來路—思路—出路—套路,教學研題“四部曲”
——基于一道高考平面向量試題的探析

? 江蘇省海門中學 周 茜

在數學課堂教學以及解題研究過程中,特別是在高考復習階段,教師合理選取經典問題,多方位挖掘問題的內涵,嘗試做到數學解題研究的“四部曲”——來路、思路、出路、套路,提升復習效率.

1 展示“來路”——立足課標,明確主題與指向

教材典型例、習題及歷屆高考真題等典型試題,具有有效鞏固數學基礎知識、合理滲透數學思想方法、精準明確數學學習任務、巧妙確定數學研究方向等基本作用,是新一屆高考命題者改編或創編新高考題的基本“來路”.基于典型試題的教學研究,有效明確相應問題的主題,尋找典型問題的指向.

分析：此題以直線與圓的位置關系創設情境,結合從圓外一點分別引圓的切線與割線,通過“靜”與“動”兩種狀態來設置圓上的對應點,動靜結合,合理創設,進而確定相應平面向量的數量積的最值.

題目簡單明了,以代數形式來敘述,以幾何特征來表達,利用直線與圓的位置關系,結合圓上“動”點與“靜”點之間的變化情況,勾勒了一幅優美的畫卷.

2 展開“思路”——解題研究,發散思維與視角

解題研究的目的就是準確、快速地解決相應的數學問題,其實質就是合理分析與理解題目條件,綜合相應的數學知識、思想方法等來合理發散思維,借助不同思維視角的切入與應用來解題,合理尋找解決問題的“思路”.這也是解題中最為關鍵的一個環節,不同的“思路”對應著不同的解題方法與技巧.

2.1 平面向量思維

結合問題的平面幾何場景,利用平面向量思維切入,通過平面向量的數量積,以及平面向量自身“數”與“形”的雙重屬性來分析與求解.

方法1:平面向量法.

圖1

分析：根據圓上動點的變化引入“角參數α”,結合平面向量的數量積構建三角關系式,通過三角恒等變換轉化為對應的余弦型(或正弦型)函數,借助三角函數的圖象與性質來確定對應的最值問題.

2.2 解析幾何思維

由題意可建立平面直角坐標系,利用解析幾何思維切入,通過坐標法來變形與轉化相應的點、向量等相關問題,進而加以分析與求解.

方法2:坐標法.

圖2

分析：根據平面幾何與平面向量的問題實質,回歸到平面解析幾何中去,通過建立平面直角坐標系,利用點的坐標及動點的軌跡等,從代數思維視角來合理數學運算,結合動點所滿足的軌跡方程進行參數方程的變換,結合平面向量的數量積以及三角恒等變換來綜合與應用.構建點的坐標時,利用軌跡的結構特征,合理進行參數方程的變換是解題的關鍵所在.

2.3 平面幾何思維

問題是平面幾何,回歸平面幾何本質,利用平面幾何思維切入,結合圖形直觀以及平面向量的相關幾何意義加以分析與求解.

方法3：平面幾何法.

圖3

分析：根據平面向量數量積的幾何意義,結合投影的結構特征與直觀分析,通過“動”態過程中的變化規律及最值問題的幾何特征,二者合理交匯與融合,通過數形結合以及圖形直觀,綜合平面幾何的結構特征與基本性質等來應用,實現問題的直觀處理.平面幾何法的關鍵就是把握圖形的結構特征以及所求數量積的幾何意義與內涵,合理直觀與巧妙推理.

3 尋找“出路”——目標變式,鏈接知識與方法

目標變式是基于原問題考查的基礎知識、基本思想內涵與技巧方法,有目的、有計劃地合理改編與變式,探尋問題進一步的“出路”,進而凸顯不同數學基礎知識、基本思想方法、思路技巧等之間的邏輯關系,合理鏈接數學知識與思想方法,構建更加完善的數學知識體系與架構,形成更加全面的知識網絡.

3.1 延續結果變式

3.2 改變條件變式

借助以上條件改變而得到的變式2及其對應的解析過程,將確定最大值的問題轉變為確定取值范圍的問題,還可以得到對應的變式.

4 拓展“套路”——總結反思,優化技巧與策略

總結反思是高效、合理進行解題研究的基本步驟,可以從知識覆蓋面廣、形式靈活的數學綜合題中挖掘蘊含其中的多種解法與思想,合理總結并拓展解題的“套路”,有利于深化學生對知識的理解與掌握,從而優化數學思想與技巧策略,發展數學思維品質.

實踐證明,基于數學解題研究過程中的“四部曲”——來路、思路、出路、套路,有針對性的解題研究的教學與學習,教學意圖更加明顯,教學思路更加清晰,教學設計與教學過程更能充分調動學生解題的積極性、主動性,是有效提高高考數學復習備考質量的一種常見教學范式.