攻擊角約束的任意時間三維制導律設計

丁圣巧, 高計委, 臧紹飛, 馬建偉, 王 鱗

(河南科技大學,河南 洛陽 471000)

0 引言

當前,隨著戰(zhàn)場環(huán)境日益復雜、航空航天技術的快速發(fā)展,導彈或無人飛行器等機動目標在速度和變向等性能方面獲得了極大的提升,這對無人飛行目標的攔截技術提出了巨大考驗。制導律的設計可對上述問題的解決提供有效幫助。其中,比例導引(PN)法及其變體[1]因其形式簡單而被廣泛應用于制導律的設計,但在實際戰(zhàn)爭環(huán)境下,存在大量的不確定因素,致使基于比例導引法的制導律難以滿足當前戰(zhàn)爭的任務需求。基于滑模控制的制導律對外界干擾和參數(shù)攝動具有較強的魯棒性,因此受到學者的廣泛關注[2]。

在攔截過程中,攔截彈與目標速度較快,系統(tǒng)需要在規(guī)定時間內(nèi)穩(wěn)定,因此,基于有限時間穩(wěn)定性理論[3]的滑模制導律得到了廣泛關注。文獻[4]使用有限時間穩(wěn)定性理論設計平面和三維制導律,給出了視線角誤差有限時間收斂的充分條件和收斂時間上界的計算方式;針對機動目標攔截末制導問題,文獻[5]提出一種考慮終端角度約束的自適應積分滑模制導律,能夠提高攔截彈的毀傷能力;文獻[6]在制導律設計中加入了自適應項,設計了自適應有限時間三維制導律,消除了目標信息帶來的不確定性,并使用連續(xù)的趨近律削弱抖振現(xiàn)象。

有限時間制導律可以保證系統(tǒng)在較短時間內(nèi)收斂,但收斂時間與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關,這在一定程度上限制了其使用場景。針對此問題,文獻[7]設計了一種非奇異終端滑模,并證明了系統(tǒng)收斂時間只與設置的參數(shù)有關;文獻[8]基于固定時間穩(wěn)定性理論設計了一種自適應固定時間非奇異終端滑模制導律,其具有更快的收斂速度,可從任意初始航向角攔截機動目標;考慮橫向加速度飽和的限制,文獻[9]設計了一種抗飽和自適應固定時間制導律,保證視線角誤差在規(guī)定時間內(nèi)收斂并保持。

固定時間制導律的收斂時間上界估計雖然只與設計的參數(shù)有關,但其調(diào)節(jié)仍較為復雜且計算出的收斂時間上界誤差較大。文獻[10]在固定時間的基礎上,提出了一種任意時間收斂的控制器,其收斂時間可以直接由一個參數(shù)設定,避免了復雜的調(diào)參過程,并給出了任意時間收斂的證明方法;文獻[11]基于任意時間穩(wěn)定理論設計了一種分段滑模控制方法,并將其拓展到高階系統(tǒng)中。

目前,在制導律方面的研究主要集中在固定時間方面及其相關問題上,關于任意時間收斂的制導律研究成果較少,因此本文將任意時間穩(wěn)定性理論和分段滑模應用于制導律的設計,該制導律下的視線角誤差收斂時間可以直接設定,無需通過復雜的計算求解。

1 系統(tǒng)模型及相關引理

1.1 三維彈目模型

導彈攔截機動目標的三維模型如圖1所示。其中:OM-XIYIZI為慣性坐標系;OM-XMYMZM為攔截彈的速度坐標系;OT-XTYTZT為目標的速度坐標系;R代表攔截彈與目標之間的相對距離;Vm,Vt分別代表攔截彈和目標的速度矢量;θL,φL為攔截彈與目標之間的視線角;θm,φm為攔截彈速度相對于視線坐標系的方向角;θt,φt為目標速度相對于視線坐標系的方向角。

圖1 三維攔截模型

基于三維攔截模型可以得出如下導彈攻擊機動目標動力學方程

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中:aym,ayt分別為攔截彈和目標的俯仰加速度;azm,azt分別為攔截彈和目標的偏轉(zhuǎn)加速度;ρ=Vt/Vm,為中間變量。

將攔截彈與目標之間的視線角θL,φL關于時間t進行二次微分,把動力學方程式(1)～(7)代入可得其二階導數(shù)分別為

(8)

