基于近場動力學方法的玻璃板沖擊破壞數值模擬研究

李松波, 王志良, 申林方, 華 濤, 李 澤

(昆明理工大學 建筑工程學院,昆明 650500)

玻璃作為一種具有耐高溫、耐腐蝕、強度高等優點的材料,在建筑、汽車、航空航天等重要領域得到廣泛的應用。在建筑領域,玻璃材料應用于大型玻璃幕墻、天窗、隔斷墻等,其強度和耐久性直接關系到建筑物的安全和舒適度[1]。在汽車領域,玻璃是車窗和車燈等結構的必備部件,其質量和強度對車輛的安全性能至關重要[2]。在航空航天領域,航空儀器和航天器中使用了大量玻璃材料,其性能直接影響著飛行安全和任務成功[3]。因此,針對玻璃材料在沖擊荷載作用下的失效機理及破壞形態展開研究,具有重要的理論和工程應用價值。

目前,國內外學者關于沖擊荷載作用下玻璃板的破壞機理及損傷形態已開展了大量的研究工作,并在理論分析、試驗研究及數值模擬等方面,取得了豐碩的研究成果。在理論分析方面,研究人員基于極限狀態設計理論、斷裂力學理論、疲勞失效理論、可靠性理論等,提出了多種描述玻璃失效的準則和概率模型,如:最大主應力準則、最大切應力準則、應力強度因子準則等。如:Shand[4]認為玻璃裂紋孕育起源于局部應力超過某一最小值,且裂紋擴展速率隨裂紋的增長而增加。姚國文等[5]提出了一種由偏應力沖量決定的損傷累積模型,并采用Heaviside 函數來描述材料內部的破壞遲滯現象。Pyttel等[6]提出了一種夾層玻璃在沖擊載荷作用下的失效準則,并認為玻璃在發生失效前必須達到臨界能量閾值。高軒能等[7]基于爆炸沖擊波傳播特性與玻璃強度理論,提出了建筑玻璃的爆炸沖擊破壞準則,并分析了框支承玻璃在爆炸沖擊波作用下的安全距離。然而,這些準則和模型均需要在一定假設的前提進行簡化計算,與玻璃沖擊破壞的實際情況往往存在較大誤差。試驗研究作為最可靠和直觀的方法,在評估玻璃抗沖擊性能和沖擊破壞研究方面得到了有效的應用。濮勇等[8]將空氣炮沖擊試驗與高速攝影及數字圖像處理技術相結合,研究了夾層玻璃開裂及碎片結構特性。張宗恒等[9]基于落錘試驗,研究了不同沖擊能量下PVB夾層玻璃的破壞模式。況利民等[10]針對夾層玻璃開展了沖擊試驗,并分析了沖擊速度、夾層厚度、玻璃類型等因素對玻璃試件開裂破壞形態的影響。陳勝等[11]開展了剛球沖擊建筑浮法玻璃的破壞試驗,并分析了風致飛擲物對建筑浮法玻璃的沖擊破壞效應。但是,通常情況下試驗結果受限于試驗條件及試樣尺寸等,且試驗成本往往較高,尤其是考慮多種影響因素的情況下。為此,數值模擬方法成為解決該問題的重要研究手段。Xu等[12]基于了擴展有限元法對低速頭部碰撞下的汽車擋風玻璃裂紋進行了數值計算,并得到了徑向和環向裂紋的擴展特征。陳勝等基于LS-DYNA建立了飛擲物沖擊浮法玻璃的有限元模型,并探討了飛擲物的沖擊位置、沖擊姿態和外形等特性對其沖擊效應的影響。Lin等[13]基于有限元方法研究了汽車擋風玻璃的沖擊斷裂行為。Chen等[14]采用有限差分法模擬了單顆粒光學玻璃磨削的動態沖擊效應。然而,有限元法、擴展有限元法以及有限差分法等傳統的數值計算方法,均是基于連續介質假設和空間偏微分方程求解的,在計算多裂縫擴展、分叉等復雜不連續問題時,會遇到計算精度較差和效率低等情況。由Silling[15]提出的基于空間積分方程和非局部作用的近場動力學理論,擺脫了材料不連續處平衡方程失效的限制,在處理斷裂問題方面具有獨特的優勢,故可以有效地模擬裂紋萌生和自由擴展。基于近場動力學方法,Gerstle等[16]有效地模擬了混凝土結構中的損傷和開裂問題;顧鑫等[17]研究了混凝土板侵嵌問題;Hu等[18]探討了球形彈丸撞擊玻璃板的沖擊失效破壞機制;Jafaraghaei等[19]分析了玻璃板在沖擊載荷下的失效行為。

