重視概念教學 提升核心素養
——以“傾斜角和斜率”為例

? 安徽省宿州市第二中學 杜文偉

本節主要是結合問題導向,讓學生探索在平面直角坐標系中確定一條直線位置的幾何要素,從而得到直線的傾斜角、斜率的概念及斜率公式等,讓學生經歷用幾何和代數的不同思想在平面直角坐標系中定量刻畫一條直線位置的過程,感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想.

1 教學分析[1]

1.1 教材分析

本節是平面解析幾何的起始課,將采用坐標法研究平面幾何圖形問題.直線的傾斜角和斜率是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示,是學習平面解析幾何的基礎.在直線與直線,直線與圓、橢圓、雙曲線和拋物線的位置關系以及其他相關綜合問題的解決上,直線的斜率都會起到非常重要的作用.通過本節的學習,學生能夠體會平面解析幾何中蘊含的數學思想,進而能夠提升數學核心素養.

1.2 教學目標

1.2.1 知識與能力目標

(1)理解與掌握直線的傾斜角和斜率的概念,掌握直線斜率的計算公式,理解直線的方向向量與斜率的關系;

(2)培養數學抽象思維、問題探究等基本的數學思維能力;

(3)能夠利用數學知識解決簡單的實際問題;

(4)通過知識學習,體會分析與解決問題的數學思想和方法.

1.2.2 學科素養目標

(1)經歷從數量關系和圖形關系中抽象出直線斜率概念的過程,提升數學抽象核心素養;

(2)利用圖形描述,建立傾斜角和斜率即數與形的關系,提升直觀想象核心素養;

(3)通過依據三角函數運算法則求得運算結果,提升數學運算核心素養.

1.2.3 情感態度價值觀目標

(1)通過數學學習活動,體會數學的特點,培養數學的思維品質;

(2)培養獨立思考、合作交流、嚴謹求實的科學態度和對知識探究的理性精神.

1.3 教學重難點

教學重點:直線的傾斜角和斜率的概念、斜率公式.

教學難點:直線的斜率和傾斜角之間的關系.

2 教學過程

探究1：確定直線位置的幾何要素(點和方向).

問題1一次函數與直線是否一一對應?

學生:一次函數的圖象都是直線,反之不一定,故一次函數與直線不是一一對應.

問題2對于平面直角坐標系中的一條直線l,按照教材中定義的直線的方向,如何利用平面直角坐標系確定它的位置?

觀察圖1,你能說出這些直線的區別嗎?

圖1

學生甲:這些直線相對于x軸的傾斜程度不同.

學生乙:這些直線與x軸所成的角不同.

追問:如何用直線與x軸所成的角來表示這些直線的方向或傾斜程度呢?

學生:需要定義直線與x軸所成的角.

教師:很好,下面我們進入下一個探究.

設計意圖：通過問題導向,引入直線的傾斜角這一重要概念,培養通過圖形關系抽象數學概念的數學抽象核心素養.

探究2：利用直線的傾斜角定量刻畫直線的方向.

教師:直線傾斜角的概念(略).

學生小組合作學習1:

根據教材中定義的直線l的傾斜角的概念,我們知道直線l的傾斜角α的取值范圍為00≤α<180°,那么如何理解直線的傾斜角呢?

學生探究,教師總結:

(1)直線的傾斜角可以定量刻畫平面直角坐標系中一條直線的傾斜程度,是從“形”的角度定量刻畫直線相對于x軸正向的傾斜程度;

(2)從運動變化的觀點看,當直線與x軸相交時,直線的傾斜角可以理解為由x軸繞著直線與x軸的交點按逆時針方向旋轉到與直線重合時所旋轉的最小正角.

設計意圖：使學生理解在平面直角坐標系中確定直線位置的幾何要素是直線上的一個點和傾斜角,從而借助圖形培養學生直觀想象核心素養.

追問:你能在表1中準確畫出下列直線嗎?

表1

例1(1)圖2中直線l的傾斜角為______.

圖2

(2)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角,則此直線的傾斜角為______.

問題導向:通過以上學習,我們可以理解直線的傾斜角是從“形”的角度量化直線相對于x軸正向的傾斜程度,那么是否也可以從“數”的角度來量化直線的傾斜程度呢?

探究3：用直線的斜率量化直線的傾斜程度.

問題3直線l的傾斜角α與直線l上P1,P2兩點的坐標有什么關系?

學生小組合作學習2:

在平面直角坐標系中,設直線l的傾斜角為α,分別討論當直線l滿足下列情況時,直線l的傾斜角α與此直線上兩點坐標的關系:

(3)已知直線l經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2).

