站在邏輯推理核心素養(yǎng)下,看解題路上的獨特風(fēng)景
——以“直線過定點問題”問題鏈課堂教學(xué)為例

? 江蘇省盱眙中學(xué) 嚴培培

縱觀歷年各個地區(qū)的模擬題和高考題,解析幾何一直是高中數(shù)學(xué)的難點所在,突出對邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的考查,通常計算量都比較大,學(xué)生往往望題興嘆.而學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)皆為高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng),也是高考選拔功能的最佳體現(xiàn).因此教師有必要、也必須要幫助學(xué)生突破此問題,從而培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

2 試題分析

問題1該題中哪些是定量?哪些是變量?

學(xué)生:定量有橢圓方程和點P的橫坐標(biāo);變量有點P的縱坐標(biāo)和直線PA,PB,CD.

問題2挖掘主變量,如何設(shè)變量信息構(gòu)造等量關(guān)系?

學(xué)生:點P為變量,牽一發(fā)而動全身!所以……

由此引出方法1:

點評：此方法緊扣點P,表示出C,D兩點的坐標(biāo),進一步求出直線CD的方程,運算量比較大,因此很多學(xué)生都卡在最后直線CD方程的化簡上,不能妥善處理問題.為此提出下列問題.

問題3動直線y=kx+m(或x=ky+m)為什么會過定點?

學(xué)生:因為k和m存在一次線性關(guān)系.

問題4又可以如何設(shè)變量信息構(gòu)造出問題3中的等量關(guān)系?

由此引出方法2:

方法2：當(dāng)點P不在x軸上時,設(shè)直線CD:x=my+n,C(my1+n,y1),D(my2+n,y2).

2my1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0.

由韋達定理代入化簡,得

點評：此方法圍繞“若直線y=kx+m(或x=ky+m)過定點,則k和m存在一次線性關(guān)系”,通過直線和二次曲線聯(lián)立方程,利用韋達定理構(gòu)建k和m的關(guān)系,優(yōu)化運算過程,培養(yǎng)邏輯思想.當(dāng)然,這到底是不是通性通法,提出下列問題繼續(xù)探討.

問題5對于解析幾何中的直線過定點問題,是否都可以設(shè)直線方程為y=kx+m(或x=ky+m),然后通過和曲線聯(lián)立方程聯(lián)立,結(jié)合韋達定理構(gòu)建k和m的一次線性關(guān)系?

由此引出如下試題:

問題6上文中已經(jīng)討論了只要直線y=kx+m(或x=ky+m)中的k和m存在一次線性關(guān)系,則直線必然過定點,難道就一定需要聯(lián)立直線MN和橢圓的方程求坐標(biāo)嗎?

引出如下證明:

證明：若直線AB,CD有一條直線斜率不存在,則另一條斜率為0,則此時直線MN的方程為y=0.

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

設(shè)直線MN方程為y=mx+n,代入M,N兩點得

點評：上述證法依舊回歸到過定點的直線方程y=kx+m(或x=ky+m)中的k和m存在一次線性關(guān)系,運用整體思想構(gòu)建k和m的等量關(guān)系,簡化運算,巧妙解題.

問題7此方法在例題中是否也可用?

學(xué)生答:肯定可以!學(xué)生們嘗試解答.

問題8此方法的核心運算思想在哪里?在直線過定點問題中通用嗎?

學(xué)生:核心在于y=kx+m(或x=ky+m)中k和m存在一次線性關(guān)系,巧妙構(gòu)建等式就可以,所有直線過定點問題都可以用此方法.

3 幾點思考

(1)注重基礎(chǔ),強調(diào)結(jié)構(gòu)

動直線過定點問題是解析幾何的一個特殊問題,解決問題不能盲目地運算,需要掌握這類問題的解決思路和應(yīng)對的方法.特別是直線過定點的結(jié)構(gòu)特征(k和m的一次關(guān)系),多點思考,構(gòu)建關(guān)系,優(yōu)化運算.

(2)關(guān)注過程,重視引導(dǎo)

教師在課堂上多多設(shè)問,不停追問,包括對過程的設(shè)問與追問,由淺入深,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識基礎(chǔ)體系,拓展思維,培養(yǎng)邏輯,也為后續(xù)學(xué)習(xí)中解決復(fù)雜問題做鋪墊.

(3)側(cè)重反思,強化拓展

題目的價值不在于解題本身,而在于在解題過程中掌握一類試題的結(jié)構(gòu)特征,這就需要解題后的總結(jié)反思,找出關(guān)鍵點,梳理整體思路,優(yōu)化解決過程.以點到面,提升邏輯素養(yǎng),促進數(shù)學(xué)能力的提升.