體間距符合高斯分布,微凸體峰頂曲率半徑遵循伽馬分布。

表1 表面形貌參數(shù)Tab.1 Surface parameters

微凸體的高度和間距遵循高斯分布,可以由下式得出

(17)

式中,σ為粗糙度高度和粗糙度間距的標(biāo)準(zhǔn)差。

峰頂?shù)那拾霃椒馁ゑR分布,伽馬分布的概率密度函數(shù)可以通過下式表達(dá)

(18)

式中:A為形狀參數(shù);B為比例參數(shù)。

兩種床身材料的材料屬性如表2所示,圖6顯示了所建立模型預(yù)測(cè)的接觸剛度隨載荷變化的曲線。對(duì)比兩種材料載荷剛度曲線,發(fā)現(xiàn)同載荷下鑄鐵材料的接觸剛度大于礦物復(fù)合材料,并且隨著接觸壓力的增加,兩種材料之間的接觸剛度差異變得更加明顯。

表2 材料屬性Tab.2 Material properties

圖6 兩種材料法向接觸剛度隨法向載荷的變化規(guī)律Fig.6 The change of normal contact stiffness of two materials with normal load

2 動(dòng)力學(xué)特性仿真過程

2.1 有限元模型

為了提高有限元模型的運(yùn)算效率,將兩種材料床身三維模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。鑄鐵材料床身簡(jiǎn)化后的結(jié)構(gòu)如圖7(a)所示。由于礦物復(fù)合材料的彈性模量和強(qiáng)度低于鑄鐵并且難以加工,因此在將鑄鐵床身轉(zhuǎn)化為復(fù)合材料床時(shí),應(yīng)適當(dāng)調(diào)整結(jié)構(gòu)。礦物復(fù)合材料床身簡(jiǎn)化后結(jié)構(gòu)如圖7(b)所示。

圖7 機(jī)床床身三維結(jié)構(gòu)模型Fig.7 Three dimensional structure model of machine tool bed

2.2 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性分析和邊界條件設(shè)置

針對(duì)兩種材料的機(jī)床床身采用ANSYS有限元軟件對(duì)其進(jìn)行了網(wǎng)格劃分,分別取網(wǎng)格尺寸為20 mm、18 mm、16 mm、14 mm、12 mm、10 mm、8 mm、6 mm,產(chǎn)生不同疏密度的網(wǎng)格模型,進(jìn)行網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證,仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 一階模態(tài)頻率與求解時(shí)間隨網(wǎng)格尺寸的變化Fig.8 The variation of no.1 modal frequency and solution time with grid size

隨著網(wǎng)格尺寸的減小,計(jì)算時(shí)間隨之增大,且越來(lái)越快。同時(shí),一階床身模態(tài)頻率隨之減小,當(dāng)網(wǎng)格尺寸減小到8 mm時(shí),減小幅度出現(xiàn)拐點(diǎn),其后繼續(xù)減小網(wǎng)格尺寸時(shí),計(jì)算結(jié)果的減小幅度降低,然而求解時(shí)間大大增加,使得計(jì)算效率明顯降低。因此,認(rèn)為當(dāng)網(wǎng)格尺寸為8 mm時(shí),基本達(dá)到了網(wǎng)格無(wú)關(guān)性的要求。

通常情況下,機(jī)床左右床身結(jié)合面使用綁定接觸,但是采用彈簧單元約束更加符合實(shí)際情況。由于機(jī)床受到載荷后,機(jī)床的結(jié)合面隨即產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),于是在結(jié)合面處產(chǎn)生了法向接觸剛度。本文通過法向接觸剛度預(yù)測(cè)模型對(duì)機(jī)床床身結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。

