混聯機器人關節間隙誤差建模及其定位精度可靠性分析

郭天宇 張德權 吳錦輝 周鵬飛 孟原

摘要：機器人末端定位精度可靠性是衡量其精度性能的重要指標，關節間隙是影響機器人定位精度的主要因素之一，建立準確的機器人定位精度誤差模型是進行可靠性分析的前提。為探究空間關節間隙的隨機不確定性對含有閉鏈機構混聯機器人定位誤差的影響規律，本文運用旋量理論和D-H參數法，提出一種考慮關節間隙的混聯機器人定位精度誤差模型；根據關節間隙模型參數的約束條件，量化間隙模型參數的不確定性，建立混聯機器人定位精度的可靠性模型；采用雙變量降維方法和鞍點近似方法，擬合機器人單坐標定位誤差的概率密度函數，實現混聯機器人定位精度高效可靠性分析。以含有平行四邊形閉鏈機構的建筑機器人為例，驗證所提模型的準確性和工程適用性，結果表明所提方法對比于傳統的蒙特卡洛方法極大地提高了效率。

關鍵詞：混聯機器人；定位精度；關節間隙；不確定性；可靠性分析

中圖分類號：TP242文獻標識碼：ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2024.01.0030

引言

機器人末端執行器的位置精度是機器人重要的性能指標之一，定義為末端執行器實際位置與期望位置的偏差[1]。產生偏差的主要原因是機器人存在潛在不確定性，如加工誤差[2-3]、裝配誤差[4]、關節間隙[5]等。其中關節間隙作為不可避免的不確定性因素嚴重影響機器人末端定位精度。

關節間隙模型依據工作空間可分為平面關節間隙模型[6-7]和空間關節間隙模型[8]。針對平面關節間隙模型，Ting等[6]利用虛擬桿件法求解四連桿機構誤差邊界，分析含轉動關節和移動關節的連桿機構間隙疊加對其輸出位置的影響。Chen和Gao[9]提出考慮具有轉動間隙的多桿機構動態精度可靠度建模與計算方法，研究驅動速度、間隙值和間隙處摩擦系數在不同變化范圍內對機構動態精度可靠性的影響。Zhan等[10]將關節間隙參數設為區間變量，將其他參數設為隨機變量，針對具有區間變量和隨機變量的機械臂，提出一種新的混合可靠性分析方法。由于多環閉鏈機構存在閉環耦合和結構復雜等不利因素，趙強強等[11]提出一種用于多環閉鏈機構的建模方法，該方法通過分析精度模型和誤差源概率分布類型，實現了多環閉鏈機構誤差空間分析。上述間隙模型都基于平面模型，但機器人在工作過程中由于磨損等因素可能會產生徑向間隙，故需要分析空間關節間隙模型。

對于空間關節間隙模型，區間分析和優化技術是常用的分析工具。Briot和Bonev[8]將區間分析方法應用于三自由度平面并聯機器人的精度分析。Zhao等[12]提出一種計算并聯機構誤差空間的封閉式方法，將關節間隙、輸入不確定性和制造缺陷引起的局部位姿偏差定義為運動群上的高斯分布，能夠快速預測末端執行器位姿誤差分布的協方差和均值。侯雨雷等[13]考慮運動副間隙和桿件柔性對3PSS/S并聯機構進行軌跡仿真，采用模糊神經網絡綜合誤差預估模型進行誤差預估。Frisoli等[14]提出一種基于旋量理論的帶轉動關節間隙空間并聯機器人位置精度分析方法，利用優化技術來搜索最大偏差。Wu等[15]利用傳統的線性正微分運動學對3PPR并聯機器人進行誤差建模，然后通過優化得到關節間隙方面的誤差矢量最大幅值。Meng和Ze[16]基于旋量理論提出一種并聯機器人誤差分析的通用方法，通過將誤差計算轉化為優化問題能夠有效求得誤差最大值。然而，由于不同參數不確定性和包裹效應的相互作用[17]，區間分析方法在本質上高估了誤差范圍，求解可靠性不準確。對于優化方法，一旦約束條件變得不規則，很難尋求全局最優解，即使得到了最優結果，也只是提供了最大的位置和方向偏差，而誤差分布類型未知，無法分析可靠性。

