信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)深度融合的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”為例

? 太原師范學(xué)院 王燕榮 李 者 黃銘超

1 教學(xué)準(zhǔn)備

1.1 解讀課程標(biāo)準(zhǔn),深入分析教材

新人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”單元,是按照“任意角和弧度制”“三角函數(shù)的概念”“誘導(dǎo)公式”“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”“三角恒等變換”“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)”“三角函數(shù)的應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)編排的[1].其中,“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”既是對(duì)前面所學(xué)“任意角和弧度制”“三角函數(shù)的概念”“誘導(dǎo)公式”的深化應(yīng)用,也是后面學(xué)習(xí)性質(zhì)與應(yīng)用的基礎(chǔ),具有承上啟下的作用.

新人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)與舊人教A版教材比較,“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”內(nèi)容的編排變動(dòng)較大.主要體現(xiàn)為:(1)在舊版教材中,首先利用簡(jiǎn)諧實(shí)驗(yàn)使學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象有一個(gè)直觀(guān)印象,然后利用正弦線(xiàn)畫(huà)出正弦函數(shù)圖象.而在新版教材中,是先借助正弦函數(shù)的定義找到畫(huà)一般點(diǎn)的方法,然后由此畫(huà)出正弦函數(shù)圖象,其中并未提及正弦線(xiàn).(2)舊版教材中沒(méi)有明確涉及信息技術(shù)的運(yùn)用,而在新版教材中明確指出了利用信息技術(shù)可以畫(huà)出足夠多的點(diǎn),用光滑曲線(xiàn)相連即可得到較精確的正弦函數(shù)圖象.(3)“五點(diǎn)法”出現(xiàn)的順序不同.在舊版教材中是學(xué)生得到了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象后才引入“五點(diǎn)法”,而在新版教材中則是學(xué)生得到正弦函數(shù)圖象后引入“五點(diǎn)法”,然后再畫(huà)余弦函數(shù)的圖象.

1.2 精準(zhǔn)定位學(xué)情

在此前,學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及性質(zhì),進(jìn)一步研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用,建立了研究函數(shù)的路徑,認(rèn)識(shí)到單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具,掌握了用“描點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)圖象的操作技能,積累了豐富的經(jīng)驗(yàn).但是,利用定義的幾何意義繪制函數(shù)圖象是第一次,在思維習(xí)慣上存在障礙,因此,對(duì)正弦函數(shù)圖象的構(gòu)造和認(rèn)識(shí)是難點(diǎn).

1.3 制定合理的教學(xué)目標(biāo)

(1)經(jīng)歷探索正弦函數(shù)圖象畫(huà)法的過(guò)程,體會(huì)到利用正弦函數(shù)定義的幾何意義畫(huà)正弦函數(shù)圖象的合理性,充分感受信息技術(shù)運(yùn)用的必要性和優(yōu)越性,掌握特殊到一般的思維方法,提高分析和解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、邏輯推理素養(yǎng).

(2)感受利用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)圖象的便捷性,掌握“五點(diǎn)法”,并能利用“五點(diǎn)法”繪制正弦函數(shù)圖象,豐富作圖經(jīng)驗(yàn).

(3)能用圖象變換的方法由正弦函數(shù)的圖象繪制余弦函數(shù)的圖象,體會(huì)誘導(dǎo)公式的作用及轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想,體味數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)普遍聯(lián)系、透過(guò)現(xiàn)象把握本質(zhì)等辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn).

2 “正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

2.1 搭建腳手架,引出學(xué)習(xí)課題

問(wèn)題1回憶冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程,你能概括它們研究的基本思路嗎?

問(wèn)題2三角函數(shù)作為一類(lèi)新的基本初等函數(shù),研究其定義后下一步該研究什么?

學(xué)生聯(lián)想到前面所學(xué)的函數(shù),研究思路均是從實(shí)際問(wèn)題中獲得變量之間的關(guān)系,歸納抽象出函數(shù)的概念,然后畫(huà)出函數(shù)的圖象,繼而根據(jù)圖象研究函數(shù)性質(zhì),最后進(jìn)行應(yīng)用,形成函數(shù)學(xué)習(xí)的研究路徑,如圖1.

圖1

按照上述研究路徑,學(xué)生自然想到學(xué)習(xí)三角函數(shù)的概念之后,應(yīng)該研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,由此引入學(xué)習(xí)課題.

設(shè)計(jì)意圖：以單元教學(xué)設(shè)計(jì)理念為指導(dǎo),通過(guò)設(shè)置問(wèn)題逐步激活學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),歸納總結(jié)形成函數(shù)學(xué)習(xí)的研究路徑,并借助PPT將研究函數(shù)的思路以知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖的形式直觀(guān)呈現(xiàn)給學(xué)生,體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性、整體性與順序性,同時(shí)幫助學(xué)生建立原有知識(shí)與新知識(shí)的聯(lián)系,把握新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),形成整體觀(guān)念.

