基于最小勢能原理的雙漸開線齒輪載荷分布研究*

姜 宇,樊智敏,姜春雷,孫旭睿,閔令竹

(青島科技大學 機電工程學院,山東 青島 266061)

0 引 言

傳統齒輪輪齒接觸線載荷分布通常采用數值求解方法,通過求解齒面的三維彈性變形來確定;而雙漸開線齒輪在齒腰分階,齒面接觸情況較為復雜,最大接觸應力值通常出現在下齒面靠近齒腰位置,會產生載荷沿接觸線分布不均的現象,導致齒面的潤滑狀態、齒側間隙等發生變化;嚴重時會使油膜破裂,出現潤滑失效,導致齒輪傳動系統發生膠合破壞、齒面疲勞點蝕與齒面磨損等損傷。

因此,對雙漸開線齒輪進行載荷分布的研究,對齒輪傳動系統中的應力分析、潤滑分析和動力學分析等具有重要意義。

齒輪傳動時,共軛齒廓位置和嚙合的輪齒數目不斷發生變化。ISO[1]和AGMA[2]標準基于線彈性理論,根據實際經驗和試驗結果,提出了載荷分布系數方法,該方法僅適用于齒輪初步設計階段中的強度校核,計算結果并不精確。WANG Jian-hong和CHANG Le-hao等人[3-4]提出了直齒輪的承載接觸分析方法,將齒輪變形分為線性全局和非線性局部兩部分,并利用有限元法計算線性全局,利用接觸力學理論計算非線性局部;但該方法的齒輪變形劃分較為復雜。JABBOUR T等人[5]將斜齒輪沿齒寬方向等分為若干片,每一片等效為直齒輪,通過計算直齒輪的嚙合剛度獲得斜齒輪的載荷分布;但直齒輪片的嚙合齒廓必須是連續的。ZHANG Yi等人[6]結合齒輪接觸分析技術、有限元法和線性規劃法,提出了斜齒輪的承載接觸分析方法,借此方法獲得了齒輪副的載荷分布規律。PEDRERO J T等人[7-9]應用最小彈性勢能原理,提出了直、斜齒輪的載荷分布模型,近年來該模型得到了廣泛應用。PENG Yan-jun等人[10]在PEDRERO模型的基礎上,建立了考慮輪齒修形和安裝誤差的斜齒輪載荷分布模型,采用基于固定點迭代方法的數值計算策略求解了模型;但該模型計算勢能時未考慮基體勢能。MARQUES P M T等人[11-13]采用有限元法計算了柔度矩陣,在獲得齒面彈性變形的基礎上計算了彈性勢能,使計算較為準確;但齒面變形使計算過程相較于PEDRERO模型更復雜。LI Shan-ran等人[14]在考慮了輪齒根部勢能的基礎上,采用實際重合度代替理論重合度,計算了斜齒輪載荷分布;但該模型僅適用于齒輪特殊工作狀態。

分階式雙漸開線齒輪是綜合漸開線齒輪與雙圓弧齒輪的一種新型齒輪[15],其在齒腰附近分階,齒廓由齒根漸開線、齒頂漸開線和齒腰過渡圓弧曲線組成,且兩端漸開線成階梯式分布。分階式雙漸開線齒輪簡稱為雙漸開線齒輪(下同)。

YIN Zhao-ming等人[16-18]根據“分段法[16]”思想,建立了雙漸開線齒輪的熱彈流潤滑模型,研究了雙漸開線齒輪的溫度分布規律。陳亮等人[19]考慮了分形齒面粗糙度,求解了雙漸開線齒輪時變嚙合剛度,分析了齒面形貌與摩擦等對嚙合剛度的影響。潘毅等人[20]利用ADAMS建立了柔性體雙漸開線齒輪模型,降低了齒輪仿真過程中的震動波動,保證了齒輪運動的平穩性。

但上述研究過程中所涉及的載荷分布均考慮為沿接觸線方向均勻分布,與其實際工作狀態差別較大,接觸線上的載荷非均勻分布,使得載荷計算困難。現有的方法或過于簡化導致精度不足,或過于復雜使得計算量大、耗時長,并不適用于雙漸開線齒輪載荷分布研究。

因此,筆者采用“分段法”將雙漸開線齒輪接觸線等分為若干段,基于最小彈性勢能原理,建立雙漸開線齒輪載荷分布模型,綜合有限元法對輪齒載荷分布進行研究;最后將雙漸開線齒輪的載荷分布與普通漸開線齒輪的載荷分布進行對比分析,并研究輸入扭矩、齒寬對雙漸開線齒輪載荷分布的影響。