矩方法[18]是一種可以同時得到目標函數概率分布和可靠度的方法，不需計算設計點和功能函數的導數，因此受到很多學者關注。Zhang和Han[1]將機器人連桿尺寸和關節轉角考慮為正態分布不確定性變量，并基于鞍點近似分析機器人的單點定位精度可靠性。Wu等[19]利用點估計方法對工業機器人定位精度可靠性進行有效評估。上述可靠性分析方法雖然效率和精度較高，但沒有對空間關節間隙進行具體分析。

根據上述問題，針對由空間關節間隙引起的混聯機器人末端定位精度誤差，結合可靠性分析方法，開展串聯機器人誤差模型和閉鏈機構誤差模型的研究；通過對模型進行不確定性度量，提出關節間隙模型參數新分布；考慮關節處全方向誤差，通過降維積分方法計算定位誤差的前四階矩，通過鞍點近似方法分析定位精度的可靠性。

1基本理論

1.1關節間隙模型

空間轉動關節間隙如圖1所示，關節間隙的存在使得關節處產生微小誤差，關節間隙在關節處引起誤差如下[20]：

式中，ei（i=1，2，…，5）表示除繞轉動副軸線外其余五個方向運動的基向量，δσ1、δσ2和δσ3表示沿x、y和z軸的位移誤差，δσ4和δσ5表示繞x和y軸的轉動誤差。

由于關節間隙結構的約束，當機構在關節處產生微小位移時，在銷軸軸向方向的位移需要小于等于εa，徑向方向需要小于等于εr，即

1.2D-H參數法與旋量理論

D-H參數法[19]過程簡單且便于理解，旋量理論[22]可直觀描述剛體運動的幾何特點，故本文采用D-H參數進行機器人運動學分析，采用旋量理論分析關節間隙模型參數對機器人末端定位精度的影響。值得注意的是分析各關節微小誤差對機器人末端定位精度影響時，要在每個關節處都建立慣性坐標系，機器人末端位姿在關節處慣性坐標系上可表示為

式中，Ti0為第i個關節處的慣性坐標系到D-H參數坐標系的變換矩陣。

剛體空間位置的變化可表示為繞某直線的轉動加平行于該直線的移動。設動坐標系為B，靜坐標系為A，剛體在A系上的位姿變換矩陣可表示為[22]

式中，SE（3）為位姿變換的特殊歐式群；R為姿態變換矩陣；SO（3）為三維旋轉矩陣構成的特殊正交群；P為位置矢量；R3為三維向量空間。

若剛體繞軸線ω=［ωx，ωy，ωz］T∈R3轉動θ角度，則剛體轉動的矩陣指數表示為

在純轉動情況下，剛體旋轉可用矩陣指數表示為

伴隨變換是指李代數的一個剛體平移，對于給定變換g=（P，R）∈SE（3），g的伴隨矩陣為

上文介紹了空間關節間隙模型、D-H參數法和旋量理論基礎；后續結合上述理論建立在關節間隙影響下含有閉鏈機構的混聯機器人末端定位誤差模型，并對模型中的參數進行不確定性度量。

2混聯機器人關節間隙誤差建模

2.1串聯機構間隙誤差

如圖3所示，設機器人末端的坐標為（x，y，z），由關節間隙引起機器人末端定位誤差為

式中，δE1、δE2和δE3表示機器人末端沿x、y和z軸的平移誤差；δE4、δE5和δE6表示關節間隙引起的機器人末端繞x、y和z軸的轉動誤差。

轉動關節軸線與基礎坐標系的z軸不共線時，利用旋量理論計算局部坐標系的伴隨變換矩陣，可分析任意關節處微小誤差對末端的影響。如圖4所示，轉動副繞基礎坐標系x軸轉動，建立基礎坐標系g（x，y，z）和局部坐標系g0（x0，y0，z0）。在給定局部坐標系的位姿后，由于其轉動軸線過原點，因此q=000T，轉動副的軸線方向ω=100T，該轉動副相對應的運動旋量為

