借助“一題多解”,倡導“一題多變”
——一道向量試題的探究

? 江蘇省泰興市第二高級中學 李 明

作為高中數學中的一個重要知識點與基本解題工具,平面向量憑借自身同時兼備“數”的基本屬性與“形”的結構特征這一內涵,成為高中數學中一道特殊的亮麗風景線.

在實際數學試題的命制與解題過程中,往往可以從“數”與“形”這兩個不同的視角加以切入與應用,豐富問題的內涵與實質,也為問題的解決提供更加多樣變化的視角,體現創新性與應用性.

1 問題呈現

問題已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

本題通過三個平面向量之間的關系加以合理創設,結合其中一個向量的模以及這三個向量之間的數量積,合理構建這三個平面向量之間的關系,得以確定其中兩個向量線性關系的模的最值問題.主要考查平面向量的模、數量積等基礎知識,運算求解等能力,數形結合、化歸與轉化等思想,體現基礎性、綜合性與創新性等,導向對直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養的關注.

波利亞曾說:“掌握數學就是意味著善于解題.”抓住平面向量的內涵與實質,結合具體問題,從平面向量的“數”與“形”這兩個不同的視角來切入,通過代數運算或幾何直觀等方面來合理數學運算、邏輯推理等.

2 問題破解

2.1 幾何思維

方法1：幾何意義法.

圖1

解后反思：根據平面向量“形”的幾何特征,結合平面向量的幾何內涵或幾何意義,從“形”的視角切入,通過數形結合加以直觀想象,從幾何特征層面來研究對應的問題.這里結合平面向量數量積的幾何意義,從射影、垂直等視角來直觀處理,利用圖形直觀,結合“動”態變化規律來解決“靜”態的最值問題.

2.2 代數思維

方法2：坐標法1.

解析：在平面直角坐標系xOy中,設向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖2所示.因為a·b=1,a·c=-1,b·c=0,所以x1=1,x2=-1,x1x2+y1y2=0,則y1y2=1.

圖2

方法3：坐標法2.

因為a·b=1,a·c=-1,所以mcosα=1,-nsinα=-1,即mcosα=1,nsinα=1.

解后反思：根據平面向量的“數”的基本屬性,通過平面直角坐標系的構建,合理引入平面向量的坐標,利用平面向量中的相關要素,轉化為涉及坐標的函數、方程或不等式等,進而從代數視角進行數學運算與邏輯推理.這里通過平面向量所對應的坐標的構建,利用題設條件確定對應坐標的關系式,結合基本不等式的放縮、三角函數的應用等來確定與應用.

2.3 三角函數思維

方法4：基本不等式法.

方法5：三角函數法.

解后反思：根據平面向量的“數”與“形”的融合與應用,引入向量的模或夾角等相關幾何量,將向量問題轉化為與向量的夾角等相關的三角函數問題,在解決一些相關的最值問題或取值范圍問題時經常用到.這里從不同向量的夾角設置或從整體性思維設置向量的夾角等不同方式加以創設,轉化為對應的三角關系式,通過三角恒等變換與應用,結合基本不等式或三角函數等來放縮處理.

3 變式拓展

契合以上數學問題的思維視角的“一題多解”,深挖問題的內涵與本質,合理歸納總結,創新應用提升,合理拓展變式與應用,全面實現數學基礎知識、數學思想方法與數學能力等方面的提升.

3.1 低階變式

降低題目難度,簡化推理過程與數學運算.

3.2 同階變式

保持題目條件,變換求解視角.

變式3已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).(C)

3.3 高階變式

提升題目難度,深化推理過程與數學運算.

變式4已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,a·b=b·c=1,a·c=2,則|a+b+c|的最小值為______.(4)

4 教學啟示

4.1 “數”“形”結合,開拓思維

平面向量集“數”“形”于一體,是“數”與“形”巧妙融合的和諧統一體,更是溝通代數與幾何的一種有效解題工具.在實際應用過程中,可以從平面向量“數”的視角切入,合理滲透函數與方程、三角函數、不等式等“數”的代數性質;也可以從平面向量“形”的視角切入,合理融入平面幾何、平面解析幾何等“形”的幾何內涵.從“數”與“形”這兩個層面展開,真正實現技巧策略的應用與核心素養的養成這二者之間的和諧與統一.

4.2 發散思維,“一題多得”

借助“一題多解”進行數學思維的鍛煉與提升,可以促進學生更加系統、全面地理解并掌握對應的數學知識與解題方法,并在此基礎上不斷提升數學問題的綜合性、靈活性與創新性,巧妙深入探索,實現“一題多變”“一題多用”“一題多得”的良好效果,拓寬并加強數學思維和數學能力等,舉一反三,觸類旁通.