園丁還是木匠

蔣亦　萬姝瑋

【摘 要】 展示課堂實錄，三問數學探究課：什么是數學探究活動？數學探究活動的本質是什么？數學探究活動中，老師的角色是什么？尋找讓學生提出問題、開放水平更高的探究課.

【關鍵詞】 數學探究；開放水平；切線；切點弦；弦切線

《普通高中數學課程標準（2017版）》將數學探究活動作為高中數學課程的五大主題之一，培養學生的探究意識、提高學生的探究能力已經成為高中數學的一項重要目標. 本文以2023年江蘇省評優課課題，蘇教版普通高中教科書《數學（選擇性必修）》第一冊第67頁“問題與探究：圓的切線與切點弦”為例，三問數學探究活動，探尋站位更高、更自然的探究課.

1 教學設計

1.1 提出問題

笛卡爾：“求切線不但是我所知道最有用最一般的問題，而且甚至可以說，是我唯一想要在幾何學里知道的問題.”

問題 在平面內，過一點可作已知圓的幾條切線？如何求圓的切線方程？

2 思考

一堂富有思維含量的探究課，上課過程相當流暢，老師設計的問題環環相扣，學生回答相當到位，課堂氛圍熱烈，為廣大教師認可.但這也不禁引發筆者思考：“課堂氛圍熱烈，學生反應到位”就是好課嗎？

2.1 什么是數學探究活動

數學探究活動是指圍繞具體數學問題開展自主探究、合作研究并最終解決問題的探究活動，是運用數學知識解決問題的一類學習實踐活動［1］.課標要求學生能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，進行數學探究.一般表現：發現并提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，尋求解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論［2］.“問題、證據、結論、論證”是探究活動的四個主要要素.根據告知要素的數量，數學探究活動的開發水平被劃分為四個層次，如表1.

“提出問題”和“探究1”還是挺自然的，“探究2”指向性太強，不自然，自然的問題應該是：過圓外一點P的切線方程是什么？怎么會直接去思考探究1結論的遷移“x0x+y0y=r2表示怎樣的直線呢？”

探究2的提出應該是這樣的：當點P在圓外時，過點P的切線方程太復雜，沒有價值. 回看探究1的結論非常漂亮. 實際上，當點P在圓外時，直線l：x0x+y0y=r2還是存在的，那么它表示怎樣的直線呢？

唯有經歷這樣的過程，才能培養學生“發現并提出有意義的數學問題”的能力，同時也將數學探究活動開放水平從水平三提高到水平四.

2.2 數學探究活動的本質

筆者認為數學探究活動的本質是“再創造”，就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生. 這是一種最自然的、最有效的學習方法［4］.

這節課為什么流暢，且學生反應到位？探究1起點低，學生探究順利，老師及時總結（其實是一種“強化”：后續探究繼續這么干），教學重點探究2依然如此，更加強化了這種操作模式，直接促使教學難點探究3順利突破. 可以說，學生連一點彎路都沒有走，是老師“保姆式”的暗示，幫學生跨過了失敗、痛苦和無助，同時也剝奪了學生經歷質疑問難、勇于探究、敢于創新的機會.

2.3 數學探究活動中老師的角色

成為園丁，不是木匠！數學探究活動中，引導學生就像照顧花園，做老師就像做一個園丁.我們要為學生創造一個充滿疑問、百思不得其解、又欲罷不能且寬松自主的課堂空間.做老師不能像做一個木匠，設計探究路徑，因為特定計劃的局限性大，當前順利，但是沒有可遷移性. 也許開放水平更高的探究會使課堂逃離我們的控制，而最大的園藝勝利和歡樂往往來自于此.

我們要考慮的是創造一片草地、樹籬或村舍花園.混亂是草地的榮耀，不同種類的花草可能會隨著環境的變化而榮枯交替，沒有哪一株植物能保證會成為最高、最美或最長盛不衰的那一株.優秀的園丁致力于創造肥沃的土壤，以涵養整個生態系統，其中不同的植物具有不同的弱點和生長苦難［5］.

3 優化設計

3.1 提出問題

笛卡爾：“求切線不但是我所知道最有用最一般的問題，而且甚至可以說，是我唯一想要在幾何學里知道的問題.”

3.2 數學探究

探究1 已知圓O：x2+y2=r2，一點P（x0，y0），寫出過點P的切線l的方程.

當點P在圓上時，切線1條，方程x0x+y0y=r2，反之亦然.

當點P在圓外時，切線2條，方程（略），非常復雜，沒有價值.

當點P在圓內時，切線不存在.

追問：當點P在圓上時，切線1條，方程x0x+y0y=r2——這個結論非常漂亮，能否拓展？

預設：當點P不在圓上時，方程x0x+y0y=r2客觀存在，表示怎樣的直線呢？

探究2 已知圓O：x2+y2=r2，圓O外一點P，方程x0x+y0y=r2表示怎樣的直線呢？

3.3 數學應用

已知圓O：x2+y2=4，過點M（4，n），作圓O的兩條切線，證明：切點連線過定點.

探究3 已知圓O：x2+y2=r2，圓O內一點P，方程x0x+y0y=r2表示怎樣的直線呢？

3.4 課堂小結（同上）

參考文獻

［1］ 許彬，王宗信. 由木工刻圖引發的數學探究活動［J］.數學通報，2023（08）：29-33.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018：35.

［3］ 劉云，張廣祥.高中數學必修教科書中數學探究活動分析［J］.數學教育學報，2012（10）：5-8.

［4］ ［荷蘭］弗賴登塔爾.作為教育任務的數學［M］.陳昌平，唐瑞芬等，譯.上海：上海教育出版社，1995：3.

［5］ ［美］艾莉森·高普尼克.園丁與木匠［M］.劉家杰，趙昱鯤，譯.杭州：浙江人民出版社，2019：15.

作者簡介 蔣亦（1982—），男，江蘇常州人，中學高級教師；獲江蘇省基本功大賽二等獎、常州市評優課二等獎；主要從事高中數學教育教學方法研究和試題研究.

萬姝瑋（1985—），女，江蘇常州人，中學一級教師；獲武進區評優課一等獎；主要從事高中數學解題研究.