M-φ曲線的計(jì)算原理及其在橋梁抗震分析中的應(yīng)用

張曉煒

（山西省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院有限公司，山西 太原 030000）

0 引言

橋梁是交通線路中的重要組成部分，橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定對(duì)于線路的安全運(yùn)營有著重要意義。地震中，橋墩作為橋梁結(jié)構(gòu)中重要的豎向承重構(gòu)件，其抗震性能將影響到整個(gè)橋梁的安全。我國是多地震國家，對(duì)橋梁開展抗震分析尤其重要。M-φ曲線的繪制是橋梁抗震分析的重要步驟，該曲線的正確繪制及應(yīng)用直接影響橋梁抗震分析的可靠性。本文基于平截面假定，通過力學(xué)計(jì)算繪制M-φ曲線，并對(duì)該曲線在橋梁抗震分析中的應(yīng)用進(jìn)行說明。

1 M - φ曲線的基本理論與計(jì)算方法

1.1 基本假定

平截面假定：即截面變形后仍保持平面，截面應(yīng)變?yōu)榫€性分布；剪切應(yīng)變的影響忽略不計(jì)；鋼筋和混凝土之間無滑移現(xiàn)象。

1.2 材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的本構(gòu)模型

鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用理想彈塑性模型，按照雙折線模型選取，坡度即彈性模量E1，如圖1所示，鋼筋應(yīng)變屈服后的E2按照Higashibata提出的E2=0.01E1取值，E1=tanα。

圖1 鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用《公路橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》建議使用的mander約束混凝土本構(gòu)模型[1]。該模型考慮了箍筋對(duì)核心區(qū)混凝土的約束作用，它既適用于圓形箍筋，也適用于矩形箍筋，如圖2所示。

圖2 混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

1.3 計(jì)算方法

為了精確地進(jìn)行分析，將混凝土截面離散為若干個(gè)小單元，并假設(shè)其滿足平截面假定，每一單元處于單軸應(yīng)力狀態(tài)且單元上應(yīng)力均勻分布。矩形截面鋼筋混凝土構(gòu)件，在正截面受力情況下，截面的條帶法分割以及應(yīng)力應(yīng)變分布如圖3所示。

圖3 截面條帶法分割以及應(yīng)力應(yīng)變分布圖

根據(jù)平截面假定，可得截面曲率為：

式中：

εc——受壓區(qū)邊緣混凝土壓應(yīng)變；

εs——受拉鋼筋應(yīng)變；

h0——截面有效高度。

截面上任意單元中心處的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：

yi——任意單元的中心距截面形心軸的距離。

混凝土和鋼筋的應(yīng)力根據(jù)材料的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系計(jì)算得到：

根據(jù)平截面假定，截面內(nèi)力與應(yīng)力之間滿足如下關(guān)系：

式中：

AC，As——混凝土和鋼筋截面積。

當(dāng)單元厚度比較小時(shí)，可以認(rèn)為單元內(nèi)的應(yīng)力是均勻不變的，用平均應(yīng)力表示層內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)。因此式（4）的軸力、彎矩計(jì)算可以近似的按以下的形式計(jì)算：

上式中，對(duì)于柱截面，N≠0。由于在彈塑性范圍內(nèi)，軸力和彎矩的力學(xué)行為是相互影響、相互耦合的，截面內(nèi)力和變形關(guān)系的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，因此在計(jì)算截面M-φ關(guān)系時(shí)，一般假定軸力不變，僅考慮彎矩和曲率之間的相關(guān)關(guān)系[2]。筆者以表1中截面參數(shù)為例進(jìn)行計(jì)算分析，利用Midas軟件繪制不同軸力作用下M-φ曲線圖，如圖4所示。

表1 橋墩截面參數(shù)

圖4 不同軸力作用下M - φ曲線圖

從圖4中可以看出，當(dāng)軸力變大，曲線形式變化不大，只是變化程度不同，且隨著軸力變大，最大曲率變小，延性變差，在軸力較大的情況下，截面剛屈服就進(jìn)入破壞狀態(tài)[3]。

