刪繁就簡三秋樹,領(lǐng)異標(biāo)新二月花
——2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷評析

? 浙江省杭州市第七中學(xué) 王浩宇

1 綜述

2023年教學(xué)新高考Ⅰ卷嚴(yán)格依據(jù)高中課程和高中課程評價體系,深化基礎(chǔ)性和綜合性,注重數(shù)學(xué)運算[1].試題簡潔明了,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美,考查基礎(chǔ)知識的同時重視學(xué)生關(guān)鍵能力的探求,傳承經(jīng)典的同時又體現(xiàn)了對考生的人文關(guān)懷,開拓創(chuàng)新,服務(wù)于高校人才選拔.

2 整體試卷評析

2.1 難度適中,梯度設(shè)置合理

今年新高考Ⅰ卷整體難度與去年基本持平,試題著力于通性通法和綜合能力的考查.具體考點分布情況如表1:

2023年新高考Ⅰ卷試題難度分布情況如圖1:

圖1

試卷簡單題共60分,體現(xiàn)新高考Ⅰ卷植根教材、重視基礎(chǔ)、啟發(fā)課堂德育的理念.對比去年試題,選擇題難度略降,填空題難度相當(dāng);中等難度題有一定計算量,需要綜合運用所學(xué)知識求解;層次高的難題,大約占29分,試題重視思維的創(chuàng)新和學(xué)生的綜合能力,考查邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

2.2 層次分明,突出重點內(nèi)容

2023年新高考Ⅰ卷在多方面體現(xiàn)重點內(nèi)容重點考,具體內(nèi)容如圖2所示:

圖2

相比浙江卷,新高考Ⅰ卷增加了多選題,豐富題目類型的同時注重知識點的覆蓋,突出主干知識.其中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、概率、立體幾何、圓錐曲線考題較多,集合、復(fù)數(shù)、直線與圓、平面向量更多體現(xiàn)工具性.同時,今年客觀題難度整體降低,中低檔試題數(shù)量增加,旨在減少學(xué)生“放題”的情況.

2.3 反對套路,注重全面發(fā)展

新高考Ⅰ卷未劃定試卷結(jié)構(gòu),例如今年導(dǎo)數(shù)位于第三題.解答題從第二小題開始,每題均能多解,這是新高考在引導(dǎo)學(xué)生做“六邊形戰(zhàn)士”.以解三角形為例,今年考查求三角形的高,相比去年考查正弦定理、余弦定理與兩角和差的正余弦公式,三角形高的求解更能展現(xiàn)學(xué)生對三角形本質(zhì)的理解,體現(xiàn)了新高考的反套路.

新高考還在選擇題中反套路,每年選擇題答案中ABCD數(shù)量都不同,加大了考生猜題的難度.

2.4 追根溯源,回歸書本題源

2023年新高考Ⅰ卷選擇題起點較低,許多題目源自書本.雖然試題來源于課本,但又高于課本,簡單的題目中也有“繞彎”的內(nèi)容.具體內(nèi)容如表2:

表2 新高考Ⅰ卷中以書本為題源的考題

例如試卷第7題,以選擇性必修二人教A版課后習(xí)題第7題第一小題為題源,借助充分條件與必要條件的工具性,考查學(xué)生對數(shù)列定性分析的掌握情況,以概念、定理、試題為命題的起點,注重“四基”的考查.2021年全國甲卷第7題也屬于類似題目.上述題目讓學(xué)生感悟定性分析的同時培育了邏輯推理的數(shù)學(xué)能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的育人價值.

2.5 簡潔明了,彰顯數(shù)學(xué)之美

希爾伯特在《數(shù)學(xué)問題》中曾說過:“一個數(shù)學(xué)理論,只有當(dāng)你能把它向你在街上遇到的第一人闡述得很清楚時,它才算完整.”新高考Ⅰ卷在各個方面均體現(xiàn)了簡潔美.具體內(nèi)容如圖3:

圖3

2.6 綜合交匯,摒棄題海戰(zhàn)術(shù)

2023年新高考Ⅰ卷有較多“多知識綜合考查”的題目,側(cè)重在知識交匯點上命題.具體內(nèi)容如表3:

表3 多知識點綜合考查題目匯總

此類題目共計32分,說明依賴題海在高考中并不是有效的.知識的綜合讓題目思維量更大,考查學(xué)生是否真正掌握了相關(guān)概念.

3 部分經(jīng)典題型與創(chuàng)新題型評析

3.1 講究算理,計算需謹(jǐn)慎

運算是高考重點考查內(nèi)容之一,主要分為運算規(guī)則、運算律、運算方法的考查.

