發揮信息技術優勢 提升課堂教學效果
——幾何畫板在探究直線和圓的位置關系中的應用

? 江蘇省蘇州市桃塢高級中學校 吳久輝

數學是一門比較抽象的學科,有些內容僅憑教師單方面的講授學生很難理解和掌握.基于此,在高中數學教學中,教師有必要更新教學方式和教學手段,將抽象的內容生動、直觀地呈現出來,這樣既易于學生理解和掌握,又可以調動學生參與的積極性,有利于深度學習的達成.而將信息技術與數學教學相結合,可以將知識系統、直觀地呈現出來,有效淡化數學知識的抽象感,使數學課堂豐富起來、生動起來,切實提升課堂教學效果[1].在“直線和圓的位置關系”教學中,筆者借助幾何畫板,將圓與直線的位置關系形象、直觀、準確地呈現出來,在幫助學生理解知識的同時,激發學生學習興趣,提升學生數學思維能力和數學核心素養.現結合具體案例,談談幾何畫板的教學優勢.

1 巧借幾何直觀,促進理解

解析幾何既是教學重點,也是教學難點,許多學生在學習這部分內容時容易產生畏難情緒,從而影響最終學習效果.確實,對于初學解析幾何的高一新生來講,這部分內容比較抽象,涉及層面較廣,綜合應用比較靈活,僅憑教師講授很難讓學生將相關知識、方法等學懂、吃透.在實際教學中,為了讓學生更加直觀地感悟直線與圓的位置關系,大多教師會滲透數形結合思想,以期借助形的直觀淡化問題的抽象性,幫助學生克服畏難情緒,提高學生參與課堂的積極性.在具體實施過程中,教師若選擇課上手工繪圖,這樣不僅會浪費寶貴的課堂時間,而且難以準確表達蘊含其中的數學關系.而利用幾何畫板可以有效解決以上問題,快速、直觀、準確地呈現圖形,更易于學生理解和掌握.

案例1中點軌跡問題

教學中,教師設計了如下幾個問題:

(1)已知P是定圓O上一動點,Q為圓O外一定點,連接PQ,M是PQ的中點,當P在圓O上運動時,點M的軌跡是什么?

(2)已知P是定圓O上一動點,點Q在過圓心O的定直線上,且線段PQ為定長,M是PQ的中點,當點P在圓O上運動時,點M的軌跡又是什么?

(3)在平面直角坐標系xOy中,P,Q分別為y軸和x軸上的兩動點,且線段PQ為定長,M是PQ的中點,當動點P在y軸上運動時,M的軌跡又是什么?

教學中,教師先讓學生思考并提出自己的猜想,然后運用幾何畫板進行動態演示,讓學生借助圖形進一步觀察(如圖1～圖3),幫助學生加深對中點軌跡問題的理解.通過直觀演示可以輕松得到如下結論:問題(1)中,中點M的運動軌跡是圓;問題(2)中,中點M的運動軌跡是橢圓;問題(3)中,中點M的運動軌跡是圓.

圖1

圖2

圖3

這樣借助幾何畫板就將中點軌跡的三個問題直觀、快速、準確地呈現出來了.通過經歷以上過程,學生可以感受軌跡的產生過程,有利于培養空間意識,提升直觀想象素養.另外,通過動態展示,抽象的問題會變得更加直觀、簡潔、生動,便于理解和掌握.通過經歷以上過程,還可以幫助學生積累豐富的活動經驗,有利于發展學生的數學思維和核心素養.

2 借助直觀精準,促進發現

直線與圓相結合的圖形運動問題是高考的一個重要考點,該類型的題目比較抽象,具有一定難度.在日常教學中,若教師僅是就題論題式的講授,將影響學生知識體系的建構,不利于學生解決問題能力的提升.因此在實際教學中,教師不妨借助多媒體的直觀化、系統化、精準化,引導學生對相關知識進行歸納總結,讓學生的腦海中形成清晰的知識脈絡,從而提高遷移水平[2].