如圖9所示,鑄鐵材料左右床身由5個(gè)M22螺栓和8個(gè)M20螺栓連接結(jié)合面A1,礦物復(fù)合材料左右床身由9個(gè)M22螺栓連接分別連接結(jié)合面B1和結(jié)合面B2,根據(jù)Zou等[23]的研究,10%左右的螺栓擰緊力矩T1形成預(yù)緊力F,即F=0.1T1(2π/pt)。其中pt為螺栓螺距,通過計(jì)算得到M20螺栓預(yù)緊力為146 000 N、M22螺栓預(yù)緊力為117 000 N。據(jù)此可得作用在結(jié)合面上的壓強(qiáng)值,根據(jù)法向接觸剛度-法向接觸載荷曲線得到單位面積上的法向接觸剛度。根據(jù)吉村允孝整理得出的平均接觸壓力與等效單位面積彈簧剛度值的關(guān)系可以得到機(jī)床結(jié)合面切向接觸剛度。鑄鐵和礦物復(fù)合材料床身結(jié)合面切向剛度分別為6.8×1011N/m和4.2×1011N/m。切向彈簧布置在結(jié)合面的四個(gè)角。由于左右床身結(jié)合面面積較大,因此將法向彈簧單元布置在螺栓孔處,每個(gè)彈簧單元的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)只需將總剛度值均分到各個(gè)彈簧單元上即可,如表3所示。所研究的兩種材料床身結(jié)構(gòu)復(fù)雜,體積和質(zhì)量較大,機(jī)床床身下有12個(gè)地腳螺栓,在建立有限元邊界條件時(shí)設(shè)定地腳螺栓位置為綁定約束。

表3 結(jié)合面螺栓所受壓強(qiáng)及法相接觸剛度

圖9 機(jī)床床身結(jié)合面示意圖Fig.9 Schematic diagram of the joint surface of themachine tool bed

2.3 有限元仿真結(jié)果

對(duì)有限元模型進(jìn)行分析求解,計(jì)算得到兩種材料床身的模態(tài)頻率和振型。機(jī)床床身的前六階模態(tài)頻率如表4所示。不同材料和不同約束方式均未對(duì)振型造成影響,機(jī)床床身前6階振型一致,如圖10所示。

表4 不同約束條件下機(jī)床床身前六階固有頻率Tab.4 The first six modal frequencies of machine tool bed under different constraint conditions

圖10 兩種材料床身振型圖Fig.10 Vibration diagram of machine tool bed of two materials

3 床身模態(tài)試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)設(shè)置

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析程序使用單輸入多輸出(single input multi outpu,SIMO)方法進(jìn)行。在模態(tài)試驗(yàn)過程中,使用力錘(LC1304B-200KN)撞擊激振點(diǎn),產(chǎn)生力信號(hào)和振動(dòng)信號(hào),布置在指定測(cè)試點(diǎn)的加速度傳感器(DH1A347E)收集振動(dòng)信號(hào)。采集到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)線從數(shù)據(jù)系統(tǒng)(DH5922D)采集傳輸?shù)接?jì)算機(jī),然后進(jìn)行分析和計(jì)算,如圖11所示。

圖11 模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)Fig.11 Diagram of experimental modal test system

根據(jù)機(jī)床床身的三維模型及實(shí)際裝配條件下的可測(cè)試區(qū)域,盡可能簡(jiǎn)化測(cè)量點(diǎn)的布置。測(cè)點(diǎn)設(shè)置如圖12所示,模態(tài)試驗(yàn)共設(shè)置了28個(gè)測(cè)量點(diǎn)。

圖12 模態(tài)試驗(yàn)測(cè)量點(diǎn)布置Fig.12 Layout of measurement points for modal test

3.2 試驗(yàn)結(jié)果及驗(yàn)證

通過對(duì)前六階床身模態(tài)頻率的分析計(jì)算,得到了如表5所示的模態(tài)頻率。

表5 兩種材料機(jī)床床身模態(tài)頻率對(duì)比

相干函數(shù)用于描述每個(gè)頻率下兩個(gè)信號(hào)之間的相關(guān)性。兩個(gè)光滑隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的相干函數(shù)定義為

(19)

兩種材料床身的前六階模態(tài)頻率在400 Hz內(nèi),在四個(gè)位置截取400 Hz內(nèi)的相干函數(shù)圖像,并標(biāo)定出前六階模態(tài)頻率,觀察模態(tài)頻率處的相干性和判斷數(shù)據(jù)的可靠性。從圖13可以看出,兩種材料床身六階模態(tài)頻率下的相干函數(shù)均大于0.8,由此可以判斷本試驗(yàn)的數(shù)據(jù)可靠。

圖13 兩種材料床身的相干函數(shù)Fig.13 Coherence function for the machine tool bed of the two materials

為了評(píng)估模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果的正確性,評(píng)估模態(tài)置信水平(model assurance criterion,MAC)是評(píng)估試驗(yàn)?zāi)B(tài)形狀相關(guān)性的重要指標(biāo)[24],可以表示為