目前針對沖擊荷載作用下玻璃板的結構破壞研究,雖已取得了豐碩的研究成果,但是仍存在一些不足之處。如:上述研究對象主要為夾層玻璃,對于普通建筑玻璃的沖擊破壞行為和抗沖擊性能研究則涉及較少。同時,目前的研究成果局限于玻璃板宏觀裂紋擴展過程及力學行為的定性描述,而對于裂紋網絡形態參數的定量化研究則較少。為此,本文基于鍵型近場動力學方法,建立了低速沖擊作用下浮法玻璃板結構損傷及裂紋擴展過程的數值模型,并基于數字圖像處理技術將Zhang-Suen細化算法[20]用于裂紋骨架的提取,采用統計分析方法定量計算了裂紋網絡的形態參數(裂紋長度、裂紋占比)等,以此來評價剛球初始沖擊速度、剛球直徑和玻璃板厚度等因素對玻璃損傷和裂紋擴展的影響。

1 鍵型近場動力學方法

1.1 理論計算模型

經典連續介質力學是一種局部理論,即假設某點僅與其相鄰點有相互作用,在采用空間微分方程處理裂紋不連續性問題時會出現奇異性。而近場動力學則基于非局部作用和空間積分方程,將材料視為通過非局部力相互作用物質點或粒子的集合[21],使得該方法能夠準確地模擬材料的損傷、裂紋的萌生及擴展過程。近場動力學通過物質點與其近場影響范圍內物質點的相互作用來表征宏觀的物理力學行為,如圖1所示。物質點之間的相互作用由微勢能控制,而微勢能則與材料本身特性和變形密切相關。物質點間相互作用的影響范圍由近場半徑δ決定,當δ趨于0時,近場動力學可退化為經典的彈性力學。鍵型近場動力學是基于成對物質點之間相互作用力大小相等方向相反的假設而建立的,如圖2所示。

圖1 近場動力學物質點x(k)與物質點x(j)之間的相互作用Fig.1 The interaction between particle x(k) and particle x(j) based on peridynamics

圖2 物質點x和x′間的變形及作用力Fig.2 Deformation and forces between particle x and particle x′

物質點在t時刻的運動方程為

(1)

式中:ρ為物質點密度;x為物質點坐標;t為時間;H為近場作用域;u為位移向量;f為力密度矢量;b為外力矢量;x′、u′為近場作用域內物質點的坐標及位移。

力密度矢量f為物質點x′施加在x上單位體積平方的力矢,與物質點間的伸長率呈線性關系,可表示為

考慮物質點x與其近場作用域內其它物質點x′的相互作用,采用顯式向前、向后差分技術對式(1)進行時域積分,可將運動方程離散為

(3)

式中:n為時間步;N為近場作用域內的物質點總數;V為物質點的體積;k、j為物質點號。

根據時間步n的加速度和速度,可計算出時間步n+1的速度;同理,由時間步n的位移和時間步n+1的速度,可確定時間步n+1的位移。相應的計算公式為

(4)

(5)

式中:k為第k個物質點;Δt為時間步步長。

當鄰域物質點位于近場邊界附近時,會出現近場作用域不完整的情況,即,部分體積在近場作用域以外,故須引入體積修正因子vc(j)

(6)

式中:r=Δ/2為到近場作用域表面的距離;Δ為物質點間距;ξ(k)(j)=|x(j)-x(k)|為物質點之間的距離。

引入體積修正因子后,運動離散方程式(3)可改寫為

(7)