1 雙漸開線齒輪時變接觸線長度分析

在某一瞬時嚙合時刻,主動輪嚙合平面上各位置的接觸線L1、L2和L3,如圖1所示。

圖1 嚙合平面t時刻接觸線位置

即將完全嚙出時,H與N1的距離N1H為:

N1H=N1B1+B·tanβb

(1)

式中:B為齒寬。

筆者以接觸線與嚙合極限點N1的距離為自變量,不同相位的嚙合齒寬b可按如下方式計算[24]：

(2)

式中:s-N1B2為關于時間的函數,s-N1B2=rb1ωt。設(s-N1B2)/tanβb=sa。

雙漸開線齒輪接觸線在基圓柱上的展開圖如圖2所示。

圖2 接觸線在基圓柱上展開圖

圖2中,陰影區域為齒腰分階位置不參與嚙合的區域,造成接觸線長度的損失。其中,βb1、βb2為基圓螺旋角,Pbt為端面基節。

當雙漸開線齒輪端面重合度大于軸向重合度時,接觸線長度可表示為:

(3)

雙漸開線齒輪副基本參數如表1所示。

表1 齒輪主要參數

筆者對表1所提供的雙漸開線齒輪參數進行時變接觸線長度變化分析,如圖3所示。

圖3 時變接觸線長度變化圖

圖3中,上方為嚙合過程中接觸線總長度,下方為一個嚙合周期內參與嚙合的各條接觸線長度,由于重合度不為整數,齒輪參與嚙合輪齒對數隨嚙合時間周期性變化,接觸線總長度同樣隨嚙合時間穩定波動。

2 雙漸開線齒輪時變接觸線載荷分布

2.1 載荷分布模型的建立

筆者采用“分段法”,將接觸線平均分成m等份,對每一小段接觸線上的相關特性進行研究。

分段模型和幾何參數如圖4所示。

圖4 輪齒接觸線劃分和幾何參數

圖4中,每段接觸線上的載荷沿接觸線方向均勻分布;每段接觸線之間相互獨立。

假設輪齒為齒根側固定的懸臂梁,根據Timoshenko梁理論,每段接觸線嚙合過程中的輪齒總勢能u包括彎曲勢能ux、剪切勢能un和軸向壓縮勢能us,u表示為:

u=ux+un+us

(4)

各勢能分量表達式為[7]：

(5)

式中:E為齒輪材料彎曲彈性模量,MPa;G為剪切彈性模量,MPa;yc,yp為接觸點和齒根圓到x軸的距離,作為勢能積分的上下限;y為積分限內單位微元到O點的距離;e(y)為該微元的寬度。

由于剪應力在截面內非均勻分布,根據Colignon定理,筆者利用修正因子Cs對剪切勢能進行修正,對于矩形截面,取Cs=1.2[21]。

αc是漸開線齒廓位置的函數,其表達式為:

(6)

式中:ξc為嚙合點位置參數,受輪齒齒廓和瞬時嚙合位置的影響。

嚙合點位置參數ξc表達式為[8]：

(7)

式中:z為齒數。

基圓半徑與單個輪齒的齒廓交點所成圓心角γb為[22-23]：

(8)

式中:χ為變位系數;αt為端面壓力角。

勢能積分上限yc為:

(9)

式中:γc為接觸點處e(y)對應的圓心角。

由雙漸開線齒輪的端面齒廓方程[24]25可求得勢能積分下限yp和微元寬e(y),雙漸開線齒輪齒根過渡曲線方程為:

(10)

則勢能積分下限yp和微元寬e(y)為:

e(y)=2xs

(11)

yp=ys

(12)

每段接觸線嚙合產生的輪齒總彈性勢能包括主動輪彈性勢能u1、從動輪彈性勢能u2、接觸彈性勢能uc和齒輪基體勢能uf。雙漸開線齒輪副在標準安裝條件下,接觸線都位于嚙合平面內。

主、從動輪的嚙合點位置參數ξ1和ξ2之間的關系為[10]：

(13)

式中:z1,z2為主、從動輪齒數;α′t為端面嚙合角。

對于主、從動輪材料相同的齒輪副,赫茲接觸剛度為[25]：

(14)

式中:v為泊松比;E為齒輪材料彎曲彈性模量,MPa。

則赫茲接觸彈性勢能為:

(15)

其中:cu=2(1-v)2/(πE),當齒輪材料一定時,cu為常數。

齒輪基體剛度為:

(16)

其中的參數詳見文獻[26]。

則齒輪基體彈性勢能為:

(17)

定義函數:

(18)

則式(11)中的彈性勢能u可表示為:

(19)

又因嚙合點的向徑yc與嚙合點位置參數ξc一一對應,則式(19)可轉化為:

(20)

