采用聯合算法識別人-橋耦合系統時變模態參數

方露，彭佳敏

（福建農林大學交通與土木工程學院，福州 350002）

0 引言

在人致激勵下，人行橋的頻率和阻尼比不可避免地會發生變化[1]，這使得其在服役過程中存在嚴重的安全隱患。為監控服役期間人行橋的安全狀態，需對其頻率和阻尼比進行識別。獲得自由衰減振動信號是識別人行橋時變模態參數的首要工作。當人行橋受到近似周期性激勵時，其響應信號由強迫振動分量和自由衰減振動分量兩個部分構成[2]。因此，通過解析模態分解（Analytical Mode Decomposition,AMD）[3]等分解方法可以獲取自由衰減振動信號[4]。然而，受測量方法和噪聲的影響，自由衰減振動信號的獲取結果可能存在失真情況，這導致阻尼診斷結果相對頻率的識別結果而言偏差較大[5]。為此，本文引入差分自回歸移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA）[6]對失真處的信號進行預測。目前，基于自由衰減振動信號識別結構時變阻尼比的主要方法有連續小波變換（Continuous Wavelet Transform,CWT）[7]和同步擠壓小波變換（Synchrosqueezing Wavelet Transform,SWT）[8]等。然而，CWT在低頻信號的處理過程中頻率分辨率較低[9]，從而降低了阻尼比識別結果的精度。雖然SWT通過同步擠壓操作可以提高頻率分辨率，但也會造成對數形式的SWT系數模值曲線產生不平穩現象，從而影響了阻尼比的識別效果。作為一種新的瞬時頻率識別方法，多重同步提取變換（Multi-Synchrosqueezing Extracting Transform, MSSET）[10]不僅擁有較高的時頻分辨率，而且具有穩定的時頻系數模值。因此，本文基于AMD、ARIMA和MSSET算法提出了一種識別人-橋耦合系統時變模態參數的聯合方法。通過人橋耦合數值算例和華威人行試驗橋對所提方法進行了驗證。研究表明：聯合方法可以有效解決多種因素下自由衰減振動信號提取結果不準確的問題。此外，該方法識別的瞬時頻率和時變阻尼比曲線可以清晰地表征行人空間位置變化對鋼-混組合人行橋頻率和阻尼比的變化趨勢。

1 聯合方法

聯合方法結合了AMD、ARIMA和MSSET等算法。首先，通過AMD從人-橋耦合系統響應信號中分解出人行橋在人行荷載激勵下被激發的模態分量信號。當人行橋作受迫振動時，AMD分解獲得的模態分量信號即為自由衰減振動分量信號。然后，根據時頻方法識別的瞬時頻率和對數時頻系數模值曲線的結果，判斷并舍棄自由衰減振動信號中失真的部分。在此之后，采用ARIMA預測該失真部分的信號。最后，結合MSSET識別第一階豎向模態振型分量信號和自由衰減振動信號的MSSET系數及瞬時頻率，再將MSSET系數模值以對數的形式表示并推導瞬時頻率、MSSET系數模值與阻尼比三者之間的函數關系，從而最終估算出系統的時變阻尼比。其中，有關AMD、ARIMA和MSSET的詳細內容可參考文獻[3]、[6]和[10]，在此不再贅述。本文主要闡述瞬時頻率、MSSET系數模值與阻尼比三者之間函數關系的推導過程。

在t時刻有阻尼的單自由度振動系統的自由衰減振動幅值信號為XA（t）=Aef0 t，（f0=－ξωn），將XA（t）經過MSSET后得到的MSSET系數如式（1）所示：

