APOS 理論視角下高職高等數學概念教學研究

孫媛鳳

撫順職業技術學院（撫順師范高等專科學校），遼寧 撫順 113122

高等數學對學生的邏輯思維能力、創新創造能力的培養起著非常重要的作用[1]，為學生后續專業課程的學習提供了必要的支撐。高等數學概念教學是高等數學教學中的重要環節，把APOS 理論應用到高職高等數學概念教學中，有助于解決當前教學中存在的問題，提升課堂教學的效果。

一、高職高等數學教學中存在的問題

（一）學生數學基礎薄弱

隨著近幾年國家大力發展職業教育，高職院校的招生規模持續擴大，生源結構也出現多樣化的特點，高職學生既有參加全國高考考入的，也有參加單獨招生考試考入的，還包括了三校生和五年制高職學生。學生的數學基礎參差不齊，大都比較薄弱，數學入學成績普遍偏低，對中學階段所學的初等數學的一些基本概念和基本原理掌握得不夠扎實，所以在學習高等數學時會遇到很多障礙。

（二）教學方法比較單一

在高職高等數學傳統教學中，仍然是以教師“滿堂灌”“一言堂”的教學方法占主導地位。尤其是對概念的教學，教師通過語言描述以及PPT 課件的演示來講解數學概念，學生全程被動地聽講，始終是“受眾”群體，教學氛圍不夠活躍。在這種以教師為主體的教學模式下，學生的學習積極性很難提高，學生只是被動地接受知識，他們只知其然而不知其所以然[2]。這樣的課堂教學缺少師生互動，教師無法了解學生對概念的理解程度，也無法培養學生的獨立思考能力以及學習的積極性、主動性和創造性。

（三）學生沒有好的學習習慣

絕大多數高職學生在傳統的教學方式下養成了被動學習的習慣，學習態度不夠端正。他們對高等數學學習的重要性認識不足，缺乏主動學習的動力和興趣，不愿意主動探索和思考數學問題。有些高職學生對高等數學存在恐懼或抵觸心理，認為數學難學，從而對學習數學失去信心，形成惡性循環。學生在學習的過程中，沒能發揮主觀能動性，也沒有參與到發掘新知識的過程中，對知識的理解只停留在表面，這些都不利于培養學生的發散思維能力。

二、高職高等數學概念教學與APOS 理論

（一）高職高等數學概念教學

高等數學的學習有“三個基本”，即基本概念、基本理論和基本方法，其中基本概念是數學的基石，是學好這門課程的基礎[3]。我國著名數學家華羅庚曾說過：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。”很多學生解高數題時經常出現錯誤，其根本原因就是對相應的數學概念沒有理解透徹。學生只有真正深刻地理解了基本概念，才能更好地掌握理論和方法，從而去解決實際問題。

對于剛剛進入大學的學生來說，高等數學與中學階段的初等數學的主要區別是，數學概念與方法是不同的，甚至是全新的。高等數學的概念基本上都是動態的，是以運動的形式出現的，比初等數學的概念更加抽象，更不好理解。如果教師在學生建構新概念的過程中沒有細致正確地引導，學生就會對概念的理解產生偏差，甚至是錯誤。所以教師在課堂教學中既要研究高職學生的認知規律，又要研究高等數學概念的學習特點，再選擇適當的教學形式來進行概念教學。

傳統的高等數學概念教學模式是教師詳細講解概念的定義，包括關鍵術語和符號的含義，然后通過具體的例子來解釋概念的應用，幫助學生理解概念的實際意義，再介紹與概念相關的一些定理，并展示其證明過程，以加深學生對概念的理解。這種模式的優點是系統性強，能夠幫助學生建立扎實的數學基礎。然而，也存在一些局限性，例如可能相對缺乏靈活性和互動性，對學生的主動性和創造力的培養相對較少。而研究發現數學概念的學習應該是一個以學生為主體的主動建構的過程，教學方法需要結合更多的互動、探索和實際應用，以更好地滿足學生的學習需求[4]。