局部坐標系到基礎坐標系的位姿轉換矩陣為

根據式（7）和（8）可得g對應的伴隨矩陣為

基礎坐標系下機器人末端位置坐標為（x， y， z），由式（19）可知，基礎坐標系下的關節間隙對機器人末端的影響可由下式求解：

當已知伴隨變換矩陣和機器人末端位置坐標，則關節間隙對機器人末端定位精度的影響矩陣可表示為

M=U·Adg，（14）

則單個關節間隙導致的機器人末端定位誤差為

式中，串聯機器人關節受電機驅動，繞轉動副轉動的轉動誤差為0，即δσ6=0。

在工程實踐中，若已知關節轉動副軸線方向和局部坐標系的轉換矩陣，可求解伴隨變換矩陣，然后根據本文提出的影響矩陣M分析任意關節間隙對機器人末端位置誤差的影響。

2.2閉鏈機構間隙誤差

相比于串聯機器人，閉鏈機構中關節更多，關節間隙對機構精度影響更復雜。本節以平行四邊形閉鏈機構為例，分析關節間隙對閉鏈機構的影響。平行四邊形機構坐標系建模如圖5所示，與串聯機器人不同，平行四邊形共有4個關節，其中R11為主動關節，其余都為被動關節，需要獲得R12、R21和R22繞轉動副軸線的轉動誤差。如圖6所示，平行四邊形機構可看作由兩個串聯機構組成的閉鏈機構。

設Mg11、Mg12、Mg21和Mg22分別為R11、R12、R21和R22處關節間隙對機器人定位精度的影響矩陣，則關節處間隙模型可表示為

式中，δσij為第i條支鏈的第j個關節的間隙模型。設Bij為第i條支鏈的第j個關節所對應的變換矩陣，

δrij為第i條支鏈的第j個關節間隙模型對應的前5個關節參數，

被動關節繞轉動副軸線的旋轉誤差設為δΘ1=δσ126和δΘ2=δσ216δσ226T，可計算平行四邊形兩條支鏈的誤差為

δEi=Bi·dri+Ji·δΘi（i=1，2）。 ???（21）

由幾何約束可知，關節間隙引起的兩條支鏈交點的誤差需相等，聯立方程可得

通過式（24）可求解R12沿運動副軸線轉動的旋轉誤差為

當機器人含有閉鏈機構時，可通過上述方法分析該機構中被動關節繞轉動副軸線的轉動誤差，進而獲得關節間隙對含有平行四邊形機構的混聯機器人末端定位精度誤差模型。

2.3關節間隙參數不確定性度量

由1.1節可知，關節間隙模型各參數的上下界如式（3）所示，設εr=1mm，εa=0.5mm，各參數的統計信息如表1所示。

由于關節間隙的存在，參數之間應滿足式（2）的約束方程。對模型中參數進行不確定性度量，以表1中均值和標準差生成樣本點代入約束方程，將符合約束條件的樣本點提取出來，提取后樣本點的統計信息如表2所示。本文采用3種蒙特卡洛模擬法（Monte Carlo Simulation， MCS），分別是新分布的MCS、原始分布的MCS和考慮約束的MCS。其中新分布的MCS為以約束后均值和約束后標準差生成樣本；原始分布的MCS以原始均值和原始標準差生成樣本；考慮約束的MCS為將服從約束的樣本點為樣本。

在實際工程中，關節參數模型中各個參數應滿足約束方程，因此將考慮約束MCS的計算結果作為參考結果。根據式（15）可得單個關節對機器人末端定位誤差，將x軸方向的誤差作為功能函數，其中式（26）小于0時定義為失效。

式中，x=y=z=200 mm，θ=π/3，r為閾值。為了方便理解，考慮單關節影響并以x方向為例，采用上述三種方法計算不同閾值下的機器人末端定位精度失效概率和可靠性指標，其中閾值r從0.1 mm變化到1.4 mm，計算結果如表3所示。表中失效概率表示式（26）x方向定位誤差小于等于閾值r的概率，可靠性指標與失效概率在數學上存在如下對應關系[23]：

Pf=Φ（-β）=1-Φ（β）， ???（27）

式中，Pf表示失效概率，β表示可靠性指標，Φ（·）表示標準正態分布的累計分布函數。由式（27）可見，當失效概率大于0.5時，可靠性指標為負數。為了更直觀地比較三種方法，將表3中的數據繪制成曲線如圖7所示。