(9)

(10)

其中:θLd,φLd為期望的視線角;

1.2 相關定義及引理

考慮如下具有時變動力學的非線性系統(tǒng)

(11)

式中:x∈Rn,為系統(tǒng)狀態(tài);?∈Rp,為系統(tǒng)參數(shù);f:R+∪{0}×Rn→Rn,是一個非自治的非線性函數(shù);原點x=0是系統(tǒng)式(11)的平衡位置,t0∈R+∪{0}是初始時間。

引理1[12]假設存在一個連續(xù)徑向無界的正定函數(shù)V(t,x)滿足

(12)

那么系統(tǒng)式(11)就是固定時間穩(wěn)定的,并且收斂時間上界可估計為

(13)

其中,參數(shù)α>0,β>0,p>1,0

定義1[10]當以下條件滿足時,式(11)系統(tǒng)是Free-will任意時間穩(wěn)定的。

1) 式(11)系統(tǒng)是固定時間穩(wěn)定的。

2) ?Ta>0,Ta與系統(tǒng)參數(shù)?無關且可以被提前設定。

3) 對任何給定的?,都能夠建立以下任何一項

①Ta>TesFree-will弱任意時間穩(wěn)定;

②Ta=TesFree-will強任意時間穩(wěn)定。

其中,Tes是式(11)系統(tǒng)收斂到原點的實際收斂時間。

引理2[11]考慮式(11)系統(tǒng),并假設其平衡點x=0包含在集合D∈Rn中。假設在集合D中定義兩個連續(xù)正定函數(shù)β1和β2。假設存在一個實值連續(xù)可微的函數(shù)V:[t0,∞)×D→R+∪{0}。

當滿足下列條件時,式(11)系統(tǒng)是Free-will弱任意時間穩(wěn)定的,且任意收斂時間為tf。

1)β1(x)≤V(t,x)≤β2(x),?t∈t0,?x∈D{0};

2)V(t,0)=0,?t≥t0;

(14)

如果不等式(14)為等式,則式(11)系統(tǒng)是Free-will強任意時間穩(wěn)定的。

2 制導律設計及穩(wěn)定性分析

根據(jù)文獻[9]選擇如下滑模面

(15)

當t0≤t

(16)

當t≥tf時,S=k1x1+x2,對其進行微分

(17)

據(jù)此設計制導律如下

(18)

定理1若外部擾動是有界的,即|di|≤di0,且h3≥di0,采用式(18)作為制導律,則式(10)系統(tǒng)是任意時間收斂的,收斂時間tes≤tf。當t≥tf時,式(10)系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。

證明:

-h1STsigα1(S)-h2STsigα2(S)-(h3STsgn(S)-STd)≤

(19)

式中,干擾項di是有界的,即|di|≤di0,di0是一個正常數(shù),且滿足h3≥di0。

由上述分析可知,滑模變量S是固定時間穩(wěn)定的,滑模變量的收斂時間算式為

(20)

(21)

(22)

由上述分析可知,系統(tǒng)是任意時間穩(wěn)定的,即x1能在tf時間內(nèi)收斂到零。

(23)

因此,系統(tǒng)總是能穩(wěn)定在平衡位置。

綜上,當t0≤t

實際應用中的導彈,受其發(fā)動機推力和彈體結(jié)構(gòu)強度等影響,其俯仰和偏轉(zhuǎn)加速度具有一定的限制,因此,限制控制器的輸出,使其更加符合實際的工程應用,即

(24)

式中,umax=300 m/s2。

為了削弱由符號函數(shù)不連續(xù)性帶來的抖振,使用飽和函數(shù)代替符號函數(shù),即

(25)

3 數(shù)值仿真

為了驗證所設計的制導律的有效性,對其進行數(shù)值仿真驗證,實驗中攔截彈與目標的相關參數(shù)如表1所示。

表1 三維模型的初始參數(shù)

假設目標具有一定的機動能力,其俯仰加速度azt=12sin 0.5t,偏轉(zhuǎn)加速度ayt=10sin 0.3t,選擇式(18)作為制導律,其中,η1=2.15,h1=0.575,h2=0.2,h3=12,α1=0.85,α2=1.2,k1=0.6,κ=0.04。

