對人教版初中數學教科書“圓周角”中一個圖形及相關表述的商榷

李卓 李欣悅

【摘要】在初中數學教科書的圖形與幾何領域中，有大量扮演著腳手架角色的幾何圖形.然而本應是腳手架的幾何圖形，有時卻變成了教學中的絆腳石.筆者在一次聽課過程中，發現人教版初中數學教科書“圓周角”這節中一個圖形及相關表述的問題.現將發現的問題提出來，并在分析的基礎上給出改進建議，希望有助于教科書的修訂.

【關鍵詞】數學教科書；圖形；圓周角

文字和插圖作為數學教科書的兩大組成部分，是學生理解數學知識和數學價值的基本素材[1].《義務教育數學課程標準（2022年版）》將初中數學分為了數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域[2]，因此初中數學教科書中的插圖可以按照上述四個領域進行劃分.其中，圖形與幾何領域中的插圖主要是幾何圖形，這些幾何圖形主要起到了腳手架的作用.然而本應是腳手架的幾何圖形，有時卻變成了教學中的絆腳石.筆者在聽課過程中，發現人教版初中數學教科書“圓周角”中有一個圖形及相關表述值得商榷.現將發現的問題提出來，并在分析的基礎上給出改進建議，希望有助于教科書的修訂.

1問題提出

筆者聽了一位數學師范生講“圓周角”的一節課，數學師范生在證明同弧所對的圓周角的度數等于這條弧所對的圓心角的度數的一半時，在⊙O任取一個圓周角∠BAC，沿AO所在直線將圓對折，根據點A的位置，將折痕分為了折痕在圓周角的一條邊上（圖1）、折痕在圓周角的內部（圖2）、折痕在圓周角的外部（圖3）三種情況.

對于“折痕在圓周角的內部”的情況（即圖2）：BC所對的圓周角∠BAC的度數是所對圓心角∠BOC度數的一半.數學師范生給出的證明過程如下：

證明：如圖2所示，連接AO并延長AO交圓O于點D，

則AD既平分∠BAC也平分∠BOC，

即∠BAO=∠CAO，∠BOD=∠COD，

又因為A，B，C均在圓上，

所以OA=OB=OC，

所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA.

又因為∠BOD是三角形OAB的一個外角，∠COD是三角形OAC的一個外角，

所以∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，

∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，

所以∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC），

即∠BOC=2∠BAC，

即∠BAC=12∠BOC.

故BC所對的圓周角∠BAC的度數是所對圓心角∠BOC度數的一半.

2問題分析

在聽課過程中，筆者對數學師范生在折痕在圓周角的內部時的證明產生了疑惑：AD不一定是∠BAC和∠BOC的角平分線，為什么數學師范生認為AD是角平分線呢.帶著這一疑惑筆者課后訪談了這位數學師范生.

筆者：為什么∠BAO=∠CAO，∠BOD=∠COD？

師范生：因為AD是∠BAC和∠BOC的角平分線.

筆者：為什么AD是角平分線？

師范生：從圖形（圖2）中可以看出來AD是角平分線.

筆者：你圖形畫的太特殊了，你畫的AD是∠BAC和∠BOC的角平分線，但是我也可以畫一個AD不是角平分線的圖形呀，一般的情況AD應該不是∠BAC和∠BOC的角平分線.

師范生：這個圖形來自人教版初中數學教科書，教科書就是這樣畫的呀.筆者：額……我先看看教科書.

查閱教科書后，筆者發現人教版初中數學教科書折痕在圓周角內部的這個圖形中AD畫的確實很像角平分線.事實上，筆者還用量角器測量了∠BAO和∠CAO的度數，發現確實是∠BAO=∠CAO=23°.

綜合筆者對數學師范生的訪談和自行查閱教科書，筆者認為授課的數學師范生之所以認為AD是角平分線，主要是因為在人教版初中數學教科書給出的第二種情況的圖形中AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線.

3問題調研

數學教科書給出的第二種情況的圖形誤導了筆者聽課的數學師范生，那么是否會誤導其他的數學師范生呢？筆者根據初中數學教科書編制了一道測試題（見附錄），在數學師范生中進行了調研，發現除了圖形誤導了少數數學師范生，教科書中的對折、折痕這種表述方式也誤導了少數數學師范生.圖4，5，6是一些被誤導的數學師范生的證明.?從圖4、圖5、圖6中師范生的證明過程可以看出，教科書中的圖形和對折這種表述方式誤導了這三位師范生.首先，AD是∠BAC和∠BOC的角平分線僅僅是一種非常特殊的情況，不是一般的情況.他們根據圖2是沿AO所在直線對折，AO是折痕推出了AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線，表明他們被對折、折痕這種表述方式給誤導了.同時這三位師范生也被教科書中的圖形給誤導了，因為如果教科書呈現的是一般情況，他們可以直觀地看出AD不是∠BAC和∠BOC的角平分線；其次，他們僅證明了當AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線這種非常特殊的情況時，BC所對的圓周角等于圓心角的一半，沒有證明當AD不是∠BAC和∠BOC的角平分線這種更一般的情況時，BC所對的圓周角等于圓心角的一半.因此，他們的證明過程也是不嚴謹的.