2.2 緊扣學(xué)生現(xiàn)實(shí),制造疑難和困惑

問(wèn)題3如何研究正弦函數(shù)y=sinx的圖象?

學(xué)生根據(jù)先前畫(huà)圖象的經(jīng)驗(yàn),可以通過(guò)“描點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)圖象.

教師追問(wèn):怎樣描點(diǎn)?學(xué)生認(rèn)為可以取特殊點(diǎn).

學(xué)生取點(diǎn)出現(xiàn)的可能情況有以下幾種:

教師追問(wèn):描點(diǎn)的過(guò)程中有沒(méi)有遇到困難?

設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生已有的作圖經(jīng)驗(yàn),讓其親自經(jīng)歷動(dòng)手描點(diǎn)的過(guò)程,感受到圖象的精確度會(huì)受每個(gè)點(diǎn)的精確度的影響,進(jìn)而產(chǎn)生盡可能要精確描點(diǎn)的意愿,引發(fā)學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求.

2.3 依托數(shù)學(xué)思考,感受信息技術(shù)運(yùn)用的優(yōu)勢(shì)

教師引導(dǎo):剛才通過(guò)粗略計(jì)算描點(diǎn)不夠準(zhǔn)確,怎么辦?追本溯源,回歸到正弦函數(shù)的定義,看看有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)?

教師引導(dǎo):研究問(wèn)題,先特殊再一般,剛才研究了特殊點(diǎn)在單位圓中對(duì)應(yīng)的幾何量,那么對(duì)于任意的一點(diǎn)(x0,sinx0)如何在單位圓中找到對(duì)應(yīng)的幾何量呢?

學(xué)生自然想到借助單位圓能夠明確x0和sinx0在單位圓中對(duì)應(yīng)的幾何量.

教師追問(wèn):如何精確描出任意點(diǎn)(x0,sinx0)?

學(xué)生感到有困難,讓單位圓在紙上滾動(dòng)不實(shí)現(xiàn),只能粗略估計(jì)橫坐標(biāo)x0的位置,這不是又不精確嗎?

教師不失時(shí)機(jī)地利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示滾動(dòng)與平移過(guò)程,具體步驟為:在單位圓上任取一點(diǎn)B,∠AOB的弧度數(shù)為x0,將單位圓在x軸上滾動(dòng),得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,其縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同,將MB平移到x0的位置,得到點(diǎn)T,如圖2.

圖2 描點(diǎn)T(x0,sin x0)

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教師的引導(dǎo)、追問(wèn),引發(fā)學(xué)生不斷深入思考,分散學(xué)習(xí)難點(diǎn),使學(xué)生感受到傳統(tǒng)教學(xué)手段不易實(shí)現(xiàn),進(jìn)而體味到信息技術(shù)運(yùn)用的必要性和優(yōu)越性,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象素養(yǎng).

2.4 借助信息技術(shù),促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深層發(fā)展

問(wèn)題5我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了精確繪制正弦函數(shù)圖象的某一個(gè)點(diǎn),如何畫(huà)出函數(shù)y=sinx的圖象呢?

學(xué)生馬上會(huì)想到,可以運(yùn)用幾何畫(huà)板精確畫(huà)出問(wèn)題3中情況1和情況2所取的點(diǎn),然后用光滑的曲線(xiàn)連接就可以得到y(tǒng)=sinx的圖象,如圖3、圖4所示.

圖3

圖4

教師追問(wèn):大家都這樣認(rèn)為嗎?

教師引導(dǎo):對(duì)比圖3和圖4,大家發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同之處?

學(xué)生發(fā)現(xiàn):形狀相同,取點(diǎn)均在區(qū)間[0,2π]上.

教師追問(wèn):正弦函數(shù)的定義域是什么?

學(xué)生注意到正弦函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集.

教師追問(wèn):畫(huà)出了正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,2π]的圖象,你能想象出正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象嗎?若能,依據(jù)是什么?

學(xué)生結(jié)合前面學(xué)過(guò)的誘導(dǎo)公式一,將y=sinx,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度),就可以得到y(tǒng)=sinx的圖象.師生總結(jié)描述正弦曲線(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)運(yùn)用幾何畫(huà)板作圖以及觀(guān)察圖3和圖4的異同和取點(diǎn)的區(qū)間,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,促使學(xué)生深度思考,進(jìn)而培養(yǎng)思維的深刻性和批判性,提高思維品質(zhì),直觀(guān)感受正弦函數(shù)圖象的周期性變化,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng),再次體味到信息技術(shù)運(yùn)用的優(yōu)越性.

問(wèn)題6在精確度要求不高的情況下,如何快速畫(huà)出正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象?