對于兩個非同心圓的一般方程,若將兩圓的一般方程作差,則得到一個二元一次方程,即一條直線l的方程.該直線與已知兩圓可能會有一定的特殊的關系,這是一個值得探究的問題.兩圓的位置關系有多種,受其影響,直線l與兩圓的特定關系也會有所不同.這種不同很難單純地靠說或板書來表達,教學中可著重演示這一動態變化過程,引導學生在變化中逐漸抽象概括,從而發現規律.在具體實施過程中,教師不妨借助幾何畫板來動態演示,引導學生通過觀察、抽象概括等過程,提高教學實效性.

案例2直線和兩圓的位置與方程的關系

教學中,教師以兩圓相交這一位置關系為引例,開啟探究之旅:

問題如圖4,作兩相交圓圓O1和圓O2,其交點為M,N,令點M,N所在直線為l,在直線l上取一點P(異于點M,N),過點P分別作圓O1和圓O2的切線PE,PF,連接O1O2.結合圖形,說說你有何發現?

圖4

學生通過直觀觀察易于發現:(1)在直線l上任取一點作兩圓的切線,則切線長相等;(2)直線l與兩圓的連心線垂直.基于以上發現,教師讓學生度量兩圓及直線的方程,觀察、猜想并驗證它們之間的關系.猜想及證明過程如下:

猜想:若圓O1和圓O2相交,則直線l的幾何意義是兩圓的公共弦所在的直線.

在此基礎上,教師讓學生繼續思考:兩圓相離、相切或內含時,是否有符合以上條件的直線l?這樣借助幾何畫板的直觀、快速、準確,打開了學生的思維大門,讓學生對蘊含于圖形中的一些特殊結論了然于心,有利于提升學生學習信心,發展學生數學核心素養.

3 提供實踐機會,提升素養

幾何畫板是研究幾何問題的重要工具,可以將抽象的知識和復雜的問題直觀地展示出來,從而為知識的理解和問題的解決提供便利.在現實教學中,幾何畫板以教師操作為主,這樣雖然高效,但是學生的思路被教師牽著走,學生的發現局限于教師的預設中,影響學生創新意識的培養.在實際教學中,教師可以提供機會讓學生自己操作,這樣既可以調動學生參與的積極性,又能激活學生的思維,提高學生的動手探究能力和創造力.在課堂教學中,只有真正將主動權交給學生,才能充分釋放學生的無限潛能,提升學習品質和教學有效性[3].

案例3和兩個定圓相切的動圓圓心軌跡

如圖5,已知兩定圓O1和O2的半徑分別為r1,r2,動圓M與兩圓相外切.

圖5

(1)如果兩定圓相離,那么圓心M的軌跡是什么?

(2)如果兩定圓外切,情況會怎樣?

(3)如果兩定圓相交、內含、內切,又能得到怎樣的結論?

(4)如果兩定圓內切于動圓M,圓心M的軌跡又會怎樣呢?

對于以上問題,若直接讓學生推理分析,容易滋生學生的畏難情緒,因此教師不妨提供機會讓學生動手實踐探究,讓學生通過操作、觀察、分析、歸納等活動輕松地解決問題.另外,通過動手實踐探究形成的直觀認識,會給后續的推理驗證提供助力,有利于學生發現、分析和解決問題能力的提升.

事實證明,適度地將幾何畫板等多媒體技術應用于數學教學實踐中,可以使抽象、枯燥的數學知識變得形象、直觀、生動,可以有效激發學生學習興趣,從而讓學生的學變得更加積極、主動.值得注意的是,在實際操作中,教師切勿獨攬課堂,要提供機會讓學生去操作、去發現,這對學生提高自主探究能力、發展直觀想象素養、提升數學思維能力等都是極其有益的.同時,教學中要提供機會讓學生去合作、交流,讓學生充分體會繪圖的樂趣以及體驗發現的喜悅,充分激發學生的主體性和主動性,促進學生數學核心素養的落實.

總之,幾何畫板作為優質的教學軟件,操作簡單,功能強大,將其應用于教學能發揮傳統教學無法比擬的作用.在實際教學中,教師要適時、適度、適當地加以應用,充分發揮其直觀、生動、快捷等優勢,加快新知內化進程,助力學生全面提升.