（二）APOS 理論

美國數學教育家杜賓斯基在皮亞杰的“反省抽象”理論基礎上提出的APOS 理論，是一種基于認知科學和建構主義理論的數學概念的教學模式[5]。APOS 理論認為學生學習數學概念時首先是要進行心理建構，這個建構過程需要經歷四個階段[6]：活動（Action） 階段，這就是問題情境呈現階段，通過具體的操作和實踐活動來體驗和感受數學概念，從而加深對概念的理解；過程（Process） 階段，就是在經過對“活動”的反思之后，通過對思維的內化和壓縮，抽象概括出數學概念的本質屬性，在活動中經歷概念的形成過程，從具體到抽象，逐步構建對概念的認識；對象（Object） 階段，將概念作為一個具體的對象來理解和思考，認識到概念的本質和特征；圖式（Scheme） 階段，將概念內化，形成自己的認知圖式，其中包含以上三個過程，并且能夠靈活運用概念解決問題。

APOS 理論的實質是強調學生在學習數學概念時的主動建構過程。它認為學習不僅僅是知識的傳遞，更是學生通過自身的活動和思考來構建對概念的理解。APOS 理論為數學概念教學提供了一種動態、積極的方法，體現了學生在學習中的主體地位，強調了學生的自主探索和思考，讓學生通過學習去發現數學的美[7]。

三、APOS 理論應用于高職高等數學概念教學的必要性

（一）符合學生的認知規律

APOS 理論強調學生的認知過程，與高職學生的學習特點和認知發展規律相符合。通過經歷活動、過程、對象和圖式四個階段，學生能夠更深入地理解和掌握數學概念。

（二）培養學生的數學思維

APOS 理論倡導的多種教學方法和活動，可以增加學習的趣味性和互動性，激發高職學生對數學概念的學習興趣，提高他們的參與度。該理論有助于學生從具體的活動和實踐中逐步抽象出數學概念，培養學生的抽象思維、邏輯推理和問題解決能力，這對于他們未來的職業發展和終身學習都非常重要。

（三）增強概念的應用能力

APOS 理論注重將數學概念與實際應用相結合，使學生更好地理解概念的意義和價值，提高他們將概念應用于實際問題的能力。高職教育注重培養學生的實踐能力和職業技能，APOS 理論的應用可以幫助學生更好地掌握數學知識，為其專業課程的學習和職業發展奠定基礎。

（四）提升課堂的教學效果

運用APOS 理論要求教師更加關注學生的學習過程和體驗，促使教師不斷探索創新教學方法，提高教學質量。通過APOS 理論的引導，學生能夠更有效地構建數學知識體系，加深對概念的理解和記憶，從而提升教學效果。

總之，將APOS 理論應用于高職高等數學概念教學是必要的，可以提高學生的學習興趣和效果，培養他們的數學思維和應用能力，使他們更好地適應高職教育的培養目標。

四、APOS 理論視角下高職高等數學概念教學設計策略

（一）創設情境，引入概念

這是APOS 理論中的第一階段——活動階段。APOS 理論認為，在教學過程中教師只是教學活動的組織者和引導者，而學生才是學習的主體[8]。在引入概念時，教師應從高職學生的認知規律出發，遵循直觀性原則，創設出與實際問題相關的問題情境，即設置合適的“活動”。高等數學中的很多概念都有相應的幾何、物理、化學或經濟背景，對于不同的數學概念應選取相應的背景來引入。例如極限的概念教學可以用“人在路燈下的影子變化”、劉徽的“割圓術”和《莊子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”引入；導數的概念教學可以用“變速直線運動的瞬時速度”“曲線切線斜率”“非恒定電流的電流強度”引入；微分的概念教學可以用“地板塊變形后面積的變化”和“物體自由落體運動的路程”引入；不定積分的概念教學可以用“剎車路程”和“由斜率求曲線方程”引入；定積分的概念教學可以用“變速直線運動的路程”和“曲邊梯形的面積”引入。此外，對于財經類專業的學生，也可以引入一些經濟數學的相關案例。在教學活動中，教師也可結合圖形、表格和數學軟件來引導學生，通過這些“活動”讓學生了解概念的直觀背景，在親身經歷中感受概念，提高學生學習數學的興趣，讓學生主動建構、獨立思考，對問題進行整理、分析和歸納，為后面的表述概念做好充足的準備。