第10題屬于應(yīng)用題,主要考查學(xué)生對對數(shù)和不等式運算性質(zhì)的熟練程度.

表4

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則( ).

A.p1≥p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.p1≤100p2

評析：本題以時事熱點新能源汽車為背景,設(shè)置科學(xué)研究情境,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活性.此類問題求解時要牢牢抓住中間量,將其余變量用中間量來表示.相比前幾年的比大小試題,結(jié)合實際情境更能培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力和數(shù)學(xué)算理.

(2023年新高考Ⅰ卷·11)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( ).

A.f(0)=0 B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.x=0為f(x)的極小值點

評析：掌握運算規(guī)則可以拓寬解題思路.以第11題抽象函數(shù)為例,基本策略是根據(jù)抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)求解.基于g(xy)=g(x)+g(y)中乘法變加法的運算規(guī)則,以對數(shù)函數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)造函數(shù)求解.常見的運算規(guī)則還有指數(shù)冪運算規(guī)則、三角函數(shù)運算規(guī)則等.

評析：合適的運算方法可以讓解題思路更清晰.例如數(shù)列第二小題以常規(guī)方法求解對思維含量要求較高,若以b1,b2,b3間的關(guān)系求解能最快得出結(jié)果,體現(xiàn)運算方法選擇的重要性.

歷年高考計算都是重中之重,以考促教,為教師教學(xué)提供方向.此題對深諳算理的考生不成問題,但對不夠細(xì)心認(rèn)真的學(xué)生則是一個“暗點”,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).如果學(xué)生心理素質(zhì)較好,能夠合理選擇算法此題甚至能成為簡單題,這也說明平時培養(yǎng)學(xué)生算理的重要性[2].

3.2 結(jié)合模型,初判對與錯

(2023年新高考Ⅰ卷·12)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( ).

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱

D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體

評析：立體幾何的接切問題一般考查外接球和內(nèi)切球,但本題考查正方體的接切問題,四個選項難度逐漸增加,分別考查球、正四面體、圓柱三種空間幾何體,考查范圍更廣,更能表現(xiàn)考生思維的靈活性與創(chuàng)造性.

此類題目解題步驟為:套用已知模型→比較已知模型與選項差異→極限法求解問題.解題時,需要學(xué)生充分發(fā)揮空間想象能力.基于此,在教學(xué)過程中,教師可以結(jié)合書本和課標(biāo)中的立體幾何模型授課,幫助學(xué)生熟悉常見模型的同時培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力.

3.3 閱讀分析,課外需拓展

(2023年新高考Ⅰ卷·21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

評析：第21題第(1)問以選擇性必修三(人教A版)7.1.2中的思考題為題源,考查全概率公式,求解時需要仔細(xì)讀題,分清主從關(guān)系,借助對應(yīng)模型求解.第(2)(3)問則以選擇性必修三課后復(fù)習(xí)參考題第10題(第91頁)為題源,考查學(xué)生對概率與數(shù)列的掌握情況與獲取信息的能力,把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型.以前應(yīng)用類考題以函數(shù)與方程為主,本題則以馬爾科夫鏈為背景,取材于學(xué)生熟悉的情境,考查學(xué)生多知識綜合運用的能力,為大學(xué)學(xué)習(xí)做鋪墊,發(fā)揮高考的選拔功能.相比傳統(tǒng)的概率考題卡方檢驗、線性回歸等,基于統(tǒng)計模型的試題更為靈活.相關(guān)模型還有決策樹、樸素貝葉斯、邏輯回歸、線性回歸等,可以作為出題的參考內(nèi)容.此類題目在2019年全國乙卷中也曾出現(xiàn)過.

3.4 模式改變,不變應(yīng)萬變

(1)求W的方程;

評析：與前幾年導(dǎo)數(shù)壓軸題不同,今年的壓軸題是解析幾何,題目由易到難,第(1)小題入口較寬,根據(jù)題意列式求解即可.但學(xué)生面對壓軸題時,常常會產(chǎn)生畏懼心理,導(dǎo)致失分.這需要教師在平時多鼓勵學(xué)生勤于思考、勇于探索,不能看到壓軸題就畏難、放棄,體現(xiàn)了命題人的良苦用心和數(shù)學(xué)的育人價值觀.