式中，g贊ω（·）為緊支高斯窗函數gω（·）的傅里葉變換。

由于MSSET提取的結果為瞬時頻帶而非時頻脊線，因此，本文引入模極大值法求取MSSET的時頻脊線，如式（2）所示：

式中，k為時頻圖中頻率軸的最大值，c為MSSET系數矩陣的維數，P（t，η）為TMSSET（t，η）的模極大值。

在得到MSSET系數和瞬時頻率之后，人-橋耦合系統時變阻尼比的具體估算過程如下。

在式（1）中，當ω=f0時，g贊（ω－f0）=1。此時，可得

將式（3）左右兩邊先同時取絕對值，再將其結果以對數形式表示，如式（4）所示：

式（4）兩邊同時對時間t求導，可得時頻系數、瞬時頻率和阻尼比之間的函數關系，如式（5）所示：

式中，ωMSSET為人-橋耦合系統的瞬時圓頻率。

2 數值算例驗證

2.1 人-橋耦合有限元模型的建立

2.1.1 連續步行荷載模型

本文采用傅里葉級數表示具有近似周期性的連續步行荷載模型[11]。為符合我國國民的體質，本文行人模型的體重和步頻參數根據文獻[12]分別選取626.34 N和1.77 Hz。最終模擬的連續步行激勵荷載曲線如圖1所示。根據參考文獻[11]，人行橋上所施加的連續步行激勵如式（6）和圖2所示。

圖1 連續步行激勵荷載曲線

圖2 連續步行激勵豎向加速度曲線

式中：Fh為連續步行荷載，N；W為行人體重，N；g為重力加速度。

2.1.2 人-橋耦合模型

通過ABAQUS建立連續鋼-混凝土組合人行橋模型，如圖3所示。該人行橋總跨長為16 m，共兩跨，每跨8 m，橋面凈寬為1.6 m，板內布置雙層鋼筋網，布置情況均為?8@200 mm。人行橋中的主梁和橫梁均采用H型鋼梁。鋼筋和混凝土面板的彈性模量E和泊松比等材料參數如表1所示。

表1 鋼筋混凝土面板材料參數

圖3 鋼-混組合人行橋有限元模型

通過ABAQUS計算獲得人行橋的一階和二階豎向彎曲模態頻率分別為9.816 Hz。根據規范ISO 10137，將鋼-混組合人行橋模型的阻尼比設定為0.6%[13]。

在人-橋耦合系統中，行人應作為一個獨立的動力系統依附在人行橋上。根據文獻[14]，本文通過彈簧阻尼器連接兩個不同的質量塊建立SMD人體模型。行人模型的剛度設為14.11 kN/m，阻尼比為0.3[15]。將質量塊與橋面之間的摩擦因數設為0。為防止行人模型行進時發生穿刺現象，將行人模型與橋面的法向屬性定義為硬接觸以此實現人橋耦合，如圖4所示。然后，設定人體模型以1 m/s沿縱橋方向勻速行進，將隱式動力分析步中默認施加的重力加速度替換為式（6）中的豎向加速度Ah。

圖4 人-橋耦合有限元模型

2.2 數值算例結果

設定分析步時間間隔為2 ms，對組合人行橋進行隱式動力分析，提取鋼-混組合人行橋左側跨中的加速度響應信號，如圖5所示。從圖5可以觀察到行人剛進入人行橋時產生了較大的沖擊，然后隨著行人的行進響應逐漸增大，當行至跨中位置時達到頂峰，隨后逐漸減小。對鋼-混組合人行橋響應信號進行快速傅里葉變換，結果如圖6所示。在圖6中，0～9 Hz范圍內的5個分量信號為5個強迫振動分量信號，而在9～12 Hz區域內出現的信號為人行橋一階豎向彎曲模態振型的分量信號。根據文獻[2]、[4]可知該信號也為自由衰減振動分量信號（圖6中方框）。選取截止頻率為9.6 Hz和13 Hz，采用AMD分解獲得的自由衰減振動分量信號如圖7所示。