(20)

式中,φi和φj是模態(tài)振型向量。

MAC取[0,1]范圍內(nèi)的實(shí)際值。接近1的系數(shù)表示完全模式匹配,而接近0的值表示相關(guān)性差。圖14顯示了該模態(tài)試驗(yàn)的MAC結(jié)果,可以得出兩種材料床身試驗(yàn)所得結(jié)果可靠的結(jié)論。

圖14 兩種材料床身MAC圖Fig.14 Mac diagram of two materials of machine tool

4 結(jié)果與討論

4.1 模型的有效性

通過有限元模態(tài)分析,可以得到在綁定條件和彈簧單元約束條件下的左右床身結(jié)合面的有限元分析模態(tài)結(jié)果。將有限元分析所得模態(tài)和試驗(yàn)所得模態(tài)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比。如圖15所示,相比于綁定邊界條件,基于本文法向剛度預(yù)測(cè)模型所建立的彈簧單元邊界條件下的前六階模態(tài)頻率與試驗(yàn)值之間的誤差更小,且最大誤差在10%以內(nèi),證明了本文所建立的有限元具有足夠的精度。

圖15 不同約束方式下機(jī)床床身模態(tài)Fig.15 Modal analysis of machine tool bed under different constraint modes

4.2 模型的普適性

如圖16所示,鑄鐵床身1階、2階、5階、6階模態(tài)誤差均小于礦物復(fù)合材料床身的模態(tài)誤差。基于彈簧單元約束的有限元模型識(shí)別鑄鐵床身的動(dòng)態(tài)特性相比于礦物復(fù)合材料床身更為準(zhǔn)確。對(duì)于礦物復(fù)合材料床身,有限元模型模態(tài)誤差較小,均小于10%。說(shuō)明本文有限元模型具有普適性。

圖16 機(jī)床床身模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率誤差Fig.16 Error between modal frequency of machine tool bed and experimental modal frequency

4.3 材料的影響

兩種材料機(jī)床床身動(dòng)態(tài)特性變化如圖17所示,礦物復(fù)合材料床身的前六階模態(tài)頻率均高于鑄鐵材料床身。且礦物復(fù)合材料床身的一階模態(tài)頻率提升最大,約為36%。在實(shí)際加工中可以有效避免共振現(xiàn)象的發(fā)生,有利于提高機(jī)床的加工精度和加工質(zhì)量。結(jié)果表明礦物復(fù)合材料床身結(jié)構(gòu)的抗振性能要比鑄鐵好,具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

圖17 不同材料機(jī)床床身模態(tài)Fig.17 Modal analysis of machine tool bed made by different material

5 結(jié) 論

以鑄鐵和礦物復(fù)合材料機(jī)床床身結(jié)合面為研究對(duì)象。通過建立的接觸剛度預(yù)測(cè)模型得到了結(jié)合面上螺栓的接觸剛度。建立了基于彈簧單元約束的有限元模型。另一方面進(jìn)行了兩種材料床身的模態(tài)試驗(yàn)。根據(jù)試驗(yàn)與有限元結(jié)果的對(duì)比,可以得出以下結(jié)論:

(1)建立了接觸剛度預(yù)測(cè)模型,對(duì)不同材料床身結(jié)合面接觸剛度進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果表明相同載荷下鑄鐵材料床身的接觸剛度大于礦物復(fù)合材料床身,并且隨著接觸壓力的增加,兩種材料之間的接觸剛度差異變得更加明顯。

(2)基于本文法向剛度預(yù)測(cè)模型所建立的彈簧單元約束條件下的前六階模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)之間誤差相比于綁定約束更小。且彈簧約束條件下最大誤差在6%以下,證明了有限元模型的準(zhǔn)確性。

(3)基于彈簧單元約束的有限元模型識(shí)別出的前六階模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率之間的誤差較小。且對(duì)于鑄鐵和礦物復(fù)合材料床身均適用,證明了模型的普適性。

(4)本文建立的考慮結(jié)合面接觸剛度的有限元模型對(duì)鑄鐵床身和礦物復(fù)合材料床身進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性分析,計(jì)算出的礦物復(fù)合材料床身的前六階模態(tài)頻率均大于鑄鐵床身,并且兩種材料床身的振型基本一致。