為了便于分析計(jì)算應(yīng)用，可通過將實(shí)際的曲線等效為理想彈塑性M-φ曲線，等效方法可根據(jù)圖中陰影面積相等求得，如圖5所示。

圖5 M - φ實(shí)際曲線與等效曲線示意圖

2 M - φ曲線在橋梁抗震分析中的應(yīng)用

2.1 用于超強(qiáng)彎矩計(jì)算

墩柱抗彎超強(qiáng)是指墩柱實(shí)際極限彎矩要大于其設(shè)計(jì)值，引起墩柱抗彎超強(qiáng)的原因很多，最主要的是鋼筋在屈服后的極限強(qiáng)度比其屈服強(qiáng)度大，而鋼筋實(shí)際屈服強(qiáng)度又比設(shè)計(jì)強(qiáng)度大。在延性設(shè)計(jì)和保護(hù)構(gòu)件設(shè)計(jì)等原則的指導(dǎo)下，需保證預(yù)期出現(xiàn)彎曲塑性鉸的構(gòu)件不發(fā)生脆性破壞，并保證構(gòu)件處于彈性變形范圍，在確定它們的彎矩、剪力設(shè)計(jì)值時(shí)，采用抗彎超強(qiáng)系數(shù)來考慮超強(qiáng)現(xiàn)象[4]。

墩柱軸力的變化會(huì)引起M-φ曲線的改變，因此在考慮超強(qiáng)彎矩計(jì)算時(shí)所用到的極限彎矩應(yīng)為最大軸力下的彎矩。最大軸力為恒載軸力加上地震動(dòng)軸力（絕對(duì)值）。由此可得利用M-φ曲線取值計(jì)算超強(qiáng)彎矩的公式：

式中：

Mu——最不利軸力作用下的極限彎矩；

?0——橋墩極限彎矩超強(qiáng)系數(shù)，取1.2。

2.2 用于等效線彈性分析

當(dāng)鋼筋屈服后，在地震作用下，結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性工作狀態(tài)，此時(shí)關(guān)注的不再是結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，而是結(jié)構(gòu)變形，嚴(yán)格意義上來說，應(yīng)采用非線性時(shí)程分析方法進(jìn)行抗震分析，但該方法計(jì)算較為復(fù)雜。對(duì)于規(guī)則橋梁，可根據(jù)等位移原理和等能量原理，采用簡便的線彈性方法進(jìn)行抗震分析，以減少計(jì)算分析過程。由于簡化為彈性分析，因此構(gòu)件截面特性應(yīng)采用有效抗彎剛度，地震位移應(yīng)乘以考慮彈塑性效應(yīng)的修正系數(shù)，以保證不會(huì)過低估計(jì)結(jié)構(gòu)的變形[5]。

采用等效線彈性方法計(jì)算時(shí)，延性構(gòu)件的有效截面抗彎剛度按下式計(jì)算：

式中：

Ec——橋墩彈性模量；

Ieff——有效截面抗彎慣性矩；

My——等效屈服彎矩；

?y— —等效屈服曲率。

2.3 用于單柱墩墩頂容許位移與塑性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)能力計(jì)算

由塑性鉸模型，即假設(shè)截面彈性曲率沿墩柱線性分布，塑性曲率在一定范圍內(nèi)以一定理想化模式分布，進(jìn)而求得橋墩的位移，橋墩曲率分布如圖6 所示，計(jì)算公式如下：

圖6 曲率分布模式圖

式中：

Δe——墩頂彈性位移；

Δp——墩頂塑性位移；

?y——等效屈服曲率；

?u——截面極限曲率；

Lp——塑性鉸長度；

Kds——延性安全系數(shù)，可取2.0。

3 M - φ曲線的應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)表1中給出的橋墩截面參數(shù)，建立單柱墩計(jì)算模型，假定軸力為零，單柱墩高度為10m，得到橋墩單元截面的M-φ曲線，如圖7所示，并求得超強(qiáng)彎矩、墩頂容許位移和塑性鉸最大容許轉(zhuǎn)角，如表2所示。

表2 計(jì)算結(jié)果

圖7 橋墩單元截面的M-ф曲線

4 結(jié)束語

本文首先以繪制橋墩M-φ曲線為目標(biāo)，分析了M-φ曲線計(jì)算的基本理論和計(jì)算方法。M-φ曲線為截面特性值的體現(xiàn)，對(duì)曲線上的三個(gè)特殊點(diǎn)的值合理使用，有利于結(jié)構(gòu)計(jì)算理論的多樣化與簡便化。此外，本文還分析了M-φ曲線在橋梁抗震計(jì)算分析中的應(yīng)用，可以看出，該曲線將彈性分析與彈塑性分析實(shí)現(xiàn)了有機(jī)轉(zhuǎn)換，為結(jié)構(gòu)抗震分析提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。