（二）探究歸納，表述概念

這是APOS 理論中的第二階段——過程階段。學生通過“活動”已經對所要學習的概念有了初步的認識，接下來就需要進一步探究分析，表述出準確的概念。學生掌握的概念通常可以分為兩類：一類是日常概念，另一類是科學概念。科學概念是在教學中系統地使學生在熟悉有關概念內涵的條件下所掌握的概念。高等數學中的概念都是科學概念。這就需要教師引導學生把意識中的日常概念逐步提高到科學概念的水平。教師要引導學生對“活動”進行反思，概括出學習同一概念時所舉的幾個引例的共性，總結出規律，抽象出概念的本質特征，由特殊到一般，類比分析，總結歸納，形成概念。教師在引導時，為了表述概念的準確性和嚴謹性，要讓學生注意概念成立的前提條件，考慮是否需要分幾種情況來進行描述，還要培養學生使用標準的數學語言或數學符號來表述概念。例如極限概念的表述，教師首先要引導學生用數學語言描述出來，再用數學符號來進行表示，可以結合圖形，讓學生直觀感受到自變量在某種變化趨勢下函數值逼近某一常數值，進一步抽象出極限過程[9]。在教學活動中要充分發揮學生的主觀能動性，教師可以組織學生進行分組討論，讓學生積極思考和交流，促進學生的思維碰撞，加深他們對概念的理解。

（三）啟發對比，剖析概念

這是APOS 理論中的第三階段——對象階段。通過前面兩個階段的學習，我們已經認識了概念的本質，并給予了精確的表述，現在我們把數學概念上升為一個獨立的、具體的對象來處理。在教學活動中，要引導學生明確概念的定義和關鍵特征，注重分析解剖數學概念中精練的語言和所使用的符號的含義，還要分析概念所適用的范圍和條件，并與其他相關概念聯系與比較，突出概念的獨特性，避免混淆，進而深挖概念的內涵和外延。以函數的極限概念為例，教師應強調極限的關鍵特征，如趨近過程、極限值的唯一性等，對比函數的極限與數列的極限，突出函數極限中自變量的連續變化與數列極限中項數的離散變化的區別，介紹函數極限在微積分中的重要性，如導數的定義、連續性的判斷等。在高等數學的學習過程中，要始終注重對數學概念的剖析，不斷進行完善和補充，從而形成一個內在統一的數學概念體系，進一步培養和發展學生的數學思維能力。

（四）知識建構，應用概念

這是APOS 理論中的第四階段——圖式階段。經過前面三個階段的螺旋式漸進上升學習過程，此時學生頭腦中已經形成了完整的概念綜合心理圖式。在這個階段的教學活動中，教師可以引導學生制作概念圖或思維導圖，將新概念與已有知識體系相聯系，建構出完整的知識網絡。例如，在學生學習了定積分概念后，可以讓他們將極限、導數、積分等概念聯系起來，制作思維導圖，展示它們之間的關系和應用場景。在訓練學生應用新概念時，教師要通過對一些實際案例的講解，來揭示概念在解決實際問題中的意義。例如，運用導數概念來分析經濟增長模型、物理運動問題等，讓學生可以更好地理解概念的實際意義和應用價值。教師也可以設計一些綜合性的項目，要求學生分組完成任務，運用多個概念解決實際問題。例如，讓學生設計一個實驗來測量物體的體積，其中可能涉及積分、導數、幾何學等多個概念的綜合應用。教師還可以引導學生將數學概念應用于數學建模中，應用數學軟件解決現實世界中的問題。例如，利用微分方程建模來描述生態系統的動態變化。通過以上圖式階段的教學活動，學生能夠將新概念逐漸融入已有的知識體系中，建構出完整的知識網絡，多維度掌握知識概念[10]，并在實際問題的解決中鞏固對概念的理解和運用能力。

綜上，將APOS 理論應用到高職高等數學概念教學，是一種創造性活動，教師在教學中要把握學生學習數學的心理和思維狀況，引導學生積極參與探究分析問題，及時排除學生遇到的學習障礙，有利于提高學生學習高等數學的興趣和主動性，有助于培養學生的綜合素養和解決問題能力，為他們在高等數學及其他領域的學習和研究奠定堅實的基礎。