例談模型意識的培養策略

倪艷

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，模型意識是伴隨小學數學學習的核心素養之一。筆者以“相遇問題”的教學為例，談談如何在數學教學中培養學生的模型意識。

一、原型轉化，初步感知模型

“相遇問題”屬于“行程問題”，是較難理解的數學問題，學生需要具備一定的抽象思維能力才能解決這類問題。教師可以使用具體、形象的方式演示抽象的“相遇問題”，喚醒學生已有的生活經驗，讓學生初步建立“相遇問題”的模型。

課堂上，教師首先引導學生玩“紙飛機”的游戲，讓學生在游戲中感知速度、時間、路程、方向幾個要素及它們之間的關系。接著，教師選擇兩名學生演示“相遇問題”的場景。模擬情境時，當學生喊出口令“預備——開始”，兩名學生面對面從相對的方向出發，直到相遇后停下。有的學生發現相遇時速度快的同學走的路程長一些，速度慢的同學走的路程短一些；有的學生發現他們同時出發，同時停止運動，用時相同；有的學生發現相向而行是兩人從相對的方向面對面出發；還有的學生發現他們走的總路程是一名同學走的路程與另一名同學走的路程之和。在此基礎上，教師讓兩名學生演示相向而行但尚未相遇的情況，即喊停時兩人之間還有一段距離，學生感知到在這種情況下，一名同學走的路程加另一名同學走的路程，再加未走完的路程，等于總路程。教師采用讓學生演示的方式化靜態知識為動態體驗，讓學生直觀感知“相遇問題”的數學模型，輕松悟出了“相遇問題”中的要素及其基本數量關系。

二、多元體悟，經歷建模過程

解決“行程問題”的前提是學生經歷建模過程，多元體悟并建立模型。教師要啟發學生學會審題并提取關鍵信息，分析題目中的數量關系，辨析題目中的變量，建構“相遇問題”的模型并應用模型。

課堂上，教師出示例題：“小米和小花分別從各自的家同時出發，相向而行。小米的速度為40米/分，小花的速度為60米/分，5分鐘后兩人相遇。小米家和小花家相距多少米？”教師先提示學生審題時要抓住“題眼”，提取關鍵的四個要素：兩地、同時、相向、相遇。接著，教師啟發學生從具體到抽象地展開思考，并運用數形結合的數學思想方法畫出線段圖（如圖1），表示出運動的要素：運動地點、速度、時間、方向、距離等。這樣做，題目中的條件和問題一目了然，有利于學生分析、提煉題目中數量關系的模型。通過以上學習過程，學生明晰了“相遇問題”的數量關系，比較容易地發現了解題思路：可以先求小米5分鐘走了200米，再求小花5分鐘走了300米，最后求出總路程500米，進而提煉出“路程部分量+路程部分量=路程總量”的數量關系模型。

實際教學中，部分教師會在學生掌握第一種解題方法的基礎上，直接引導學生運用乘法分配律得出第二種解題方法，并讓學生機械記憶相應的第二種思路：運用“速度和×時間=路程”的模型解題。然而，這種轉化方式很難讓學生真正理解這一模型。為此，教師可以通過畫線段圖法幫助學生抽象出該模型。學生發現：小米和小花第1分鐘共同走了“40+60”米，第2分鐘又共同走了“40+60”米，進而提煉出兩人每分鐘行“40+60”米，相遇時共走了5個“40+60”米。學生討論發現，第二種思路仍是“速度×時間=路程”的數量關系模型，并體會到畫線段圖有助于更直觀、深刻地理解“相遇問題”中的等量關系。

三、整體貫通，體會模型價值

在模型的應用階段，教師要聯系生活實際設計分層練習，幫助學生在解決“相遇問題”的過程中更好地理解問題的本質和解題策略，從而提高學生的高階思維能力，使他們形成結構化的數學思維。

應用模型環節，教師可以讓學生逐層體會模型的價值。基礎題采用讓學生自主分類編題的形式，要求學生用數學語言表達不同類型問題的數量關系、解決方法及注意要點。學生類比例題列舉出生活中相向開車、相向游泳、相向跑步等常見的“相遇問題”。在學生理解并掌握“相遇問題”數學模型后，教師通過引入《九章算術》中的數學名題“今有鳧（野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？”，讓學生在感受中華優秀傳統文化的同時，進一步建構“相遇問題”模型。

在理解并解決此問題的基礎上，教師通過出示情境不同但本質相同的購物問題、打字問題、合修公路等同質問題，不斷豐富模型。通過模型的演變與關聯，學生整體建構了乘法數量關系的模型，剝離不同情境的“外殼”后，認識到這些問題都屬于同類問題，其數學模型的實質都是“每份數×份數=總份數”，真正達到了融會貫通。這樣教學，拓展了學生模型意識建構的寬度和深度，促進了學生數學知識的理解和遷移。

學生掌握基礎題組后，教師可以采用先扶后放的方式，適當給出提高型變式問題，增加問題解決的思維含量。如在出示“甲、乙兩車同時從相距290千米的兩個地點相向而行，甲車的速度是每小時60千米，乙車的速度是每小時40千米，多少小時后兩車相距110千米？”的問題后，教師巧妙地變化運動情境：“若兩車相遇后繼續前行，多少小時后又相距110千米？”“如果兩車不是同時出發的，有一輛車先出發，怎樣求相遇時間？”學生的興趣高漲，在教師的引導下，通過獨立分析、小組交流解決了上述問題。以上教學，通過行程中要素的不同組合方式，演變出千變萬化的運動狀態，使學生的模型意識得以深度構建，達到了一通百通地應用模型的學習效果。

隨后，教師出示復雜情況下的拓展題，利用學生的易錯點強化學生的模型意識。如“王麗和張倩分別從甲、乙兩地同時出發，王麗每分鐘走60米，張倩每分鐘走75米，經過7分鐘兩人第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？”學生出現了兩類看法，一類學生認為第二次相遇就是共走了2個全程，1個全程應該用“（60+75）×7÷2”來表示；另一類學生提出了反對意見，他們用線段圖表示出兩人的行程情況（如圖2）。學生豁然開朗，并達成了共識——兩人第二次相遇其實一共走了3個全程，體會到解決復雜行程問題最直接有效的方法是畫線段圖表示題中的信息，利用抽象出的幾何模型化繁為簡，幫助我們分析問題。

學生從“望題生畏”到豁然開朗的過程中，運用數形結合的方法直觀理解了行程中的關鍵信息及其關系，發現了“數學模型”是巧解復雜行程問題的腳手架，深度體驗到數學思維的樂趣，感悟到數學模型的價值。

此外，教師還可以利用思維導圖或數學日記引導學生回顧、整理“相遇問題”的不同類型，分析其異同及解決問題的注意要點，反思、交流在建模過程中的困惑及解決方法，如此拓展深化模型，幫助學生形成穩固且變通的模型，發展數學核心素養。

（作者單位：江蘇省泰州市大浦中心小學）

責任編輯? 張敏