解析幾何大題對廣大考生來說是一個挑戰(zhàn),要求學(xué)生對通性通法能熟練應(yīng)用的同時,還需思維靈活、注重算理,屬于層次較高的難題.因此在復(fù)習(xí)中要引導(dǎo)學(xué)生合理猜想,結(jié)合算理發(fā)掘關(guān)鍵點,突破關(guān)鍵,計算到底,從而提升數(shù)學(xué)綜合能力與核心素養(yǎng),盡力做到難題多拿分,簡單題不失分.

4 總結(jié):靈活考查,復(fù)習(xí)需要方向.

2023年新高考Ⅰ卷為后續(xù)高考提供了復(fù)習(xí)方向與教學(xué)思路,雖然每年考題難度、位置分布不同,但作為浙江參與新高考的第一年,題型改變?nèi)杂幸欢ㄒ?guī)律,以下(表5)是2021年-2023年新高考Ⅰ卷考查的知識點位置分布情況.

表5

歷年高考試卷中有變與不變兩部分.其中,①函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、圓錐曲線、概率與排列每年均有大量題目,難度跨度較大;②平面向量、直線與圓、解三角形、數(shù)列部分題號雖有變動,但難度適中,題量僅有1到2題;③集合與復(fù)數(shù)等基礎(chǔ)考點的題號、難度3年內(nèi)均未改動;④函數(shù)、向量、幾何、統(tǒng)計、概率、數(shù)列、不等式仍是高考的重點與難點.解題時,考生需要把握常用邏輯用語、集合、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的工具性,多角度思考問題.

新高考Ⅰ卷另一特點是中檔題多,這為高考復(fù)習(xí)提供了方向:普通考生需注意在集合、復(fù)數(shù)、平面向量等簡單題上不丟分,在直線與圓、三角函數(shù)、解三角形、立體幾何、數(shù)列等中檔題上多拿分.想拿高分的考生也需注意,雖然考查的知識難度年年發(fā)生變化,但不存在遺漏的考點,這是高考在傳達(dá)“不放棄任意一個知識點”的觀念.

對比2021年-2023年新高考試題發(fā)現(xiàn):數(shù)列大題在2021年難度較大,但2022和2023年處于中檔難度.2023年三角函數(shù)大題的難度有一定提高,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的難度有所降低.近幾年新高考小題中都出現(xiàn)了與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的題目,旨在打破傳統(tǒng)印象中導(dǎo)數(shù)均是難題的觀念,立足計算,考查導(dǎo)數(shù)的工具性,后續(xù)是否繼續(xù)降低難度仍需觀察.另外,每年新高考都在應(yīng)用題中進(jìn)行創(chuàng)新,其中2023年新高考Ⅰ卷應(yīng)用題具體內(nèi)容如表6所示.

表6

在命題原則上,新高考Ⅰ卷注重以下三點:

(1)跳出框架.新高考并不存在固定題型,規(guī)避題型模式化和解題模式化,但也提供了復(fù)習(xí)的方向和策略.在此對2024年新高考壓軸題進(jìn)行預(yù)測:能作為壓軸題出現(xiàn)的往往有數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何,新高考以數(shù)列壓軸的可能性較低,2023年是圓錐曲線壓軸,故考慮2024年有可能回歸導(dǎo)數(shù)壓軸,考法可能會參照2023年,結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的重要結(jié)論呈現(xiàn)問題會更簡潔.

(2)注重計算.新高考題目計算量很大,故需要注重算理,掌握算法,計算到底.

(3)注重應(yīng)用.新高考題目往往結(jié)合其他知識或加入實際情境,對基礎(chǔ)知識進(jìn)行深化,將題目改編成需要“繞彎”的難題.考試時,雖然題目給學(xué)生似曾相識的感覺,但拿滿分往往較困難.

綜合命題原則與新高考試題特點,總結(jié)出以下三點教學(xué)啟發(fā):

(1)基于課標(biāo),牢固掌握知識

課標(biāo)是出題的依據(jù),教學(xué)時基于課標(biāo)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生完全掌握相關(guān)概念,回歸課本,講解通性通法,減少“二級結(jié)論”.

(2)側(cè)重算理,掌握做題技巧

新高考Ⅰ卷的計算量較大,因為計算失分較為可惜,因此,平時要讓學(xué)生自己動手運算,合理簡化運算,減少運算量,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力,同時培養(yǎng)學(xué)生運用排除法、特殊值法等運算技巧解題的能力,提高做題效率.

(3)綜合應(yīng)用,參考課標(biāo)實踐活動

新高考Ⅰ卷的難題會綜合考查多種知識點,在平時教學(xué)過程中,可以通過實踐活動幫助學(xué)生完成知識的整合,避免知識的碎片化.