將制導律式(18)應用于系統(tǒng)式(10),為了驗證該制導律的有效性,分別設置不同的收斂時間tf=7 s和tf=5.5 s進行仿真驗證。將設計的任意時間制導律與有限時間制導律和固定時間制導律進行對比。

選擇有限時間制導律的滑模面為

σ1=x2+k11x1+k12f(x1)

(26)

式中,f(x1)=[f(x11)f(x22)]。

據(jù)此設計有限時間制導律為

(27)

選擇固定時間制導律的滑模面為

σ2=x2+k21sigp2(x1)+k22g(x1)

(28)

式中,g(x1)=[g(x11)g(x22)]。

據(jù)此設計固定時間制導律為

(29)

所涉及參數(shù)設定為k11=k21=0.5,k12=k22=0.2,h11=0.275,h12=0.375,h13=12,h21=0.185,h22=0.375,h23=0.8,p1=0.85,p2=1.3,p3=0.7,β11=0.75,β21=0.75,β22=1.1,ε=0.01。

仿真結(jié)果如圖2～6所示。

圖2 攔截彈與目標軌跡圖

圖2為不同制導律下攔截彈與目標軌跡圖。由圖2可知,在式(18)任意時間制導律的指引下,攔截彈可以完成對目標的攔截;在有限時間和固定時間制導律的指引下,攔截彈也可以完成對目標的攔截。但在不同的制導律下,攔截彈的軌跡有所差別。

圖3為不同制導律下視線角變化圖。

圖3 視線角變化圖

圖3(a)表明視線角分別在7 s和5.5 s前收斂到期望的角度,兩種情形下,視線角收斂到期望的角度后都能繼續(xù)保持在期望的角度。圖3(b)表明有限時間和固定時間制導律下視線角誤差都在較短時間內(nèi)收斂。圖4為不同制導律下的視線角速率變化圖。由圖可知,視線角速率變化都較平緩。

圖4 視線角速率變化圖

圖5為滑模面變化圖。由圖可知,在不同滑模面下,運動點都能在較短時間內(nèi)到達滑動模態(tài)區(qū),并保持在零附近。

圖5 滑模面變化圖

圖6為不同制導律下攔截彈的加速度變化圖。

圖6(a)為任意時間制導律下的攔截彈加速度變化圖。由圖6(a)可知,設置不同的tf,控制器輸出都是先達到最大值,之后再慢慢地降低,最后在較小的范圍內(nèi)變化;另外,控制器輸出分別于7 s和5.5 s時發(fā)生突變,這是由于滑模面發(fā)生改變而引起的;tf=7 s的控制器輸出要明顯優(yōu)于tf=5.5 s的控制器輸出。圖6(b)為有限時間和固定時間制導律下的攔截彈加速度變化圖,加速度都有部分時間處于最大值。

相比于有限時間和固定時間制導律,任意時間制導律下的控制器輸出處于飽和階段的時間較短,顯得更加平緩。任意時間制導律的視線角誤差收斂時間更容易進行控制,設定不同的tf,視線角收斂速度不同,控制器輸出也不同。在合理范圍內(nèi),tf越大,視線角誤差收斂時間越長,控制器輸出越平緩。在此仿真初始條件下,可得當tf=7 s時,視線角的期望值范圍分別為θLd∈[52°,71°],φLd∈[15°,45°]。圖7為不同期望值角度下的攔截彈的軌跡圖。

圖7 不同期望值下的軌跡圖

圖8(a)為θLd取值65°,φLd分別取值15°,20°,25°,40°,45°時的視線角變化圖。圖8(b)為φLd=35°,θLd分別取值52°,55°,68°,71°時的視線角變化圖。

圖8 不同期望值下視線角的變化圖

4 結(jié)論

針對攻擊角約束的機動目標攔截問題,引入任意時間穩(wěn)定性理論和分段滑模,設計了任意時間制導律,使視線角誤差的收斂時間可以直接設定,從而解決了有限時間和固定時間制導律的收斂時間上界難求的問題。并通過數(shù)值仿真驗證了任意時間制導律的有效性,實驗結(jié)果表明,任意時間制導律可以在合理的范圍內(nèi),通過調(diào)節(jié)tf改變視線角誤差的收斂時間和控制器輸出情況。此外,還與有限時間制導律和固定時間制導律的仿真結(jié)果進行了比較,表明任意時間制導律控制器輸出要更加平穩(wěn)且更易于調(diào)節(jié)。