知根溯源 守通求妙 思變拓展
——倡導解題研究,促進深度學習

? 青海師范大學 蔡依涔

深度學習是機器學習的一種,是一個源于人工神經網絡的研究的基本概念,更是實現人工智能的必經路徑.而在數學教學與學習過程中,學生主要通過數學的概念、公式、公理、定理以及性質等的學習,結合解題研究,從數學知識的淺顯理解走向深刻掌握,發展核心素養,這其實也是一個數學深度學習的過程,是數學教學與解題研究應追求的一種理想狀態.

1 知根溯源

知根溯源,回歸數學問題的本質與根源,挖掘數學問題的題意內涵與本源,不停留在解題的表層,有機聯系相應的數學基本知識點、數學思想方法等,串聯起知識體系,才能達到促進深度學習、提升數學解題能力的目的.

例1已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在y軸上,F1,F2為C的兩個焦點,C的短軸長為4,且C上存在一點P,使得|PF1|=6|PF2|,試寫出橢圓C的一個標準方程______.

分析：此題以橢圓已知焦點所在軸以及短軸長,結合橢圓上的點到兩焦點之間的距離的比例關系來創設條件,以舉例開放題的形式進行創新,本質是橢圓離心率的取值范圍問題.追根溯源,以上問題應該是由如下試題通過改編而來的,也是此類問題最本質、最基礎的設問方式與題型.

其實,在解決一些數學問題時,題目條件的展示方式只是“項莊舞劍”,表現各異,而所涉及的內涵實質才是我們所要求解的目的,才是我們所探求的本源,也是分析問題的結果以及探求問題的目的所在.“意在沛公”是我們解答問題的追求方向,更是促進深度學習的根本所在.

而這里的知根溯源,合理挖掘問題的本質,探求問題的本源,其實就是對問題的深入探究與發散研究,更是學生深度學習中最為重要的一個基本特征.這里的深度學習是從問題的本源入手,探尋問題的本質與內涵.

2 守通求妙

在解題研究中,掌握相應數學問題求解的“通性通法”,真正掌握數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等,守住解題“底線”;而合理探索對應數學問題的外延,探尋“巧技妙解”,拓展思維,探尋問題的簡捷快速的求解方法,是數學基本知識、數學思想方法的進一步提升與綜合,能更加有效促進深度學習.

分析：根據題目條件,利用等比數列中的基本量計算——首項a1與公比q,通過兩個條件構建兩個關系式,利用方程組的求解或等式的變形轉化來實現解題的目的.這也是求解此類數列問題的“通性通法”.

點評：數列中的基本量計算法,是解決數列問題最常見的“通性通法”,只是有時運算量大,運算技巧性強,變形復雜難處理,都是難點所在.而抓住數列的基本性質,借助數列性質來轉化,是解決數列問題中的“巧技妙解”.

巧妙解法：數列性質法.

故選:A.

其實,利用數列基本性質的“巧技妙解”來處理,更加簡單快捷,減少運算量,提升解題效益,提高解題速度,在原有“通性通法”的基礎上實現“質”的突破,達到巧算、妙算的目的.

而這里的守通求妙,是基于問題解決基礎上的思維發散與思維深入,更加突出學生的深度學習.這往往也是學生深度學習過程中一種非常有效的基本技巧與策略.這里的深度學習是優化學習過程中非常有效的一種方式.

“守通”是為了“保守”,堅守底線;“求妙”是為了“優化”,提升效益.“求妙”是在“守通”的基礎上的深入剖析與靈活應用.只有充分理解與掌握問題的“通性通法”后,并合理構建數學知識體系與數學思想、能力等的基礎上,才能充分挖掘問題的本質屬性,開拓思維,尋求“巧技妙解”,探尋數學的奧妙所在,真正促進深度學習.

3 思變拓展

在解題研究中,思變拓展是在解決問題基礎上的再學習,符合深度學習的范疇.解題不能只停留在“刷題”的基本層面,可以從問題的不同條件角度、問題條件的不同給出方式等一些相關的視角加以合理探究,變式處理,進一步理解與掌握對應的數學基礎知識,鞏固解決對應問題的技巧與方法,全面提升數學能力.

分析：涉及雙變量的代數式的最值問題,可結合題目條件與特征,從眾多的思維視角來切入.可以通過換元思維(單變量換元或雙變量換元),利用解二次不等式來達到目的;可以通過配湊思維,利用基本不等式來達到目的;等等.

點評：其實,求解以上問題的思維方法有很多種,不同思維視角都可以達到求解的目的,而進一步思變拓展,又可得以更高、更遠的提升.下面嘗試給出幾種或簡單或復雜的思變與拓展問題.

這里的思變拓展,是進行深度學習非常有效的一種技巧,也是脫離題海戰術、挖掘問題本源中非常有效的一種學習方式.這里的深度學習是發散思維、開拓品質、提升能力等方面非常有用的一種嘗試.

思變是在理解與掌握相關問題或事物的基礎上,通過問題的進一步探究與變式拓展,結合思維的多角度、多層面發散與提升,達到“一題多解”“一題多變”“一題多得”“多題一解”等目的,從而不斷深化思維,全面提升數學思維品質與數學各方面的能力,促進深度學習.

在數學解題研究中,學生通過深度學習,全面完善相關數學知識體系,形成良好的認知結構,正確分析題意,挖掘問題本源,在此基礎上加以合理處理與求解,并進一步合理變式與拓展,促進深度學習,從而實現數學學習從“知道”到“學會”,從“學會”到“會學”,形成數學能力,養成終身學習習慣,提升數學品質,發展核心素養.