問題4當直線P1P2與x軸平行或重合時,上述式子還成立嗎?

引入斜率的定義:我們把直線l的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,即斜率k=tanα(α≠90°).

學生小組合作學習3:

通過上述探究我們知道,當直線l的傾斜角α不為90°時,其斜率是一個實數,如何理解其斜率呢?

(1)可以用斜率這一實數量化傾斜角不是90°的直線相對于x軸正向的傾斜程度;

(2)直線的傾斜角和斜率都是刻畫直線相對于x軸正向的傾斜程度的,傾斜角側重于從幾何角度而斜率側重于從代數角度刻畫.

思考:為什么用傾斜角α的正切值定義直線的斜率,而不是用傾斜角α的正弦值或余弦值呢?

學生討論,教師總結:

(1)在后面直線方程的學習中,直線方程中x,y的系數反映了直線傾斜角的正切值;

學生小組合作學習4:

問題5直線l的傾斜角α與其斜率的變化關系.

圖3 用幾何畫板動態演示傾斜角與斜率的變化關系

設計意圖：使學生理解直線的傾斜角和斜率分別是從“形”和“數”兩個角度刻畫直線相對于x軸的傾斜程度,同時體會數學中“數”與“形”的完美統一,能真正理解并掌握直線傾斜角和斜率的辯證統一,培養思維品質和理性精神,樹立正確的價值觀.

例2(1)已知O(O為平面直角坐標系的坐標原點)是等腰直角三角形OAB的直角頂點,點A在第一象限,∠AOy=15°,則斜邊AB所在直線的斜率為______.

問題導向:我們知道兩點確定一條直線,如果已知直線上兩點的坐標,那么這條直線的傾斜角就唯一確定,若直線l的傾斜角不為90°時,其斜率唯一確定.那么,直線的斜率和此直線上兩點的坐標有什么關系呢?

探究4：用直線上任意兩點的坐標表示斜率.

若直線l的傾斜角為α,且直線l經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,則

①

k=tanα(α≠90°).

②

學生小組合作學習5:

(1)已知直線上的兩點A(a1,a2),B(b1,b2),運用上述公式計算直線AB的斜率時,與A,B兩點的順序有關嗎?

(2)當直線平行于y軸或與y軸重合時,上述公式還適用嗎?為什么?

設計意圖：提醒學生在研究直線斜率問題時,要根據題意分析是否需要討論斜率存在與不存在兩種情況,培養學生分類討論和數形結合的數學思想,以及數學運算核心素養.

例3(1)已知三點A(3,1),B(-2,t),C(8,1)能構成三角形,則實數t的取值范圍是______.

探究5：建立直線的方向向量與斜率的關系.

學生自主探究,教師總結:

(1)若直線l的斜率不存在,即直線與x軸垂直時,則它的一個方向向量的坐標為(0,t)(t≠0);

(2)若直線l的斜率為k,則它的一個方向向量的坐標為(1,k).

以上即建立了直線的方向向量與斜率的關系.

設計意圖：讓學生理解直線的斜率和直線的方向向量的內在聯系,培養學生把握事物關聯的理性思維品質.

例4(1)若直線l的方向向量是(1,sinθ),則此直線傾斜角的取值范圍是______.

3 教學反思,提高認識

3.1 重視概念生成,提升數學抽象素養

本節課以直線的傾斜角和斜率為載體,重在發展學生的數學抽象核心素養,通過將平面中確定一條直線位置的幾何要素(點和方向),抽象為在平面直角坐標系中確定一條直線位置的量,進而抽象出傾斜角的概念,然后由“形”到“數”,抽象出斜率的概念,進而得到直線方向向量的概念.通過概念教學,提升了學生數學抽象核心素養.

3.2 重視問題驅動,提升直觀想象素養

在教學方法上,利用如何在平面直角坐標系中確定一條直線位置的問題設計,以及如何理解直線的傾斜角和斜率的概念等,采用問題驅動,讓學生小組合作、主動探究,將課堂主動權真正交給學生.學生通過直觀想象、合作探究和教師引導的概念教學,提升了直觀想象核心素養[2].

3.3 重視知識反饋,提升數學運算素養

在課堂教學中,學生不僅要能理解傾斜角和斜率及直線的方向向量等重要概念,還要能應用概念解決數學實際問題.通過設計典型例題解析,加深學生對概念的理解,能應用概念正確解決問題,提升學生數學運算核心素養.