1.2 結構損傷定義

在近場動力學方法中,材料損傷是通過物質點之間相互作用鍵的斷裂來表征的。當兩個物質點之間的伸長率s超過臨界伸長率sc時,就會產生鍵的斷裂,這就意味著兩點之間的作用力發生不可逆地消除。考慮鍵斷裂的影響,將材料的損傷定義為

(8)

式中:φ為損傷變量,取值范圍為[0,1],當φ=0為該物質點與其近場作用域內所有物質點間的作用鍵完好,而φ=1則表示作用鍵全部斷裂;μ為標量函數,表示物質點對的鍵破壞情況,表達式為

(9)

鍵臨界伸長率sc的取值與臨界能量釋放率Gc有關,可表示為[22]

(10)

式中,E為材料的彈性模量。

1.3 剛體沖擊作用機制

將沖擊物視為剛性球體,以初始速度v0與被沖擊物發生撞擊;而被沖擊物的變形則由近場動力學運動方程控制,整個沖擊過程如圖3所示。當兩個物體發生接觸時,存在相互貫穿的現象,而實際情況中并不存在這樣的接觸,故須將穿透到沖擊物內部的物質點重新定位至沖擊物外的新位置處,這些物質點的新位置為距離沖擊物表面最近點的坐標。剛性球體的沖擊過程主要通過以下5個步驟實現:

圖3 沖擊過程示意圖Fig.3 Schematic diagram of impact process

步驟1搜尋侵入剛球內部的物質點。遍歷被沖擊物上的所有物質點,并計算其到球心的距離dm,如dm小于剛球半徑r,則該物質點侵入剛球內部,需重新定位。

步驟2確定侵入剛球內部物質點的新坐標。首先計算球心與侵入剛球內部物質點連線的外法線方向;然后將該物質點沿法線方向移至剛球表面,如圖3(c)所示。

(11)

(12)

將侵入剛球內部所有物質點對剛球的沖擊反力進行求和,可得t+Δt時刻沖擊物受到的反作用力F(t+Δt)

(13)

(14)

步驟5根據牛頓第二定律更新下一時間步剛球的加速度、速度及位移。

1.4 裂紋骨架提取及形態參數量化

為了對玻璃板的沖擊破壞效果進行定量的評價,根據近場動力學的數值計算結果,將φ>0.4的物質點定義為裂紋,標記為1;其它物質點標記為0,由此得到二值化的裂紋網絡結構圖。同時,基于數字圖像處理技術將Zhang-Suen細化算法應用于裂紋網絡骨架的提取,用于表征裂紋形態及擴展規律[23],圖4為裂紋損傷結構圖與提取骨架圖的對比。最后,采用統計方法對裂紋網絡進行量化計算,并提出了以下形態參數:

圖4 裂紋損傷結構圖與提取骨架對比Fig.4 Comparison between crack damage structure and extracted skeleton

(1)裂紋占比De:裂紋物質點面積與計算域總物質點面積之比

(15)

式中:Sd為損傷值大于0.40的物質點面積;St為計算域總物質點面積。

(2)裂紋長度:將裂紋骨架物質點的長度相加,即為裂紋長度

(16)

2 算例驗證

Kalthoff-Winkler試驗[24-25]是經典的金屬動態斷裂問題。試驗中將沖擊物視為圓柱狀剛體,其直徑為D0=0.05 m,高度為H=0.05 m,初始沖擊速度為v0=-32 m/s。受沖擊鋼板長為L=0.2 m,寬為W=0.1 m,厚度h=0.009 m,彈性模量為E=191 GPa,泊松比為υ=0.25,密度為ρ=8 000 kg/m3。鋼板中對稱分布兩條裂縫,其寬度為a0=0.001 5 m,長度為h0=0.05 m,裂縫間距為d=0.05 m。鋼板不受位移約束,且初始處于靜止狀態,在圓柱體的沖擊下發生動態斷裂破壞。計算模型如圖5所示。

