讓解題變得容易：一道學考數學題的解法探析

劉佛蓮 孔德 張遠雄

教育數學思想是張景中院士在新疆15年教學經驗基礎上作出的思考，于1989年正式提出，主張讓數學變得容易.“重建三角”“三共定理”是教育數學中的具體方案，受“三共定理”啟發，筆者對2023年云南省學業水平考試（以下簡稱“學考”）數學試卷第23題的解法產生了思考，并得出一些啟示.

一、“三共定理”的內涵

【證明思路】

根據共高定理，有

【證明思路】

如圖4，連接A′C，根據共邊定理，則有

二、一道學考數學題的解法探析

（一）試題呈現

題目：如圖5，BC是☉O的直徑，A是☉O上異于B、C的點，☉O外的點E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA·AC=DC·AB，設△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2.

（1）判斷直線EA與☉O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若BC=BE，S2=mS1，求常數m的值.

（二）試題分析

從題目的設置上看，本題主要考查切線的判定、相似三角形的判定與性質等；從知識點上看，涉及對直徑所對的圓周角是直角、垂線的性質、相似三角形的判定與性質、切線的判定與性質、勾股定理等內容的考查；從核心素養層面看，主要考查學生的幾何直觀素養和推理能力等.

（三）解法探析

筆者主要對第（2）問的解法進行探究，因此第（1）問不作詳細分析.

1.第（1）問解法

根據圖5，容易猜測直線EA與☉O相切，連接OA，如圖6所示.

∵BC是☉O的直徑，A是☉O上異于B、C的點，

∴∠BAC=90°.

∵ED⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠BAC=∠ADC=90°.

又∵DA·AC=DC·AB，

∴△BAC∽△ADC

∴∠2=∠4.

∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠4，∴OA∥CD.

∴∠EAO=∠ADC=90°，∴OA⊥AE.

∵OA是☉O的半徑，∴EA與☉O相切，切點為A.

【評析】實際上，得出∠1=∠4后，也可以直接由∠OAD=∠1+∠3=∠4+∠3=90°，得出OA⊥EA，無需再借助平行線的判定與性質.這樣可使解題思路更清晰，過程更簡潔.

2.第（2）問的解法探析

思路一：作輔助線

解法1：作輔助線的方法是2023年云南省數學參考答案及評分標準中給出的解法，具體如下：

如圖7，過點B作ED的垂線BF，垂足為F.

∵OA∥CD，

在Rt△EBF中，BF=BE·sin∠E，同理CD=EC·sin∠E，

【評析】該解法利用平行線間線段的比例關系、正弦分別表示出△ABE與△CAD的底邊之比、高之比，進而求出△ABE、△CAD的面積之比.實際上，過點B作ED的垂線BF（即△ABE的高）的過程并不容易想到，該解法的難點也就在于作出這條輔助線.由此筆者不禁思考，若不作輔助線，該題又該如何解答？

思路二：無輔助線

解法2：相似三角形+勾股定理.

∵OA⊥DE，∴∠OAE=90°.

∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=90°，∠OAC=∠OCA，

∴∠BAE=∠OCA.

又∵∠E為△EAB與△ECA共同的角，

∴△EAB∽△ECA.

由第（1）問可知△BAC∽△ADC，

解法3：共角定理.

如圖8，∵BC=BE，∴S△EAB=S△ABC=S1（共高）.

由（1）可知：△BAC與△ADC中，∠BCA=∠ACD，

∵∠E為共角，∠OAE=∠CDE=90°，

∴△OAE∽△CDE.

【評析】在解題過程中，不僅可以發現圖形中存在共高三角形，由于圖中存在多組相似三角形，容易發現存在多組共角三角形.這一解法是對“共角定理”的應用，由共

解法4：共邊定理.

如圖8，∵BC=BE，∴S△EAB=S△ABC=S1（共高）.

∵OA∥CD，

∴4S2=2S1+S2，

三、解題啟示

1.開闊解題視野，助力拔尖創新人才培養

黨的二十大報告指出，堅持教育優先發展，人才引領驅動，全面提高人才自主培養質量，著力造就拔尖創新人才.拔尖創新人才的培養是教育的時代使命，教師應深入課程改革，積極探索，更新教學理念，提升自身專業水平，從而切實提升拔尖創新人才培養質量.因此，教師對拔尖創新人才的培養不應受限于教材內容、考試內容要求等.張景中院士所提出的“三共定理”及其證明簡明易懂，便于學生掌握，為學生解題提供新思路，不失為一種好的解題思想與方法.“三共定理”的學習與應用，不僅有利于開闊教師和學生的視野，提升教師專業水平，同時強化學生創新意識，助力拔尖創新人才的培養.

2.關注思維培養，促使數學解題變得容易

構造輔助線往往是求解幾何問題的難點，是學生解題經驗的凝結，考驗學生對題目的敏感度，而對多數學生而言，如何作出適合的輔助線成了解題過程中的困擾.將“三共定理”應用于幾何解題，實現了面積比與線段比之間的相互轉化，為學生解決幾何問題搭建了新的腳手架，提供了新的解題思路，一定程度上突破了解題時添加輔助線的難點.此外，傳統幾何問題的解決通常依賴于相似或全等三角形，但學生不易發現，證明過程較為煩瑣.相對而言，共高、共角、共邊三角形是更為常見的幾何圖形，普遍存在于幾何題目中，更易于發現.因此，“三共定理”的適用范圍較廣，若能將“三共定理”作為學生的儲備知識，不僅有助于學生思維的培養與提升，也找尋到了一條路徑，使數學解題變得容易，讓數學變得更容易學.

3.培養幾何直觀，加速數學核心素養落地

共高、共邊、共角三角形的圖形特征明顯，是幾何教學中一類基本的圖形，“三共定理”則是對這組模型的總結與應用.解題過程中，熟悉并積極地應用“三共定理”內容，能夠幫助學生把陌生的、復雜的幾何圖形化歸為熟悉的、簡單的幾何圖形，再結合學生解題的經驗和體驗，幫助學生形成解題的通性通法，讓數學解題變得容易，增強學生學習數學的興趣和自信心.此外，在解決幾何問題的過程中，教師要不斷提升學生觀察分析圖形的能力，讓學生積極感知幾何圖形及其組成要素，并能夠根據圖形特征進行分類，引導學生自主提煉解題模型，強化學生的模型觀念，由此培養學生的幾何直觀素養，真正實現核心素養的落地與發展.