交流配電網分布魯棒優化模型及快速求解算法

魏超博，陳益廣，么莉，林濟鏗

（1.天津大學智能電網教育部重點實驗室，天津 300072；2.同濟大學電子與信息工程學院，上海 201804）

2021年我國提出了雙碳目標，以及為實現雙碳目標而形成的新型電力系統建設目標。到2030 年我國實現碳達峰，到2060年前后實現碳中和，以風電、光伏為主要代表的可再生能源發電量要占總發電量的70%左右。這意味著下一階段將有更多的風電及光伏，其中大部分電源將直接接入各級配網，再加上以電動汽車為代表的靈活負荷的數量劇增，主動配電網的特征及運行狀態的不確定性凸顯。為此，如何實現主動配電網的優化控制，成為一個倍受關注的研究課題[1-3]。

主動配電網的不確定性優化調度的研究大致可以分為隨機優化、機會約束優化和魯棒優化。

（1）隨機優化方法通過對不確定變量的抽樣生成大量場景，然后利用場景聚類獲得典型場景，構建包含這些典型場景約束的確定性優化模型，求解該模型進而獲得隨機優化模型的解。文獻[4]使用蒙特卡羅抽樣和場景削減策略生成配電網的代表性場景樹，進而建立了基于場景樹的交直流混合配電網多階段隨機優化模型。文獻[5]建立了交直流混合微電網多時間尺度隨機優化模型，并使用數學規劃法進行求解。上述基于隨機優化的配電網優化方法的優點是建模方便，該類方法目前大多采用聚類方法快速獲得代表性場景，但聚類方法受初始點的影響易陷入局部最優。

（2）基于機會約束優化方法的主動配電網優化調度研究。該類方法具有對特定問題的描述容易理解且易被工程應用的優點，當機會約束可以轉換為解析約束時，其求解速度接近于確定性問題的求解速度；但當無法獲得其解析表達式時，只能通過采樣把其轉換為確定性優化模型進行求解，此時實際上等同于隨機優化。文獻[6]構建了計及多種不確定性因素的配電網供電能力機會約束，通過抽樣把機會約束轉換為確定性約束，并采用遺傳優化算法進行求解。文獻[7]提出了多狀態配電網重構機會約束優化模型，通過抽樣把機會約束轉換為確定性約束，并采用蟻群算法進行求解。該類模型通常規模比較大，如果采用進化類求解算法，其求解速度過慢。

（3）基于魯棒優化方法的主動配電網優化調度研究。該類方法構建了一個包含不確定性約束條件的優化調度模型，然后在考慮所有可能的不確定變量取值的情況下，找到一個能保證較好性能的決策結果。文獻[8]構建了計及無功補償器和儲能的兩階段魯棒優化協調控制模型，使用二階錐松弛技術對模型進行凸化處理，然后采用列與約束生成算法進行迭代求解。文獻[9]建立了考慮不確定變量時序約束的不確定集合，進而構建了配電網重構分層魯棒優化模型，然后將其轉化為二階錐規劃模型進行求解。魯棒優化方法的優點是只需要不確定變量的上下界而無需不易獲得的分布信息，求解速度相對較快，但其缺點是模型解的保守性比較大。

為了克服魯棒優化解的保守性，分布魯棒優化模型受到了研究者的關注，其結合了隨機優化的經濟性及魯棒優化的魯棒性的優點，利用更多的信息構建不確定變量的概率分布約束集合，模型解可確保不確定變量在最惡劣分布情況下具有可行性[10-11]。文獻[12-13]構建了配電網分布魯棒優化模型，基于歷史信息獲得不確定變量的概率分布的范數約束集合。該類模型因利用更多的信息來構建不確定性變量的概率分布約束集合，從而使得模型解的保守性得到一定程度改善，但其缺點是計算更加復雜。

從上述分析不難看出，因機會約束優化模型大多數情況下等同于隨機優化模型，使得隨機優化模型和魯棒優化模型成為兩類主要的優化模型。隨機優化采用代表性場景來近似描述不確定變量的隨機性，導致模型規模偏大；魯棒優化通過不確定集合實現對不確定變量的描述，具有所需信息少和計算速度快的優點，但其模型解保守性偏大。兩類模型的共同問題是由于配電網的有功無功耦合度較大，需要考慮交流潮流約束，使得模型求解難度大幅增加。

