立足經驗生長 輔以技術支持
——GeoGebra環境下“離心率與漸近線”的教學

? 浙江省諸暨市濱江初中 石雨卓

對于圓錐曲線的教學,人教A版教科書類比初等函數,“同構”研究方法、內容和過程,形成如圖1所示的研究流程.

圖1 圓錐曲線研究流程

教科書的這一設計兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”,讓學生明確學習方向,同時搭建了新舊知識間的聯系,使學生在學習過程中形成數學研究思路,提煉基本活動經驗.

1 問題提出

在幾何性質的研究中,教科書采用“先通過幾何直觀感知圖形,后通過坐標代數驗證性質”的思路展開.由于較難精準畫出圓錐曲線的圖形,教科書多次采用GeoGebra等信息技術進行探究式教學,但在實際教學中出現了以下問題:

(2)在研究雙曲線的幾何性質時,學生基于橢圓的研究經驗,提出雙曲線范圍、對稱性、定點和離心率的研究內容和思路,并未聯想到漸近線;

因此,為了使學生成為課堂真正的“主角”,基本活動經驗得以自然生長,筆者對于橢圓與雙曲線的離心率以及雙曲線的漸近線教學作出如圖2的設計:

圖2 橢圓的離心率、雙曲線的離心率與漸近線教學流程

2 橢圓的“離心率”教學

例1請根據所學知識,畫出下列曲線方程所表示的大致圖形,并找出它們之間的區別與聯系.

生:如圖3,兩個橢圓的長軸長一樣,短軸長不一樣,橢圓C2比橢圓C1更扁.

圖3

思考1：橢圓的形狀大小與橢圓的哪些量有關?如何設計實驗?

生:橢圓的形狀和大小與橢圓長軸長2a以及短軸長2b有關.

圖4

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生:當m∈(0,25)時,圖形是焦點在x軸的橢圓,且隨著m的增大,橢圓的長軸不變,短軸變長,橢圓更圓;當m=25時,圖形是以原點為圓心,5為半徑的圓;當m∈(25,+∞)時,圖形為焦點在y軸的橢圓,且隨著m的增大,橢圓的短軸不變,長軸變長,橢圓更扁.

圖5

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生:隨著n的增大,橢圓的形狀不變.

思考3：如何在例1的圖形中找到橢圓的焦點?

生:對于橢圓C1,直接通過c2=a2-b2計算得到;而對于橢圓C2,則以橢圓上頂點B2為圓心,OA2為半徑作圓,與x軸的交點即為橢圓的焦點.如圖6.

圖6 例1中的橢圓及其焦點

思考4：發現兩個橢圓的焦距也不一樣,那么如何通過a與c的關系刻畫橢圓的扁平程度?

3 雙曲線的“離心率與漸近線”教學

生:研究雙曲線的范圍、頂點、對稱性和離心率.(此處,學生易得雙曲線相關性質,并證明.)

對于雙曲線的頂點,若令x=0,則y2=-b2,方程無實數解,即雙曲線與y軸沒有交點,但仍將B1(0,-b),B2(0,b)畫在坐標系中,類比橢圓得到一個相切矩形,雙曲線落在矩形外的左右兩側(如圖7).

圖7

生:保持a=1不變,控制b的大小,隨著b的增大,離心率e也隨之增大,如圖8.觀察雙曲線的形狀特征及變化.

雙曲線形狀演示

教學說明：在類比橢圓進行雙曲線幾何性質的研究時,學生自然想到了對雙曲線的范圍、頂點、對稱性和離心率.為了讓學生更好地觀察雙曲線“漸近線”的特征,筆者仍以類比的方法,引入相切矩形,使學生自然觀察到“漸近線”,理解橢圓與雙曲線之間的“共性”與“個性”.

4 教學反思

4.1 立足經驗生長

4.2 輔以技術支持

“工欲善其事,必先利其器”,在探究活動中合理使用GeoGebra進行動態實驗,不僅可以使原本枯燥乏味的數學知識變得更加生動形象,更能促進學生養成動手操作、觀察猜想、歸納驗證、辨析修正的學習習慣.因此,筆者在探究圓錐曲線的幾何性質中通過GeoGebra的動態實驗,將原本枯燥單調的圓錐曲線變得活潑生動且富有表達力,拉進了學生與解析幾何的距離.同時,筆者也注重學生的主體地位和技術的輔助角色,讓學生自主設計動態實驗,使GeoGebra成為學生探究數學知識的有力工具,從而更好地理解圓錐曲線的幾何性質,深入本質,促進數學思維品質的發展,以便更好地面對時代競爭.