一段接觸線嚙合過程中輪齒的總彈性勢能up為:

(21)

則每條接觸線嚙合過程中輪齒的總彈性勢能ut為:

(22)

式中:n為瞬時接觸線的數量;ni為齒輪分段法涉及的接觸線段的數量;uij為第i條接觸線涉及的接觸線段j嚙合產生的彈性勢能;Fij為對應的載荷。

載荷平衡關系為:

(23)

式中:Ft為斜齒輪副的法向總載荷;Pin為輸入功率。

最小彈性勢能原理表述為系統在真實的位移場內彈性勢能取最小值,筆者采用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日函數為:

(24)

式中:λ為拉格朗日乘子。

聯立約束條件及原函數,分別對F11,…Fij…,λ求導,在極值點處有:

(25)

求解上式可得第i條接觸線上第j段的載荷為:

(26)

彈性勢能是位置函數,取決于輪齒的瞬時嚙合位置[27]。

圖5 齒廓參數與勢能倒數的關系

每條接觸線上的載荷等于分段法各段接觸線載荷之和,則齒間載荷分配率可表示為:

(27)

2.2 載荷分布模型的數值計算

載荷分布流程如圖6所示。

圖6 載荷分布計算流程圖

筆者通過迭代計算求解輪齒間的載荷分布,將嚙合周期離散為若干個嚙合時刻,通過式(3)獲得瞬時接觸線的嚙合位置參數ξc;選定某一嚙合時刻進行數值計算。

對若干個離散的嚙合位置進行迭代計算,獲得齒面離散的載荷分布,然后利用插值算法,獲得齒面連續的載荷分布。閾值ε取為0.01[10]。

筆者通過表1所提供的齒輪副參數進行數值計算,并將載荷進行歸一化處理,得到的雙漸開線齒輪沿接觸線的載荷分布,如圖7所示。

圖7 齒面載荷分布

圖7中,齒腰分階區域載荷值較大,隨著嚙合的進行,沿接觸線的載荷分布出現兩處峰值。

結合圖3可知,峰值的產生是因為此處雙漸開線齒輪由三對齒嚙合過渡為兩對齒嚙合,峰值對應兩對齒嚙合中的兩條接觸線,此時沿接觸線載荷在整個嚙合周期中達到最大值。

由載荷的變化規律可知,雙漸開線齒輪沿接觸線的載荷分布受瞬時嚙合位置、接觸線長度以及總接觸線長度的影響,其最小值為最大值的61.6%,載荷分布較為均勻,未發生明顯的突變。

2.3 載荷分布模型的驗證

網格劃分如圖8所示。

圖8 雙漸開線齒輪有限元網格劃分示意圖

為驗證載荷分布模型的準確性,筆者將數學模型與有限元模型進行對比。

筆者采用文獻[24]24-25提供的齒面方程,在SolidWorks中建立精確的齒輪幾何模型;為獲得較好的收斂性和仿真結果,利用HyperMesh進行高精度網格劃分,詳細的邊界設置由文獻[19]給出。

筆者利用數值計算法和有限元仿真法分別計算接觸線的齒間載荷分布,結果如圖9所示。

圖9 齒間載荷分布

圖9(a)取圖1中嚙合時刻,3條接觸線分別為L1、L2和L3;整個嚙合周期離散為20條接觸線,載荷分配率如圖9(b)。

兩種方法的計算結果差距很小,有限元法獲得的L2的載荷分配率大于數值計算法所得的載荷分配率,存在差異的原因與數值計算時接觸線段的相互獨立和雙漸開線齒輪在齒腰處分階有關。

首先,數值計算過程中,分段法忽略了接觸線段之間的關系,每段接觸線參與嚙合的同一嚙合點位置參數ξc的剛度均相同,而有限元模型將整個雙漸開線齒輪視為一個整體,這導致齒寬中間齒輪片的剛度大于齒寬兩端齒輪片的剛度;其次,雙漸開線齒輪由于在齒腰附近分階,齒根漸開線ξc發生跳躍,并明顯反映在有限元仿真結果中,而ξc的跳躍在數值計算的方法中對結果的影響并不明顯。

筆者取有限元仿真結果中的節點載荷,沿齒寬方向均勻分配給相鄰的兩個單元體,利用MATLAB進行插值計算,獲得齒寬方向連續的載荷分布[28-30]。

沿接觸線方向歸一化的載荷分布如圖10所示。

圖10 接觸線載荷分布

圖10中,左側為完整的嚙合點位置參數與載荷的分布關系,右側為瞬時嚙合時刻3條接觸線的載荷分布,兩種方法的載荷分布趨勢基本吻合。歸一化處理后載荷分布模型的載荷最大值為0.977,兩者之間的誤差低于2.3%,越靠近節線,載荷越大。

