有趣的“紅包”問題

文／江蘇省南通市通州區文山初級中學 吳佳豪

葛老師近期提供了一道思考題：過年了，小明面前有三個紅包，并且其中一個紅包有錢，另外兩個紅包是空的（具體哪個不知道）。小明隨機挑選了一個紅包沒有打開，同時剩下的兩個紅包自動去掉一個沒有錢的，這時小明有一次交換剩下紅包的機會。請問小明應不應該選擇交換并說明理由。

剛開始看到這道題的時候，我想：題目是不是出錯了？換不換不都一樣嗎？這題有什么意思？

由于這道題要求說明理由，而且剛剛的想法也沒有進行嚴謹的證明，于是我繼續思考。因為小明最開始從三個紅包中隨機挑選到有錢和沒錢的紅包的可能性是不一樣的，既然如此，后面的是否交換紅包從邏輯上看，應該也會受到最初是否選到有錢的紅包這個隨機事件的影響。那么，好像換與不換是不一樣的啊。

我想到的第一個解決方案是用頻率估計概率。我進行的試驗記錄結果如下：

當第一次摸到有錢的紅包的時候，剩下的兩個紅包都是空的，所以此時交換是虧的；當第一次摸到空的紅包的時候，剩下的兩個紅包一個是空的，一個是有錢的，由于會自動去掉沒有錢的紅包，所以此時交換是賺的。根據表格中的數據，小明應該選擇交換。

在用這個方法得出結果后，我進行了反思：用頻率估計概率的方法雖然可行，但是試驗的次數要足夠多，有些耗時費力。有沒有簡便一點的方法呢？

我想到的第二種解決方法是分類討論。我首先分別用空包1和空包2 來表示兩個空的紅包，那么以下3種情形都具有相等的可能性：

情形1：假設摸到的紅包是有錢的，交換紅包不劃算；

情形2：假設摸到的是空包1，交換紅包是劃算的；

情形3：假設摸到的是空包2，交換紅包是劃算的。

綜上，共有3 種等可能情形，3 次中有兩次交換是劃算的，所以小明應該選擇交換。

通過思考，我得到了與直覺不同的答案。數學是一門極其嚴謹的學科，在思考問題時，我們應該多從邏輯層面去分析思考，通過嚴格的證明來得到正確的答案。

教師點評

小吳同學對一道“紅包”問題進行了深入思考，從直覺感知到數學建模，從而推理出正確的結果，感悟到數學的魅力。事實上，很多數學真理的發現，都有這樣的特點，往往會經歷“直覺感知→數學抽象→數學建構→推理證明→確認性質→數學運用”的過程。同學們在今后的數學學習中，可以細細體會。