學(xué)生觀(guān)察圖3和圖4,發(fā)現(xiàn):圖3比圖4方便,僅需五個(gè)點(diǎn)就可以快速畫(huà)出正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象.

教師追問(wèn)1:少于五個(gè)點(diǎn)可以嗎?

教師追問(wèn)2:五個(gè)點(diǎn)可以任取嗎?

學(xué)生經(jīng)過(guò)動(dòng)手實(shí)踐,體會(huì)到少于五個(gè)點(diǎn)和任取五個(gè)點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)不能很好描述正弦函數(shù)圖象走勢(shì)的情況.

教師總結(jié):在精確度要求不高時(shí),這五個(gè)點(diǎn)就是畫(huà)正弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn),描點(diǎn)后用光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái),就能得到正弦函數(shù)在[0,2π]的簡(jiǎn)圖(信息技術(shù)展現(xiàn)),這種方法叫做“五點(diǎn)法”,非常實(shí)用簡(jiǎn)便.

設(shè)計(jì)意圖：透過(guò)現(xiàn)象把握本質(zhì),通過(guò)對(duì)圖3和圖4的比較發(fā)現(xiàn)繪制正弦圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),運(yùn)用信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)光滑曲線(xiàn)的連接過(guò)程,將“五點(diǎn)法”作圖步驟可視化,深化學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)圖象形狀的認(rèn)識(shí),體味數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)簡(jiǎn)潔美的追求.

2.5 采用類(lèi)比遷移,引發(fā)自主探究學(xué)習(xí)

問(wèn)題7如何作出余弦函數(shù)y=cosx的圖象?

學(xué)生根據(jù)先前的作圖經(jīng)驗(yàn),給出如下方法:

(1)類(lèi)比正弦函數(shù),借助單位圓.

(2)精確度要求不高的情況下,利用“五點(diǎn)法”作圖.

(3)利用誘導(dǎo)公式,建立正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系.

教師引導(dǎo):學(xué)習(xí)知識(shí)就要學(xué)會(huì)橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系,類(lèi)比正弦函數(shù)圖象的畫(huà)法研究余弦函數(shù)圖象的畫(huà)法非常好!

對(duì)于前兩種方法給與肯定,不具體展開(kāi).

圖5 y=sin x和的圖象

教師追問(wèn)1:你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢?

設(shè)計(jì)意圖：將作余弦函數(shù)圖象的問(wèn)題拋給學(xué)生,學(xué)生類(lèi)比正弦函數(shù)圖象的作圖過(guò)程,通過(guò)獨(dú)立思考得到不同的作余弦函數(shù)圖象的方法.通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生深入思考,應(yīng)用信息技術(shù)展示已知圖象與未知圖象的聯(lián)系,使學(xué)生感受圖象變換的奧妙,同時(shí)加強(qiáng)“五點(diǎn)法”的鞏固與應(yīng)用.整個(gè)過(guò)程中充分展示了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)思考互相促進(jìn)發(fā)展的過(guò)程,使信息技術(shù)的運(yùn)用不再流于單純的演示,而是目的明確、有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深層發(fā)展的必然過(guò)程;同時(shí)數(shù)學(xué)思維的不斷深入,離不開(kāi)信息技術(shù)動(dòng)態(tài)直觀(guān)的演示,有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí).

2.6 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問(wèn)題8本節(jié)課你有哪些收獲?

學(xué)生回答:

(1)學(xué)會(huì)了繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,明白畫(huà)函數(shù)圖象的方法不唯一,有“五點(diǎn)法”“圖象變換法”“定義法”.

(2)感悟了數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的思想方法,以及分析問(wèn)題常用到的特殊到一般、分析、比較等思維方法.

(3)真正感受到了信息技術(shù)的功能,尤其是動(dòng)態(tài)性和直觀(guān)性.

教師與學(xué)生共同整理研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的思路并構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖,如圖6.

圖6

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的學(xué)習(xí)是知識(shí)增長(zhǎng)、能力提升和情感發(fā)展的過(guò)程,通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)的反思,促使學(xué)生形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),能夠從整體把握研究函數(shù)的一般方法,實(shí)現(xiàn)從“授之以魚(yú)”過(guò)渡到“授之以漁”,使學(xué)生獲得良好的情感體驗(yàn),從“要我學(xué)”逐步轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“我會(huì)學(xué)”,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 結(jié)束語(yǔ)

合理運(yùn)用信息技術(shù)可以輔助數(shù)學(xué)教學(xué),不僅可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識(shí),體現(xiàn)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系,更能體現(xiàn)以“獨(dú)立思考、合作交流、啟發(fā)引導(dǎo)”為特征的教與學(xué)的方式.數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的深度融合不是一蹴而就的,需要不斷摸索、創(chuàng)新和反復(fù)實(shí)踐檢驗(yàn).