圖7中橫坐標表示閾值，縱坐標表示功能函數的失效概率。MCS與考慮約束的MCS結果差距很大，新分布的MCS與考慮約束的MCS的結果更為接近，說明新分布能夠包含約束方程的信息，因此在分析關節間隙對機器人末端精度可靠性的影響時，關節間隙中各個參數應符合本節所采用的分布。

3工程實例

3.1幕墻安裝機器人誤差模型

圖8和圖9分別為高空幕墻安裝機器人的實物圖[24]和結構簡圖，該建筑機器人在構型上包含兩個平行四邊形機構。以此類建筑機器人為例，采用提出的方法對該機器人末端單點定位精度進行分析。首先，分析D點和H點處被動關節繞轉動副軸線的轉動誤差，具體流程見2.2節，結果如式（25）所示。設BC長度為D1，DG長度為D2，則D點和H點繞轉動副軸線的轉動誤差為

根據銷軸與桿件是否固連，鉸鏈連接可分為兩種[11]：第一種為銷軸固連在桿件上，如圖10（a）所示，兩個桿件之間含有一個關節間隙；第二種為銷軸不連接在桿件上，如圖10（b）所示，此時鉸鏈連接處含有兩個關節間隙。高空幕墻安裝機器人除了D點的關節采用圖10（b）所示的連接方式，其余關節都為圖10（a）所示的連接方式。當已知被動關節繞轉動副軸線的轉動誤差后，便可將機器人看作含有7個關節的串聯機器人，具體坐標系建模方式如圖11所示。在每個關節建立兩個坐標系gi和gi0，其中gi為關節處的基礎坐標系，gi0為關節間隙模型坐標系也稱局部坐標系。由于高空幕墻安裝機器人含有兩個平行四邊形機構，因此連桿DE會始終保持水平狀態，第三軸角度θ4由θ2和θ3耦合而成，進一步分析可得θ4=-（θ2+θ3）。高空幕墻安裝機器人D-H參數如表4所示。

如圖11所示，關節間隙引起的高空幕墻安裝機器人末端定位誤差可視為由8個關節間隙（D處含有兩個關節間隙）引起誤差，通過2.1節和2.2節建模方法可得最終誤差如下

δE=M1·σ10+M2·σ20+M3σ310+M3·σ320+M4·σ40+M5·σ50+M6·σ60+M7·σ70， ???（30）

式中，Mi為第i個關節處關節間隙機器人末端定位精度的影響矩陣；σi0表示第i個關節的模型參數。其中關節3處對應圖9中D點的位置，為圖10（b）的鉸鏈接觸類型，在求解關節3處間隙對機器人末端定位精度的影響時需考慮兩個關節間隙，因此σ310表示關節3處第一個關節間隙模型在關節3處引起的誤差，σ320表示第二個關節間隙模型在關節3處引起的誤差。

3.2基于降維積分的可靠性分析方法

為準確評估關節間隙對機器人末端精度的影響，考慮關節間隙處全方向誤差，MCS需要大量計算，無法滿足實際工程需求。基于降維積分方法的可靠性分析方法能夠在保證精度的同時減少功能函數的調用次數。其中采用雙變量降維方法準確求解功能函數的前四階矩；然后采用鞍點近似方法構建機器人誤差的概率密度函數（probability density function， PDF）進而分析可靠性。

3.2.1雙變量降維法

由于機器人關節較多，功能函數公式復雜，求解功能函數的前四階矩容易造成“維數災難”，在保證精度的同時需要通過降維方法避免直接求解高維積分。假定結構的功能函數為[25]

雙變量降維（bivariate dimension-reduction method， BDRM）需要將隨機變量轉換特定分布的正態變量，輸入隨機變量Xi（i=1，2，…，n）轉換到Ui～N（0，0.5）轉換公式為

利用高斯-埃爾米特積分求解式（38）中一維積分和二維積分，得到目標函數的整數原點矩。

3.2.2鞍點近似

獲得功能函數的前四階矩后，可采用鞍點近似（saddle point approximation， SPA）方法擬合功能函數響應的概率分布。根據SPA方法，Y的累積量生成函數（cumulant generating function， CGF）定義為[25]

