回歸教材重基礎 精研真題提素養
——新課標背景下立體幾何的復習思考

? 江蘇省通州高級中學 嚴振君

高考立體幾何試題的“四基”切入,落實對學生及數學基本能力、數學核心素養等方面的考查.基于此,新課標下的立體幾何的復習備考應該更加靈活、全面.

1 回歸教材,建立完整的知識體系

高中數學教材是全面落實數學課程體系的重要載體,是落實課程目標以及培養學生數學核心素養的重要教學資源.同時,教材中的一些典型例(習)題、相關欄目等,也是歷年高考數學命題的一個重要素材.

教師可以有針對性地對一些典型例(習)題、教材中重要公式和定理的推導過程與推導方法等加以拓展與探究,幫助學生建立完整的知識體系.

1.1 熟悉教材,抓住知識點的聯系

在回歸教材時,梳理數學知識間聯系、探尋基本思想和方法的脈胳,主要是通過教材中的典型例(習)題,以及一些特殊欄目,閱讀、探究等,從這些問題中挖掘素材,包括蘊含其中的數學思想方法,合理拓展相關知識,開闊學生的視野,發散學生的思維,提煉出通性通法,準確把握數學知識的本質與數學能力的要點.

1.2 挖掘教材,尋覓高考題的“影子”

教材的內容具有其他數學教學參考書、練習卷等教輔所不可替代的作用和教育教學功能.回歸教材,挖掘教材,引導學生深入領會教材中對應例(習)題、相關欄目等典型問題中所展示出來的專家學者的命題意圖,并加以研究和開發,合理追根溯源.這樣處理不但可以豐富教學內容,還可以就地取材,減少所謂的“補充內容”,減少資料書的使用,從而更好地從高考真題中尋覓其“影蹤”,提升教材的綜合應用與拓展空間.

例1(2023年新高考Ⅱ卷·9)如圖1,已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( ).(AC)

圖1

A.該圓錐的體積為π

試題亮點：試題以圓錐為背景,源于教材,注重基礎性、綜合性考查考生對圓錐的體積、側面積以及平面與平面之間的位置關系等基礎知識的.試題充分體現了課標要求,注重數學核心素養,關注學生學習實際,對中學數學教學起到了積極的導向作用.

2 研究真題,把握高考命題的導向

基于“三新”背景,“一核”統領,“四層”“四翼”深化的高考評價體系,推動著高考數學命題的變革,高考必然由能力立意轉為素養導向,全面考查數學核心素養.因此,在高三復習備考過程中,教師要認真思考和系統研究,把握立體幾何的整體命題方向和原則,以更有針對性地安排復習與教學.同時,教師要認真研究高考真題,挖掘高考在立體幾何這個知識體系中的命題導向.近三年新課標卷立體幾何試題分析見表1.

表1 近三年新課標卷立體幾何試題分析

試題亮點：試題以正四棱錐和球設置探索創新情境.試題的正確運算基于空間想象,同時還需要依靠嚴密的邏輯推理,才能發現空間幾何體中相關量之間的關系,進而完成對問題的求解.試題在考查立體幾何基礎知識、基本方法的同時,考查考生空間想象、邏輯推理以及數學運算等關鍵能力和幾何體的構圖能力.

3 夯實基礎,提升應考的基本能力

高考對立體幾何的基本能力的要求:(1)理解并記憶空間幾何體涉及到的公式、公理、性質定理與判定定理,并熟練掌握每一個公理或定理的作用;學會畫圖,能夠構建符合題目要求的圖形,以便快速找到內在聯系.(2)熟練掌握基本模型(切、接模型,正方體模型,長方體模型,在長方體的8個頂點中任取四個構成的三棱錐模型,外接球模型);掌握垂直、平行問題的一般處理方法,特別是怎樣作輔助線;掌握空間角的基本概念,能利用幾何法(定義法)處理簡單的空間角問題;掌握利用向量法解決空間幾何體問題的一般方法和書寫格式;注意解三角形與平面幾何知識在解題中的應用等.

4 抓住本質,培養解題的核心素養

教師在教學中可以抓住立體幾何中“形”的幾何本質,從幾何法思維切入加以空間想象與直觀分析,結合邏輯推理與數學運算等深入培養數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養;也可以抓住立體幾何中“數”的代數屬性,從向量法思維切入加以代數運算與邏輯推理,從而以空間向量的形式巧妙數學運算,達到數學運算與邏輯推理相結合的目的.

在復習備考階段,教師要合理引導并鼓勵學生在解題時多采用一些基本方法來分析與處理,特別在解決立體幾何的解答題時,可以靈活選用幾何法與向量法等不同方法,多思維角度來分析與應用,引導學生的思維活動,凸顯問題本質.

從近年高考立體幾何試題的分析不難得出,立體幾何考查的主要內容還是基于常規、熟悉、簡單的空間幾何體,借助這些空間幾何體來考查相關的數學基礎知識與基本能力等.在復習過程中,教師要特別注重解題的通性通法的教學.