單元復習學案,創新主題設計
——基于復數的復習提升課

? 江蘇省常熟市海虞高級中學 許文杰

在“新教材、新課標、新高考”的“三新”背景下,復數的單元復習教學設計,可以基于學案形式,借助創新主題設計,側重于“四基”層面,合理創設知識網絡與體系,掌握復數概念的基礎性,凸顯復數運算公式的應用性,拓展數學思維的靈活性,有效進行單元復習學案教學設計與安排.

復數的復習提升課,針對這一單元進行合理的復習學案設計,構造一個創新完美的形式.具體單元復習學案設計分為以下五個部分:知識網絡、知識要點、主題串講、創新設計與熱點強化.

1 知識網絡

借助復數的知識網絡構建,形成完善的知識體系,合理“織網”,有效針對“把脈”,形成知識“貫通”.其具體的知識網絡如圖1所示:

圖1

2 知識要點

梳理復數的知識要點,進行必要的易錯提醒,從而建立知識“要點”,梳理概念“細節”,全面糾正“錯誤”.

2.1 概念速記

(1)復數的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數,其中a,b分別是它的實部和虛部.若b=0,則a+bi為實數;若b≠0,則a+bi為虛數;若a=0且b≠0,則a+bi為純虛數.

(2)復數相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).

(3)共軛復數:a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).

(5)復數的運算:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則

①加法:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;

②減法:z1-z2=(a-c)+(b-d)i;

③乘法:z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;

2.2 易誤辨析

z2<0在復數范圍內有可能成立,例如,當z=3i時,z2=-9<0.

3 主題串講

借助主題串講和典例剖析,“精研”單元知識,借助實例剖析“悟道”,形成知識能力“突破”.

3.1 復數的有關概念

(2)已知復數z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2為純虛數,則a=______.

復數的基本概念是考查的基本點,特別是一些容易混淆的概念,如復數的實部與虛部、純虛數等概念,具體考查時往往結合復數的四則運算并綜合基本概念來交匯與融合,加以合理綜合與應用.

3.2 復數的四則運算

分析：通過復數的運算場景,以復數代數形式的四則運算為主,涉及復數的概念、模、幾何意義等各個方面的知識點,借助關系式的特征與性質、公式、結論、復數的幾何意義以及相應的數學思想方法等加以合理優化與巧妙應用.(答案:(1)4;(2)1+i.)

有關復數的四則運算問題,關鍵是抓住復數的加、減、乘、除、乘方等代數形式的運算法則,以基本運算法則與常規計算為主,有時還會借助一些復數的運算技巧來綜合分析與處理.

3.3 復數的幾何意義

例3(1)已知等腰梯形OABC的頂點A,B在復平面上對應的復數分別為1+2i,-2+6i,OA∥CB,求頂點C所對應的復數z.(z=-5)

分析：通過復數的幾何意義應用的一些常見場景實例,結合概念、四則運算、綜合問題以及創新問題等方面,剖析復數幾何意義應用的基本類型與部分的內涵實質,合理交匯,巧妙融合.

復數的幾何意義是復數自身的延伸與拓展,也是“數”“形”結合的很好例證,是復數中的“數”與幾何中的“形”之間的橋梁.巧妙應用復數的幾何意義,利用復數幾何意義的“形”的意識,結合復數的基本概念、四則運算等,優化數學運算,提升解題效益.

4 創新設計

借助復數知識的特色加以合理創新設計,融入新教材中新增加的復數公式知識與復數的數學文化場景等.

4.1 三元方程根與系數的關系

例4(多選題)已知函數f(x)=x(x-3)2,f(a)=f(b)=f(c),其中a

A.1

B.a+b+c=6

C.a+b>2

D.abc的取值范圍是(0,4)

分析：根據題設條件,利用導數求出函數的單調區間和極值,結合函數的大致圖象確定f(x)-t=0的三個根的取值范圍,利用三次方程根與系數的關系加以綜合與應用,進而判定與之相應的綜合應用問題.

基于人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數學》(必修第二冊)第七章“復數”第81頁閱讀與思考——代數基本定理,設實系數一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)在復數集C內的根為x1,x2,x3,則有

其是二次方程韋達定理的深入與拓展,也為高考命題與競賽命題提供了更多的場景與應用.

4.2 復數的數學文化

例5歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數聯系在一起,充分體現了數學的和諧美.已知實數指數冪的運算性質同樣也適用于復數指數冪,則ii=( ).(B)

分析：基于數學文化應用場景,根據題設中的歐拉公式加以轉化,先確定i的三角形式表達式,進而通過復數指數冪運算,利用與實數指數冪同樣的運算性質來合理變形與轉化,實現問題的巧妙轉化與解決.

對于復數單元,由于復數自身的知識結構特點以及數學文化背景,此部分的試題經常與數學文化巧妙融合,以創新情境來合理設置,成為高考命題中一道融基本特色的風景線.

5 熱點強化

借助復數的基本考點類型,結合典型練習進行“演練”,有針對性地強化基礎知識與基本能力,達到強基、培優的目的.

這里以對應的練習加以合理配套,結合具體課堂場景以及學生情況合理安排.

具體練習略,一般以6到8題為適量.