綜上所述,筆者建立的基于最小勢能原理的載荷分布模型與有限元仿真基本吻合,驗證了載荷分布模型的精確性及合理性。

3 雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪載荷分布對比

筆者取同一基本參數下的普通漸開線齒輪,并采用ISO6336-1:2006(E)[1]對其求解,計算公式如下:

(28)

其中的具體參數見ISO6336-1:2006(E)。

雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪載荷分布模型以及ISO6336-1:2006(E)方法下的載荷分配率對比,如圖11所示。

圖11 DIG與CIG載荷分布對比

從圖11可見:雙漸開線齒輪載荷分配率平均值為37.97%,普通漸開線齒輪為35.1%,雙漸開線齒輪載荷分配率波動幅度較小,優于普通漸開線齒輪。在完整的嚙合周期中,雙漸開線齒輪載荷分配率最大值為0.57,最小值為0.037;普通漸開線載荷分配率最大值為0.63,最小值為0.023;雙漸開線齒輪載荷分配率最大值為最小值的6.5%,普通漸開線齒輪僅為3.6%;雙漸開線齒輪載荷分布較普通漸開線齒輪載荷分布均勻,無大范圍明顯波動和突變。

4 載荷分布模型影響因素分析

4.1 輸入扭矩對載荷分布的影響因素分析

筆者取輸入扭矩T=100 N·m、160 N·m、300 N·m,齒寬B=80 mm,在其他參數相同的情況下,得到了不同輸入扭矩沿齒面的載荷分布,如圖12所示。

圖12 不同輸入扭矩的載荷分布

從圖12(a)可以看出:當輸入扭矩增加時,深色陰影面積明顯增加,且載荷等高線密度逐漸增大,且最大載荷也明顯增加,但總的接觸軌跡和載荷分布規律基本保持不變。

從圖12(b)可以看出:當輸入扭矩較小時,雙漸開線齒輪載荷分配較為均勻,隨著輸入扭矩的增加,雙漸開線齒輪載荷分配產生波動,且在中后期發生突變,這是由于此時齒根漸開線應力最大值處脫離嚙合,導致接觸線承載載荷發生突變。

4.2 齒寬對載荷分布的影響因素分析

筆者分別取齒寬B=40 mm、80 mm、120 mm,T=160 N·m,在其他參數相同情況下,探究齒寬對雙漸開線齒輪載荷分布的影響。

嚙合周期內的載荷分配率如圖13所示。

圖13 不同齒寬的載荷分布

由圖13(a)可知:齒寬增加,相同嚙合位置參數ξc下的載荷波動減小,但沿接觸線的載荷波動增大。

由圖13(b)可知:載荷集中于接觸線中心位置。結合式(20)可知,隨著齒寬的增加,齒輪在嚙合過程中的彈性勢能降低,單位載荷減小;同時齒寬系數增大,載荷沿接觸線分布不均勻的程度增大。

上述分析表明,過大的齒寬會出現載荷集中現象,導致齒輪產生振動和噪聲。

5 結束語

筆者對雙漸開線齒輪時變接觸線長度進行了分析,并采用“分段法”將雙漸開線齒輪接觸線等分為若干段,基于最小勢能原理建立了雙漸開線齒輪載荷分布模型;利用載荷分布模型、有限元模型與ISO6336-1:2006(E)進行了比對分析,驗證了載荷分布模型的準確性;將雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪的載荷分布進行了對比分析,并研究了輸入扭矩、齒寬對雙漸開線齒輪載荷分布的影響。

研究得出以下結論:

1)雙漸開線齒輪沿接觸線方向載荷分布不均,最大值位于節線附近,接觸線兩端載荷逐漸減小,同一基本參數下,雙漸開線齒輪載荷分配率平均值為37.97%,普通漸開線齒輪為35.1%,雙漸開線齒輪相較于普通漸開線齒輪載荷分布波動幅度略小,優于普通漸開線齒輪,但差距不大;

2)雙漸開線最大接觸應力值通常出現在下齒面靠近齒腰位置,隨著輸入扭矩的增加,導致載荷分配率在嚙合后期發生突變,沿接觸線方向的載荷在節線附近發生突變;

3)齒寬增加,雙漸開線齒輪沿接觸線載荷分布的不均勻程度增加,過大的齒寬會出現載荷集中現象,導致齒輪產生振動和噪聲。

筆者后續的研究方向為:1)將結合齒面粗糙度,建立動力學模型,在求載荷分布模型的基礎之上,探究雙漸開線齒輪齒面動態載荷分布特性;2)基于齒輪動載荷分布特性進行齒輪接觸疲勞的研究。