圖5 鋼-混組合人行橋響應信號

圖6 鋼-混組合人行橋響應信號FFT幅值圖

圖7 AMD分解獲得的自由衰減振動響應信號

通過觀察圖7可知：在14～16 s區域，自由衰減振動響應信號并未較好地呈現出遞減的現象，其原因是受到了提取方法的限制以及結構阻尼衰減的影響。為解決此問題，本文采用ARIMA對14～16 s區域的信號進行預測，其最終得到的預測模型為ARIMA（19, 0, 0），預測的自由衰減振動分量信號如圖8所示。通過對比圖7和8可知：圖8在14～16 s區域中信號衰減的現象更為明顯。

圖8 預測后鋼-混組合人行橋自由衰減振動響應信號

采用附加移動質量法獲得人行橋固有頻率理論值[11]，設定每次移動的距離為1000 mm，最終得到圖9和10中黑色實線所示的理論固有頻率曲線。將AMD分解出的自由衰減振動信號和預測后的自由衰減振動信號分別進行CWT、SWT、SET和MSSET處理得到系統的瞬時頻率曲線，如圖9和10所示。從圖9可知：CWT（十字實線）和SWT（菱形點線）識別的瞬時頻率曲線無法反映人行橋在服役狀態下的時變特性，而SET（菱形虛線）和MSSET（圓形虛線）識別的結果可以很好地表現出時變特性，其中MSSET的效果最佳（圖9矩形框）。對比圖9與10可知：圖10在14～16 s區域中各算法識別的頻率結果與理論值更為吻合（圖10矩形框所示）。

圖9 預測前鋼-混組合人行橋瞬時頻率

圖10 預測后鋼-混組合人行橋瞬時頻率

對AMD分解獲得的自由衰減振動信號及其預測后信號分別進行CWT、SWT、SET和MSSET處理，提取各算法時頻系數模值并以對數形式表示，如圖11和圖12所示。在圖11和圖12中，除了在14～16 s區域外，相比SWT，CWT、SET和MSSET均較好地保持了對數時頻系數模值的穩定性。然后，通過線性最小二乘擬合對數時頻系數模值曲線，如圖11和圖12中虛線所示。

圖11 預測前時頻系數對數模值圖及其擬合曲線

圖12 預測后時頻系數對數模值圖及其擬合曲線

在獲取各算法識別的瞬時頻率和對數時頻系數模值之后，根據式（5）估算人-橋耦合系統的時變阻尼比，如圖13和14所示。從圖13和圖14可以得知：除14～16 s之外的時間范圍內，MSSET和SET的識別結果精度高于CWT和SWT的識別結果，即MSSET和SET的識別結果與理論阻尼比值（理論阻尼比值為0.6%）更為接近，其中MSSET的識別結果略高于SET的識別結果（圖13矩形框所示）。此外，從圖13和14可以觀察到：行人在行進時，阻尼比在逐漸增大。當行人行至各跨跨中時，阻尼比值達到峰值，隨后又在逐漸減小。通過對比圖13與圖14可知：圖14在14～16 s區域中各算法識別的時變阻尼比結果與理論值更為吻合（圖14矩形框所示）。

圖13 預測前鋼-混組合人行橋時變阻尼比

圖14 預測后鋼-混組合人行橋時變阻尼比

3 試驗驗證

在本節中，采用文獻[16]提供的華威橋試驗數據來證明聯合方法的有效性。華威橋是單跨鋼-混組合人行橋，全長19.9 m，橋體由混凝土面板和兩根H型鋼梁組成。該橋在一階豎向彎曲模態振型下的頻率為2.4 Hz，模態阻尼比為0.3%[16]。試驗時，測試者在華威橋上近似勻速行走，使其位置隨時間而變化，從而實現了人-橋耦合系統的時變特性。此次試驗采用QA加速度傳感器和NI9234采集卡獲取步行激勵下人行橋垂直方向的加速度，采樣頻率為100 Hz。

本文截取測試者返程時走過全橋的加速度信號，時長約為11 s，如圖15所示。從圖15可知：當行人逐漸行至跨中時，華威橋的響應逐漸增大并在跨中位置達至頂峰，隨后逐漸減小。將其響應信號經過CWT處理得到圖16所示的小波量圖，其中處于2 Hz的分量信號為激勵信號，2.4 Hz的分量信號為人行橋受步行激勵而產生的一階豎向彎曲模態信號。