圖5 Kalthoff-Winkler試驗模型Fig.5 Kalthoff-Winkler experiment model

基于鍵型近場動力學方法,針對圓柱狀剛體沖擊帶裂縫鋼板,致使其發生斷裂破壞過程進行了數值計算,圖6為計算得到的結構損傷圖。該數值模型計算得到的鋼板裂紋擴展方向與中軸線的夾角為67.49°,這與文獻[24]的試驗結果夾角為68°非常吻合。同時,鋼板裂紋的起裂時間約為28.7 μs,與試驗得到的起裂時間略低于29 μs也較為一致。這充分證明了本文計算模型在處理剛體沖擊導致結構產生裂紋及裂紋擴展方面,具有較好的適應性和計算精度。

圖6 Kalthoff-Winkler試驗數值計算結果Fig.6 Simulated damage cloud image of Kalthoff-Winkler experiment

3 計算結果討論

為了研究剛體沖擊作用下玻璃板的裂紋破壞形態,基于鍵型近場動力學方法,通過編寫Fortran代碼建立了剛球低速沖擊浮法玻璃板的三維數值模型,如圖7所示。玻璃板長為L=100 mm,寬為W=100 mm,厚度為h=3 mm,板的四周受固定約束。剛球與玻璃板的凈距為t=2 mm,剛球直徑為D=10 mm,初始速度為v0=10 m/s。玻璃板的材料參數為:密度為ρ=2 530 kg/m3,彈性模量為E=72 GPa,泊松比為υ=0.25。近場動力學模型參數為:物質點間距Δ=0.5 mm,近場鄰域半徑為δ=3.015Δ=1.508 mm,鍵的臨界伸長率為sc=0.000 1,時間步長為Δt=8.7×10-8s。為了探究剛球初始沖擊速度、剛球直徑和玻璃板厚度等因素,對剛球沖擊玻璃板破壞形態的影響,設計如表1所示的計算工況。

表1 計算工況Tab.1 Design of calculation conditions

圖7 剛球沖擊玻璃計算模型Fig.7 Calculation model for rigid ball impact glass

3.1 初始沖擊速度

為了研究剛球初始沖擊速度對玻璃板破壞形態的影響,針對沖擊速度v0分別為5 m/s、10 m/s、15 m/s、20 m/s、25 m/s的工況一分別進行了數值計算,得到的玻璃板結構損傷特征及裂紋網絡骨架分別如圖8、圖9所示。由圖可知:采用Zhang-Suen細化算法所提取的裂紋網絡骨架能夠反映出玻璃板破壞形態的變化。隨著剛球初始沖擊速度的增大,玻璃板的碎裂化程度加劇。當沖擊速度大小為5 m/s時,裂紋沿著最大應力方向呈輻射狀擴展,環狀裂紋則較為不明顯;隨著沖擊速度的增加,沖擊點附近的局部破壞面積逐漸擴大,結構損傷加劇,而裂紋分支數量也趨于增多,且徑向裂紋的尖端向邊界擴展。徑向裂紋尖端傾向于同相鄰的裂紋尖端連接形成環狀裂紋,并構成由環向裂紋和徑向裂紋組成的裂紋網絡。當沖擊速度增加至15m/s時,玻璃板出現了大規模破壞,裂紋數量增多,并伴隨裂紋分支的擴展和貫通。此后,隨著沖擊速度的進一步增加,玻璃板裂紋網絡形態變化較小,但損傷程度進一步加劇。本文的玻璃板沖擊破壞的裂紋網絡形態與文獻[26]的試驗結果表現出了較好的一致性。

圖8 不同沖擊速度下玻璃板的結構損傷圖Fig.8 Structure damage images of glass panels under different impact velocities

圖9 不同沖擊速度下玻璃板的裂紋網絡骨架Fig.9 Crack network skeleton of glass panels under different impact velocities

圖10為不同初始沖擊速度作用下玻璃板中裂紋占比及裂紋長度的演化趨勢。由圖可知,裂紋長度和裂紋占比均隨初始沖擊速度的增加而增大,且近似呈線性規律。當沖擊速度v0≤15 m/s時,隨著沖擊速度的增加裂紋長度增加顯著;此后裂紋長度增加趨勢略有減緩,這表明此時玻璃板的碎裂化程度已較為嚴重,裂紋擴展已趨于邊界。而裂紋占比的變化趨勢則未表現出較大的波動現象,說明隨著沖擊速度的增加裂紋寬度也逐漸增大,在一定程度上彌補了裂紋長度增加趨勢減緩的損失。