式中，sgn（·）表示符號函數。

3.3定位精度可靠性分析結果

關節間隙引起的機器人定位誤差由式（30）所示，設轉角θ1=0、θ2=π/3、θ3=2π/3、θ5=0、θ6=4π/9、θ7=0。設機器人x、y和z軸方向的定位誤差分別為ex、ey和ez。當定位誤差小于一定閾值后表示機器人定位失效。采用考慮約束的MCS、新分布的MCS、BDRM和單變量降維（univariate dimension-reduction method，UDRM）四種方法計算ex、ey和ez的前四階矩分別如表5～7示。

通過表5～7可以看出BDRM前四階矩與考慮約束的MCS結果十分接近，而UDRM中第四階矩誤差較大。這是由于UDRM不能很好解決誤差模型中參數之間相互耦合問題。因此本文采用BDRM準確求解前四階矩。

如圖12和圖13所示，已知功能函數的前四階矩，可通過鞍點近似方法擬合定位誤差概率密度函數并求解不同閾值下的定位精度可靠度，將擬合曲線與考慮約束的MCS的擬合曲線進行對比。

考慮約束的MCS功能函數調用次數為106，雙變量降維方法和鞍點近似方法對ex、ey和ez三個功能函數的調用次數分別為1 459次，3 043次和2 889次。通過圖12和圖13可知，雙變量降維方法和鞍點近似方法相比于MCS調用功能函數次數較少，并且能準確分析由空間關節間隙引起的混聯機器人定位精度可靠性。

4結論

針對空間關節間隙對混聯機器人定位精度的影響，本文提出了一種混聯機器人誤差建模方法，并對關節模型參數進行了不確定性度量，最后采用雙變量降維方法和鞍點近似方法分析定位精度可靠性。

1） 研究空間關節間隙的隨機不確定性對含有閉鏈機構混聯機器人定位精度的影響規律。提出了一種基于旋量理論的混聯機器人定位精度誤差模型，該模型能夠合理分析空間關節間隙不確定性對機器人末端定位精度的影響。

2） 考慮空間轉動關節間隙引起的誤差需滿足一定約束條件，對間隙模型參數的不確定性進行度量，獲得混聯機器人考慮關節間隙的定位精度可靠性模型。

3） 采用雙變量降維方法計算混聯機器人定位誤差的統計矩，運用鞍點近似方法擬合其定位誤差的概率密度函數，分析機器人x軸、y軸和z軸的定位精度可靠性。其中MCS方法需要調用功能函數106次，本文方法計算機器人x軸、y軸和z軸的定位精度可靠性分別需要1 459次，3 043次和2 889次。

此外，本文方法可以與D-H參數法和旋量理論等機器人運動學分析方法相結合，形成更為系統性的可靠性分析方法，用以評估不同誤差來源對機器人定位精度的綜合影響。

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Joint clearance error modeling and positioning

accuracy reliability analysis of hybrid robot

GUO Tianyu1， 2， ZHANG Dequan1， 2， WU Jinhui1， 2， ZHOU Pengfei1， 2， MENG Yuan1， 2

（1.State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China;

2.School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Abstract：The reliability of robot end positioning accuracy is an important index to measure its accuracy performance.Joint clearance is one of the main factors affecting robot positioning accuracy，and establishing an accurate robot positioning accuracy error model is a prerequisite for reliability analysis.In order to investigate the influence of the random uncertainty of the spatial joint clearance on the positioning error of a hybrid robot containing a closed chain mechanism.A hybrid robot positioning accuracy error model considering joint gaps is proposed using spinor theory and the D-H parameter method.To quantify the uncertainty of the gap model parameters according to the constraints of the joint gap model parameters and to establish a reliability model for the positioning accuracy of the hybrid robot.The bivariate dimensionality reduction method and saddlepoint approximation method are used to fit the probability density function of the robot′s uni-coordinate positioning error to achieve hybrid robot positioning accuracy reliability analysis.The accuracy and engineering applicability of the proposed model are verified by taking a construction robot containing a parallelogram closed-chain mechanism as an example，and the results show that the proposed method greatly improves the efficiency compared with the traditional Monte Carlo method.

Keywords： hybrid robot;positioning accuracy;joint clearance;uncertainty;reliability analysis