數學教科書給出的第二種情況的圖形以及表述方式誤導了少數師范生，那么是否會誤導初三的學生呢？筆者又用編制的測試題調研了初三學生.調研發現有少數初三學生也被數學教科書中的圖形以及表述方式誤導了.以下是一些被誤導的初三學生的證明：

通過對圖7中證明過程的分析，不難發現該生也被教科書中的圖形以及對折這種表述方式誤導了.首先，由“沿AO所在直線對折圓”得到∠BAD=∠CAD（即∠1=∠2）和∠BOD=∠COD（即∠5=∠6），即認為AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線；其次，在后面證明過程中利用了AD是∠BAC和∠BOC的角平分線這一條件，得出BC所對的圓周角等于圓心角的一半，而未證明更為一般的情況，即該證明過程并不嚴謹.

通過分析圖8中的證明過程發現，利用AO=BO=CO這一條件僅可以推出∠BAO=∠ABO和∠CAO=∠ACO，而該生卻推出了∠BAO=∠ABO=∠CAO=∠ACO，表明該生被教科書中的圖形以及對折、折痕這種表述方式誤導了.

4改進建議

4.1將人教版初中數學教科書圖形中的AD畫成不是角平分線的一般情況

在初中幾何中，圖形應具有一般性，代表一般情況，而不是一些特殊情況或者說特例.如果教科書呈現的是圖形的特殊情況，有時可能會誤導初中生，甚至誤導數學師范生.例如在證明圓周角定理分類討論的第二種情況中，數學教科書給出的第二種情況的圖形中AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分線，便誤導了初三學生和數學師范生.再如有教師在講三角形中線時呈現的圖形（如圖9所示）是中線剛好也是角平分線的特殊情況，也誤導了學生.有學生提出了這樣的問題“三角形的中線同時也一定是三角形的角平分線，對嗎”[3]？

綜上所述，應將人教版初中數學教科書圖形中的AD畫成不是角平分線的一般情況（如圖10所示）.

4.2將人教版初中數學教科書中按折痕與圓周角的位置關系分類討論改成按照圓心和圓周角的位置關系分類討論

考慮到人教版初中數學教科書中的對折、折痕這種表述也誤導了少數初三學生和數學師范生.同時筆者調研也發現初三的學生很難想到沿AO所在直線對折圓然后按照折痕與圓周角的位置關系分類討論，因為這種分類討論的方式很不自然.初三的學生想到的是按照圓心和圓周角的位置關系分類討論：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部.因此筆者建議將人教版初中數學教科書中按折痕與圓周角的位置關系分類討論改成按照圓心和圓周角的位置關系分類討論.按照圓心和圓周角的位置關系分類討論是初三學生自然想到的，這種分類討論方式避免了誤導初三學生的問題.此外北師大版、蘇教版、浙教版初中數學教科書也都是按照圓心和圓周角的位置關系分類討論，這也表明按照圓心和圓周角的位置關系分類討論具有可行性.

附錄：

已知：如下圖所示，∠A是BC所對的圓周角，∠BOC是BC所對的圓心角.

求證：∠A=[SX（]1[]2[SX）]∠BOC.

分析：如圖所示，為了證明∠A=?1[]2[SX）]∠BOC，在⊙O任取一個圓周角∠BAC，沿AO所在直線將圓對折，由于點A的位置不同，折痕會：

（1）在圓周角的一條邊上，如圖（1）所示；

（2）在圓周角的內部，如圖（2）所示；

（3）在圓周角的外部，如圖（3）所示；

請你分別對以上三種情況進行證明.

參考文獻

［1］張維忠，胡智慧．中美初中數學教科書插圖質量的比較［J］．數學教育學報，2022，31（01）：64-69．

［2］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］Orit Zaslavsky & Iris Zodik. Mathematics teachers choices of examples that potentially support or impede learning. Research in Mathematics Education，2007， 9（1）：143–155.

作者簡介李卓（1988—），男，山東曲阜人，博士，講師，碩士生導師；主要從事數學教育研究.李欣悅（2002—），女，河北廊坊人，本科生；主要從事數學教育研究.

基金項目江西省基礎教育研究一般課題“‘雙減背景下基礎教育數學教學變革的邏輯轉換與理念重構研究”（SZUSDSX2022-1086）；江西師范大學博士科研啟動項目.