揭示2023年上海卷第21題本質

? 山東省膠州市第三中學 胡曉潔

1 題目:2023年上海卷第21題

已知f(x)=lnx,取點(a1,f(a1))過其作曲線y=f(x)的切線交y軸于點(0,a2),取點(a2,f(a2))過其作曲線y=f(x)的切線交y軸于點(0,a3),若an≤0則停止,以此類推,得到數列{an}.

(1)若正整數m≥2,證明:am=lnam-1-1;

(2)若正整數m≥2,試比較am與am-1-2的大小;

(3)若正整數k≥3,是否存在k使得a1,a2,……,ak依次成等差數列?若存在,求出k的所有取值;若不存在,試說明理由.

2 分析與思維導圖

2.1 思維分析

本題從導數與數列的綜合運用出發,考查學生求切線方程、構造函數證明不等式、等差數列性質的應用以及方程有解問題的解決能力,體現了數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.本題的題干是由函數圖象的切線與y軸相交,交點的縱坐標經過遞推得到一個數列.遞推的過程和利用牛頓法求方程的解類似.數列在題目中更多是起到背景和提示作用,本質上還是解決函數與導數的問題.本題作為上海卷的壓軸題,有較大的思維量,突出考查了數學抽象和邏輯推理核心素養.

第(1)問證明數列的遞推關系,本質上考查求函數的切線方程,要求學生理解題目中的遞推關系.本題對學生在給定情境下分析數學問題的能力有較高的要求.

第(2)問比較大小,常用辦法是將要比較的對象化成同一變量后作差.結合第(1)問的結論,可以發現本質上是考查常用不等式lnx≤x-1(ex≥x+1)的證明.本題要求學生能夠結合已知結論解決問題,熟練掌握構造法證明不等式.

第(3)問分析k的取值是難點,結合等差數列的性質,可以將分析k的取值轉化為方程有解的問題.不同的性質可以轉化出不同的方程,此問主要利用公差和等差中項來解決.本題要求學生能深刻地理解方程有解和函數有零點的等價關系.

2.2 思維導圖

第(3)問的思維導圖如圖1所示.

圖1

2.3 解答

(Ⅰ)第(1)問的解答:

(Ⅱ)第(2)問的解答:

解：當m≥2時,am=lnam-1-1,am-1>0.

所以,當00,G(x)在(0,1)上單調遞增;當x>1時,G′(x)<0,G(x)在(1,+∞)上單調遞減.

所以,G(x)≤g(1)=0,即am-(am-1-2)≤0.

故am≤am-1-2.

(Ⅲ)第(3)問的解答:

解法1：列舉式解題.

假設存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數列,設公差為d.

當k≥4時,因為am≤am-1-2,所以d=am-am-1≤-2.

所以{ak}既是等差數列也是等比數列,即{ak}為常數列,顯然與am≤am-1-2矛盾.

當k=3時,a1,a2,a3為等差數列,設公差為d,所以d=a3-a2=a2-a1≤-2.

所以lna2-a2-1=lna1-a1-1=d.記g(x)=lnx-x-1,則g(a2)=g(a1)=d.

顯然,當d=-2時,因為-2=a2-a1=lna1-a1-1,所以a1=1,a2=-1,則不存在a3,所以d<-2.

下面只需證明:函數h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d對任意d<-2都存在兩個零點.

易知:g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.

所以h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,則且h(x)≤h(1)=-2-d.

所以h(1)=-2-d>0,h(ed)=-1-ed<0.

所以φ(t)<φ(4)=ln 4-3<0,則h(-2d)<0.

所以,h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d對任意d<-2都存在兩個零點x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞).故k=3.

解法2：漸進分析式解題.

假設存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數列,設公差為d.

當k=3時,a1,a2,a3為等差數列,設公差為d,所以d=a3-a2=a2-a1≤-2.

所以lna2-a2-1=lna1-a1-1=d,即g(a2)=g(a1)=d.

顯然,當d=-2時,因為-2=a2-a1=lna1-a1-1,可知a1=1,a2=-1,則不存在a3,所以d<-2.

易知,g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.

所以h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,則h(x)≤h(1)=-2-d.

所以h(1)=-2-d>0,h(ed)=-1-ed<0.

所以φ(t)<φ(4)=ln 4-3<0,則h(-2d)<0.

所以,h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d對任意d<-2都存在兩個零點a1,a2,且a2∈(0,1),a1∈(1,+∞).

因此a3<0,停止遞推.所以k的取值只能為3.

解法3：整體分析式解題.

假設存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數列,設公差為d.

顯然,當d=-2時,因為-2=a2-a1=lna1-a1-1,可知a1=1,a2=-1,則不存在a3,所以d<-2.

因為d=ak-ak-1=lnak-1-ak-1-1,則a1,a2,……,ak-1為方程lnx-x-1-d=0解.

所以函數h(x)=g(x)-d=lnx-x-1-d有k-1個零點.

下同法1.

解法4：消元,構造函數零點.

假設存在k符合題意,即a1,a2,……,ak依次成等差數列,所以ak+ak-2=2ak-1.

因為ak=lnak-1-1,ak-1=lnak-2-1,所以eak-1+1+lnak-1-1=2ak-1.

因此ak-1為方程ex+1+lnx-1=2x的解,也即函數F(x)=ex+1+lnx-1-2x的零點.

所以a2=t時,a1,a2,a3依次成等差數列;但a3<0,遞推停止.故k=3.

3 溯源與高考鏈接

2023年上海卷第21題是導數與數列的綜合問題,命題背景來自人教A版教材選擇性必修第82頁的“牛頓法”.由函數的切線通過遞推得到數列,要求解的是數列問題.但通過分析題意,尋找解題的切入點會發現本題三問實際考查的都是導數問題.下面兩道高考試題供大家欣賞:

分析：由題意寫出切線方程,找到ak和ak+1的關系.

(2015年江蘇卷第20題)設a1,a2,a3,a4是各項為正數且公差為d(d≠0)的等差數列.

(1)證明:2a1,2a2,2a3,2a4依次成等比數列;

4 練習

①當a=0時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的“曲率”;

②若函數f(x)存在零點,求a的取值范圍;

③設等比數列{an}的公比為q,

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