由一道解析幾何題引發的一題多解與多題歸一

? 江蘇省常州市田家炳高級中學 王麗萍

近幾年高考中經常考查的解析幾何的定點、定值問題,大部分學生會覺得入手比較困難,究其原因:(1)解題方向不明確;(2)解題方法不清晰.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中指出:“教師要加強學習方法的指導,幫助學生養成良好的數學學習習慣,敢于質疑、善于思考,理解概念、把握本質,數形結合、明晰算理,厘清知識的來龍去脈,建立知識之間的關聯.教師還可以根據自身教學經驗和學生學習的個性特點,引導學生總結出一些具有針對性的學習方式,因材施教.”[1]因此,筆者以一道解析幾何題為例,將“解析幾何中的定點、定值問題”作為微專題的復習內容,重點研究其解題方法,并進行變式思考,指導學生如何解決這類問題.

1 題目呈現

圖1

2 一題多解

解析幾何有關定點、定值問題的常用方法如圖2所示.

圖2

方法一：直接求解.

整理,化簡,得(m2+2)y2+4my+2=0,則

①

除了y1y2能直接用韋達定理代入,剩下的單獨的y1,y2沒法處理.仔細觀察會發現,上述①式中三個變量m,y1,y2之間存在一定的關系,仍然可以借助韋達定理解決問題.有如下三種途徑.

(1)半代換配湊法

y1=(y1+y2)-y2,或y2=(y1+y2)-y1,則

評注：此方法是利用韋達定理,通過配湊,把三元變量m,y1,y2消元轉化為二元m,y2(或m,y1),從而轉化為比值為定值的問題.

(2)積與和的轉化

②

③

評注：根據韋達定理,y1+y2,y1y2與m之間存在著一定的關系,所以利用②與③兩個等式,可以把my1y2轉化成y1+y2,即把分式轉化成一次齊次式的問題,進而化簡求值.

(3)求根公式法

設y1,y2分別是關于y的二次方程(m2+2)y2+4my+2=0的兩個實數根.不妨設y1

方法二：先猜后證.

圖3

只要證y1(x2-1)+y2(x1-1)=0.

設直線AB的方程為x=my+2,則即證

y1(my2+1)+y2(my1+1)=0.

即證2my1y2+y1+y2=0.

把韋達定理代入上式,驗證等式成立即可.

評注：這種執果索因的方法避開了“非對稱韋達定理”型,只需把韋達定理直接代入即可.這種先猜后證的方法對于學生來講難度相對比較小,容易操作.通過特殊位置找特殊點,把兩條直線斜率的比值關系先猜出來,再驗證其一般性,解題更具有導向性.

3 變式反思

變式1的解析過程從略.

評注：通過條件和結論的互換,把定值問題轉化為定點問題,這是一個逆向思維的過程.

圖4

變式2的解析過程從略.

評注：此題看似是研究兩個角的關系問題,但最終還是研究兩直線AD,BD斜率之間的關系,即兩直線斜率之和為0的問題,實際上還是研究解析幾何的定值問題,仍然可以借助韋達定理解決.

4 考題鏈接

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若直線MN的斜率k=1,求點A的坐標.

本題解析過程從略.

5 多題歸一

由上述例題筆者認為,有關定點、定值的問題基本上可以從兩個方向入手.

(1)從已知條件出發,直接求解

在聯立方程組利用韋達定理求解的時候會遇到如下兩種情況:

無論是上述哪種情況,都可以借助韋達定理來解決.

(2)先猜后證

通過尋找特殊位置或者特殊點先把定點或者定值確定之后,再用常規方法解決,這種方法通常計算簡潔,運算步驟較少.

一題多解,是從不同角度求解同一個問題;多題歸一,是不同題目采用的做法類似.一題多解能培養學生的發散思維,而多題歸一能培養學生的總結與歸納能力.在平時的解析幾何復習中,除了要培養學生的運算能力,還要培養學生的思維能力.因為只有多思考才能在解題中少走“彎路”,才能讓解析幾何的運算“如虎添翼”.