圖10 裂紋形態參數與沖擊速度間的關系Fig.10 Relationship between crack morphology parameters and impact velocity

圖11為不同初始沖擊速度下剛球的速度時程曲線。由圖可知,剛球與玻璃板接觸后在極短的時間內速度迅速降低,之后速度平穩下降直至穿透玻璃板。同時,初始沖擊速度越大,剛球與玻璃板的沖擊作用持續時間越短,剛球速度減小值也越大,剛球對玻璃板的沖擊力也越大,從而造成玻璃板的裂紋網絡更加復雜,結構碎裂程度加劇。

圖11 不同初始沖擊速度情況下剛球的速度時程曲線Fig.11 Velocity time history curves of rigid ball under different initial impact velocities

3.2 剛球直徑

剛球直徑直接影響著沖擊過程中玻璃板結構的損傷以及裂紋網絡形態的發展。為了研究剛球直徑對玻璃板沖擊破壞的影響,針對工況二剛球直徑分別為D=2 mm、4 mm、6 mm、10 mm、14 mm五種情況下的玻璃板沖擊破壞過程進行了數值計算,其結構損傷情況如圖12所示。由圖12可知:隨著剛球直徑的增加,其與玻璃板的接觸區范圍擴大,致使玻璃板的損傷程度加劇,且更易形成結構復雜的裂紋網絡。當剛球直徑D=2 mm時,玻璃板裂紋呈十字放射狀分布,且裂紋分支并不明顯。隨著剛球直徑的增加,其結構破壞范圍逐漸擴大,裂紋分支也愈發顯著,且環狀裂紋增多,各裂紋之間逐漸連通、交叉,并形成了復雜的裂紋網絡。

圖12 不同剛球直徑下玻璃板的結構損傷圖Fig.12 Structure damage images of glass panels under different rigid ball diameters

圖13為裂紋形態參數(裂紋占比和裂紋長度)與剛球直徑間的關系。由圖13可知:裂紋占比和裂紋長度呈現出相似的變化趨勢,且均隨著剛球直徑的增加而顯著增大。當剛球直徑D從2 mm增加至4 mm的過程中,裂紋形態由十字放射狀轉化為放射環狀發生了顯著變化,故裂紋占比和裂紋長度均發展迅速;當剛球直徑D增加至6 mm時,玻璃板結構損傷變化不大,故裂紋形態參數變化有減緩的趨勢。此后,隨著剛球直徑的進一步增大,玻璃板碎裂化程度加劇,裂紋形態參數也顯著增加,且均與剛球直徑近似呈線性關系。圖14為不同直徑剛球的速度演化時程曲線,由圖14可知:隨著剛球直徑的增加,在與玻璃板撞擊后其速度損失逐漸增大,且速度衰減趨勢隨直徑增加而加劇。當剛球直徑分別為2 mm、4 mm、6 mm、10 mm及14 mm時,其速度衰減量分別為:0.013 2 m/s、0.019 4 m/s、0.025 6 m/s、0.043 1 m/s以及0.068 5 m/s。因此剛球直徑增加使得其對玻璃板的沖擊力也相應的增大,這也是導致玻璃板結構損傷以及裂紋形態參數變化加劇的重要因素。

圖13 裂紋形態參數與剛球直徑間的關系Fig.13 Relationship between crack morphology parameters and rigid ball diameter

圖14 不同直徑情況下剛球的速度時程曲線Fig.14 Velocity time history curves of rigid ball with different diameters

