開(kāi)闊思路,尋求多解
——2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第20題的探究與變式演練

? 海南省文昌中學(xué) 楊昌平 林 云

立體幾何的綜合題主要分為兩類(lèi):一類(lèi)是空間線(xiàn)面關(guān)系的判定和推理論證.高考中對(duì)該部分內(nèi)容的考查主要是證明平行(線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行)和垂直(線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直),求解這類(lèi)問(wèn)題的思路是,依據(jù)線(xiàn)面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證.另一類(lèi)是空間幾何量(角、距離)的計(jì)算.求解這類(lèi)問(wèn)題的思路有兩種:一是依據(jù)公理和定理以及性質(zhì)等經(jīng)過(guò)推理論證,作出所求幾何量,并求之;二是建立空間直角坐標(biāo)系,借助點(diǎn)的坐標(biāo)求出平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量,利用向量的方法結(jié)合相關(guān)公式求解[1].

1 真題再現(xiàn)

(2022年新高考Ⅱ卷第20題)如圖1所示,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點(diǎn).

圖1

(1)求證:OE∥平面PAC;

(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

2 解法探究

思路:第(1)問(wèn)考查線(xiàn)面平行問(wèn)題的證明,可用“線(xiàn)線(xiàn)平行→線(xiàn)面平行”或“面面平行→線(xiàn)面平行”多種思路,用定義法、判定定理法、向量法來(lái)證明.第(2)問(wèn)考查空間幾何量(二面角)的計(jì)算問(wèn)題,可嘗試用幾何法、坐標(biāo)法、射影面積法等多種方法來(lái)解決.例如解法1,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出二面角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求正弦值;解法2采用了“幾何法”,將求二面角正弦值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.

(1)證法1：如圖2,連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D,連接OA,PD.

圖2

∵PO⊥平面ABC,

AO,BO?平面ABC,

∴PO⊥AO,PO⊥BO.

又PA=PB,

∴Rt△POA≌Rt△△POB.

∴OA=OB.

∴∠OAB=∠OBA.

∵AB⊥AC,

∴∠OAB+∠OAD=90°.

又∠OBA+∠ODA=90°,

∴∠ODA=∠OAD.

∴AO=DO.

∴AO=DO=OB.

∴O為BD的中點(diǎn).

又E為PB的中點(diǎn),

∴OE∥PD.

又OE?平面PAC,PD?平面PAC,

∴OE∥平面PAC.

證法2：如圖3,取AB的中點(diǎn)M,連接OA,OB,OM,EM.由PA=PB,PO⊥平面ABC,得OA=OB.又M是AB的中點(diǎn),所以O(shè)M⊥AB.又AC⊥AB,所以O(shè)M∥AC.

圖3

∵OM?平面PAC,AC?平面PAC,

∴OM∥平面PAC.

又M,E分別是AB,PB的中點(diǎn),

∴EM∥PA.

同理可得EM∥平面PAC.

∵EM?平面EMO,OM?平面EMO,EM∩OM=M,

∴平面EMO∥平面PAC.

∵OE?平面EMO,

∴OE∥平面PAC.

(2)解法1：以過(guò)點(diǎn)A與OP平行的直線(xiàn)為z軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖4的空間直角坐標(biāo)系.

圖4

圖5

方法總結(jié):第(1)問(wèn)的證法1采用了由“線(xiàn)線(xiàn)平→線(xiàn)面平行”的思路,以作“中位線(xiàn)”為突破口;證法2采用了由“面面平行→線(xiàn)面平行”的思路,從“取AB的中點(diǎn)M”入手.第(2)問(wèn)的解法1采用了“坐標(biāo)法”,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的方法來(lái)求解,避免了繁瑣的推理論證,顯得非常簡(jiǎn)捷;解法2采用了“幾何法”,從求三棱錐的高入手,轉(zhuǎn)化為求三角形一邊的高,最后由高之比求出二面角的正弦值.

3 變式演練:與棱錐有關(guān)的綜合題拓展

圖6

(1)求證:平面PCD⊥平面PAC;

(2)求直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的大小;

(3)求四棱錐P-ACDE的體積.

分析：(1)從△ABC入手,根據(jù)余弦定理先推證出“線(xiàn)線(xiàn)垂直”,最后證得“面面垂直”;(2)通過(guò)添加輔助線(xiàn)將其轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題,也可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解;(3)先求出底面四邊形的面積,然后運(yùn)用棱錐體積公式求解.

∵PA⊥平面ABCDE,AB?平面ABCDE,

∴PA⊥AB.

∵PA∩AC=A,

∴AB⊥平面PAC.

∵AB∥CD,

∴CD⊥平面PAC.

又CD?平面PCD,

∴平面PCD⊥平面PAC.

(2)解法1：由(1)知,平面PCD⊥平面PAC,因此在平面PAC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H,則AH⊥平面PCD.又因?yàn)锳B∥CD,AB?平面PCD,CD?平面PCD,所以AB∥平面PCD.

因此直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的大小為30°.

圖7

縱觀近年來(lái)湖北省的高考數(shù)學(xué)試題(新高考Ⅱ卷),關(guān)于立體幾何的綜合類(lèi)問(wèn)題已成為每年的必考題型,例如,2020年第20題,2021年第19題,2022年第20題.這些高考真題與我們平時(shí)接觸到的課本習(xí)題(或復(fù)習(xí)資料)“形似”或“神似”,大都具有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.因此,只要認(rèn)真研究高考真題,在平時(shí)的備考中加強(qiáng)變式、拓展類(lèi)訓(xùn)練,積極探索,不斷開(kāi)闊解題思路,尋求一題多解的實(shí)用方法技巧,就一定能夠在考場(chǎng)上輕松應(yīng)對(duì)立體幾何類(lèi)解答題.