圖15 華威橋響應信號

圖16 華威橋響應信號小波量圖

選取AMD的截止頻率分別為2.2 Hz和4.0 Hz，從華威橋響應信號中分解出圖16中2.4 Hz處的分量信號。將分解出的信號經過CWT、SWT、SET和MSSET處理后得到該信號的瞬時頻率，如圖17所示，其中，黑色實線是根據文獻[11]求得的公式值。從圖17可以看出：相比于其他3種方法，MSSET不僅能夠更穩定地反映出頻率隨行人空間位置發生的變化趨勢，而且具有更高的時頻分辨率。

圖17 華威橋瞬時頻率識別結果圖

文獻[16]采集的自由衰減振動信號如圖18所示。類似地，分別采用CWT、SWT、SET和MSSET處理自由衰減振動信號得到各算法時頻系數的對數模值，通過最小二乘擬合各對數模值曲線得到各曲線的斜率，如圖19虛線所示。

圖18 預測前華威橋自由衰減振動響應信號

圖19 預測前華威橋時頻系數對數模值曲線圖及其擬合曲線

由于自由衰減振動信號末端的能量相對較小，因而容易被噪聲淹沒并產生一定的誤差，這導致CWT對數模值曲線在尾部失真。為改善此問題，通過ARIMA對85～100 s的自由衰減振動信號（如圖20）進行預測，經計算，其預測模型為ARIMA（19, 0, 7），失真區域信號的預測結果如圖21所示。對比圖20和圖21可知，經預測后的信號曲線更光滑，信號幅值遞減趨勢更顯著。為更好地表征目標信號，圖22給出了0～100 s的預測自由衰減振動信號。

圖20 預測前85～100 s華威橋自由衰減振動響應信號

圖21 預測后85～100 s華威橋自由衰減振動響應信號

圖22 預測后華威橋自由衰減振動響應信號

類似地，將預測后的信號分別進行CWT、SWT、SET和MSSET處理，得到其時頻系數模值并以對數表示，結果如圖23所示。通過對比圖19（a）、（b）和圖23（a）、（b）圖可以觀察到：CWT和SWT處理預測后信號所得到的時頻系數對數模值曲線比未預測的結果更加理想，遞減的趨勢更趨于穩定。然后，通過線性最小二乘擬合得到各算法對數模值曲線的斜率值，如圖23虛線所示。

圖23 預測后華威橋時頻系數對數模值曲線圖及其擬合曲線

根據式（5）估算華威橋時變阻尼比，結果如圖24和圖25所示。從圖24和圖25可知：人行橋在服役期間，其阻尼比將隨行人空間位置變化而變化；相比于其他算法，MSSET的識別結果更能清晰穩定地體現出人行橋的時變模態參數隨行人空間變化而引起的變化趨勢。通過對比圖24和圖25可知：ARIMA可以顯著地改善CWT和SWT算法的阻尼比識別效果。因此，本文提出的方法不僅可以較好地解決提取自由衰減振動信號中尾部信號不夠精確的問題，而且基于該方法識別的時變模態參數具有更高的精確度。

圖24 預測前華威橋時變阻尼比曲線圖

圖25 預測后華威橋時變阻尼比曲線圖

4 結語

為更加準確地識別服役狀態下鋼-混組合人行橋的時變模態參數，本文從人-結構相互作用的角度出發，提出了一種基于AMD、ARIMA和MSSET等算法的人-橋耦合系統時變模態參數聯合算法。最后，通過數值算例和步行試驗對文中方法的有效性和準確性進行了驗證。研究結果表明：聯合方法可以有效解決自由衰減振動信號提取結果不準確的問題，并且該方法識別的瞬時頻率和時變阻尼比曲線可以清晰地表征行人空間位置變化對鋼-混組合人行橋頻率和阻尼比的變化趨勢。