3.3 玻璃板厚度

為了研究同等剛球沖擊條件下,玻璃板厚度對其結構損傷及沖擊破壞的影響,針對工況三厚度為h=1.5 mm、3.0 mm、4.5 mm、6.0 mm及7.5 mm五種情況時的玻璃板沖擊破壞過程進行了數值計算,并得到了相應的結構損傷結果,如圖15所示。從圖中可以明顯看出:玻璃板厚度越大,其結構損傷范圍越大且碎裂化程度越顯著,而裂紋擴展分支也增加越多,裂紋形態逐漸趨于復雜化。當玻璃板厚度較小(h=1.5 mm)時,其沖擊過程迅速完成,在剛球與玻璃板接觸部位附近的局部結構損傷較為嚴重,但整體影響范圍較小;隨著玻璃板厚度的增加,其結構損傷的影響范圍顯著擴大,而沖擊點附近的局部結構損傷則有所減弱。

圖15 不同玻璃板厚度下結構損傷圖Fig.15 Structure damage images of glass panels with different thickness

圖16為玻璃板破壞時的裂紋形態參數(裂紋占比與裂紋長度)與其厚度間的關系。由圖16可知:裂紋占比與裂紋長度均隨玻璃板厚度的增加而增大,且變化趨勢略有減緩。產生這種現象的原因主要是由于玻璃板厚度越大,剛球沖擊持續時間越長,速度衰減量也相應的增加,如圖17所示,從而導致玻璃板所承受的沖擊能有所增加。當玻璃板厚度從h=1.5 mm增加至7.5 mm過程中,速度衰減量從0.014 4 m/s增加至0.270 8 m/s,增加顯著;而沖擊持續時間則由14.268 μs增加至47.154 μs,故剛球對玻璃板各部分的擾動并非同時發生,而是存在一個歷時過程,這也是導致玻璃板裂紋結構復雜化、影響范圍擴大、碎裂化程度加劇的重要原因。

圖16 裂紋形態參數與玻璃板厚度間的關系Fig.16 Relationship between crack morphology parameters and glass panel thickness

圖17 不同板厚情況下剛球的速度時程曲線Fig.17 Velocity time history curves of rigid ball under different glass panel thicknesses

4 結 論

基于鍵型近場動力學方法,考慮沖擊作用下結構損傷產生斷裂破壞影響,建立了剛性球體沖擊玻璃板的三維數值計算模型。同時,采用數字圖像處理技術對玻璃板的裂紋破壞形態進行了量化統計分析。最后,探究了剛球沖擊作用下初始沖擊速度、剛球直徑以及玻璃板厚度等因素,對玻璃板沖擊破壞結構形態、裂紋擴展機制的影響,得出以下結論:

(1)基于鍵型近場動力學方法,針對Kalthoff- Winkler試驗過程進行了數值計算,從裂紋擴展方向以及起裂時間來看,本文數值計算結果與試驗結果非常吻合,驗證了本文計算模型在處理剛體沖擊致結構破壞問題的可靠性。

(2)剛球的初始沖擊速度對玻璃板的裂紋擴展形態有著顯著影響。當初始沖擊速度較小時,裂紋以徑向輻射狀為主,隨著沖擊速度的增加,徑向裂紋尖端間傾向于形成環狀裂紋,并形成放射環狀的復雜裂紋網絡。故剛球初始沖擊速度越大,其對玻璃板的沖擊力也越大,從而造成玻璃板結構的碎裂程度加劇。此外,玻璃板的裂紋長度和裂紋占比均隨初始沖擊速度的增加而增大,且近似呈線性關系。

(3)當剛球直徑較小時,玻璃板裂紋呈十字放射狀徑向擴展。隨著剛球直徑的增加,玻璃板的損傷程度會加劇,且裂紋網絡傾向于復雜化。同時,剛球與玻璃板撞擊后其速度損失量隨直徑的增加而逐漸增大,且速度衰減趨勢也加劇,使得其對玻璃板的沖擊力增加,從而加重結構的損傷破壞。

(4)隨著玻璃板厚度的增加,剛球沖擊持續時間越長,速度衰減量也相應地增加,從而導致玻璃板所承受的沖擊能有所增加,因此當玻璃板厚度較小時,剛球與玻璃板接觸部位附近結構損傷嚴重,但整體影響范圍較小;而當厚度較大時,其結構損傷的影響范圍擴大,而沖擊點附近的局部損傷則有所減弱。