大概念視域下課堂例題教學的實踐
——以一道高考平面向量試題為例

? 江蘇省沭陽如東中學 司緒榮

課堂教學是形成與發展學生數學核心素養的一個重要載體,更是落實課改理念的一個重要環節,因而課堂成為大概念視域下教學實踐的一個重要場所.

重視課堂例題教學是在當前習題操作模塊的基礎上,合理引導學生積極主動參與其中,動口、動手、動腦,在課堂例題的基礎上進行合理的深度學習,以典型例題為中心向外延伸與拓展,形成更加高階的數學思維能力,促進課堂合理轉型.

1 高考真題

2 大概念的理論基礎

大概念視域下的數學課堂教學,從具體問題及相關基礎概念入手,聯系與之相關的重要概念,進而挖掘問題的核心概念,為問題的解決與應用奠定基礎,從而形成大概念思維,構建良好的解題思維品質.

3 例題中的大概念建構

基于深度學習,從大概念的建構層面剖析對應的平面向量及其應用問題.此題借助兩個平面向量之間的線性關系,以及對應的模的數值與關系等創設條件,進而確定對應向量的模.

試題體現的大概念是數形結合思想,這種思維方法將平面向量兼備的“數”與“形”的雙重特征體現得淋漓盡致,如圖1所示,從而也為問題的數學抽象與數學運算等打下基礎.依托平面向量的數量積這一重要概念,回歸平面向量的線性運算與模等基礎概念,引導學生通過合理的概念分析與應用來解決問題.

圖1

以大概念的指導為方向,基于此類平面向量的綜合應用問題,借助平面向量自身所兼備的“數”與“形”的雙重特征,從代數思維切入,合理數學運算;從幾何思維切入,巧妙直觀想象.當然還可以利用該問題的特殊形式,從特殊值思維切入,借助特殊值加以巧妙選取與合理驗證.這些都是解決本題的基本數學思維方式,展示紛呈多樣的技巧與方法.

4 大概念視域下的課堂教學實踐

大概念視域下平面向量的綜合問題,可以從“數”“形”以及特殊思維等方面來展開與應用,從而得以分析與解決實際問題.

4.1 代數思維

問題1如何從代數視角,以“數”的屬性來解題?

合理引導學生通過來平面向量數量積的轉化,借助平方運算等來達到目的.

問題2對平面向量的模的關系式兩邊進行平方處理,有怎樣的效果?

設計意圖：根據平面向量的模之間的關系式,通過平方處理,轉化為平面向量的數量積問題,結合平面向量的運算法則加以變形轉化與巧妙應用,是解決此類平面向量問題的“通性通法”.抓住向量的模以及模之間的關系,遇“模”平方是潛意識操作,通過平方運算以及方程組的聯立,可以為問題的進一步解決指明方向,也是解決問題的關鍵所在.

問題3對問題中的平面向量線性關系進行整體代換,有何效果?

設計意圖：根據題中平面向量之間的線性關系,借助整體換元引入新向量,由此構建兩個平面向量的非對稱線性關系式的模之間的恒等關系,同樣利用平方運算來轉化與應用.整體換元的目的在于關系式的變形轉化與巧妙應用,其關鍵在于利用了“|xa+yb|=|ya+xb|?|a|=|b|(其中x≠y)”這個基本結論.

問題4回歸平面直角坐標系,如果利用坐標運算如何分析與解決問題?

設計意圖：建立平面直角坐標系,合理引入平面向量的坐標,利用坐標運算以及模的公式合理轉化與應用,利用方程求解、等量代換等加以轉化與應用,通過數學運算達到目的.坐標法也是平面向量中“數”的屬性的一大體現,利用坐標的表示與應用,合理通過數學運算來處理一些相關的向量問題,也是解決平面向量問題的“通性通法”.

4.2 幾何思維

問題5如何從幾何視角,以“形”的結構特征解題?

問題6合理構建平面幾何圖形,如何基于圖形直觀來推理與運算呢?

圖2

設計意圖：回歸平面向量自身“形”的幾何特征,構建與題設相關的平面幾何圖形,利用平面幾何的相關知識與基本性質,結合直觀視角來數形結合,從“形”的視角來分析與解決問題.在解決一些平面向量問題中,由“數”轉“形”,借助“形”的直觀,通過數形結合與邏輯推理來解決相關問題,可以減少數學運算.

4.3 特殊值思維

問題7解決問題的“巧技妙法”往往是處理選擇題與填空題的一種特殊方法,那么該問題能否通過特殊思維來快捷處理呢?

問題8如何從特殊思維視角,用一般與特殊的轉化與化歸思維來解決該問題呢?

設計意圖：特殊值思維是解決數學問題中最為特殊的一種“巧技妙法”.抓住題設條件中平面向量之間的線性關系,以特殊的零向量、特殊的數乘向量關系等代入滿足的關系式,借此通過這個特殊值的應用來技巧化解決問題.利用特殊值法在解決一些具有確定結論的選擇題或填空題時,借助特殊值(特殊函數、特殊向量、特殊圖形等)的應用,以特殊代替一般,又回歸到一般情況,符合辯證唯物主義思想.

大概念視域下,涉及平面向量的綜合問題,往往可以從定義思維視角、代數思維視角、幾何思維視角、特殊值思維視角等不同角度切入,合理發散思維.

大概念視域下,借助“一題多解”的巧妙應用,充分融合數學基礎知識與基本技能,形成穩定的數學知識架構,從而脫離“題海戰術”,拓寬數學基礎知識,切實提高數學能力,提升數學品質與核心素養,真正達到舉一反三、融會貫通的效果,得以創新拓展.