為了簡化考慮交流潮流約束的不確定性優化模型，一些研究者提出了不同的模型轉換方法。文獻[14]根據三角函數的特性，將潮流約束中的功率傳輸方程進行錐變換，進而建立了混合整數二階錐規劃模型，但由于傳輸方程中電壓和相角存在強耦合，該方法對其直接松弛引入了許多約束條件，降低了錐松弛轉換所帶來的計算速度提升程度。文獻[15]采用歐姆定律描述網絡中的潮流，將非凸的支路容量約束進行二階錐松弛，并直接用求解器對二階錐模型進行求解，該方法雖然可以提高求解效率，但是由于對所有節點的相角進行了松弛處理，只適合于配電網，在應用于輸電網絡時因環網的存在而使得其計算精度無法滿足要求[16]。文獻[17]提出了一種適用性更廣的低非線性度網絡模型，通過迭代近似計算非線性網損項，進而大幅提升了模型的計算速度。

綜上所述，本文構建考慮風、光、負荷不確定性的交流配電網兩階段分布魯棒優化模型，并提出快速求解算法。該模型實現了在不確定性條件下的有載調壓器、無功補償器及儲能裝置的協調魯棒優化控制，模型解保證不確定變量在期望場景下的最優性和最惡劣概率分布下的可行性。該模型及求解算法具有如下優點：①采用分布魯棒技術大幅改善了魯棒解的保守性；②采用變量替換方法結合二階錐松弛技術對潮流方程進行轉換，實現了模型求解速度的大幅提升。最后，通過算例驗證了本文所提模型及轉換方法的有效性和正確性。

1 交流配電網分布魯棒優化模型

1.1 目標函數

為了最大化消納分布式電源出力，本文構建了交流配電網在期望場景下的開關操作成本和運行成本最小，以及在不確定變量的最惡劣概率分布下的有功網損、棄風棄光、切負荷和微型燃氣輪機MTG（microturbine generation）發電成本最小的分布魯棒優化模型，其目標函數可表示為

式中：βij,t、βji,t分別表示t時刻支路(i,j)是否指向節點j和節點i，其中βij,t=1表示t時刻支路(i,j)離開節點i并指向節點j；λij,t表示t時刻支路(i,j)中的開關狀態，λij,t=1表示t時刻開關閉合，λij,t=0表示t時刻開關斷開；nij,t為t時刻有載調壓器的檔位，為整數變量；為t時刻并聯電容器的投切數，為整數變量；表示t時刻儲能充電狀態，=1表示t時刻充電，=0 表示t時刻未充電；為t時刻儲能放電狀態，=1 表示t時刻放電，=0 表示t時刻未放電；Vi,t為t時刻節點i的電壓；θi,t為t時刻節點i的相角；和分別為t時刻節點i的實際有功和無功負荷；和分別為t時刻上級電網注入根節點i的有功和無功功率；和分別為t時刻MTG的有功和無功出力；為t時刻被電網消納的光電出力；為t時刻被電網消納的風電出力；Cλ為總的支路開關操作成本；P為不確定變量的概率分布；ΩPR為不確定概率分布的集合；EPR為數學期望；Closs為總的網損成本；CD為總的切負荷成本；CWT為總的棄風電成本；CPV為總的棄光電成本；CMTG為MTG 發電成本；cλ、cD、closs、cMTG、cWT、cPV分別為單位開關操作成本、單位切負荷成本、單位網損成本、單位MTG 發電成本、單位棄風電成本和單位棄光電成本；T為總的時間；Δλij,t表示t時刻交流支路(i,j) 的開關動作狀態，Δλij,t=1 表示t時刻支路(i,j)開關動作，Δλij,t=0 表示t時刻支路(i,j)開關未動作；Pij,t為t時刻由首端節點i流向末端節點j的支路有功功率；Pji,t為t時刻末端節點j流向首端節點i的支路有功功率；為t時刻節點i的負荷有功預測值；為t時刻最惡劣場景下的風電有功出力預測值；為t時刻最惡劣場景下的光電有功出力預測值；ΩL、ΩN、分別為所有支路集合、所有節點集合、接入風電的節點集合、接入光電的節點集合和接入MTG的節點集合。

1.2 約束條件

1.2.1 網絡輻射狀約束

1.2.2 交流網絡的潮流約束

交流支路傳輸功率為

式中，gij和bij為支路導納；Vi,t和Vj,t為t時刻支路ij兩端的節點電壓；θij,t為t時刻支路ij兩端節點的相角差。

節點功率平衡方程為

式中：為t時刻被電網消納的光電有功出力；為t時刻被電網消納的風電無功出力；和分別為t時刻儲能的充電功率和放電功率，因受式（29）～（31）的約束，故在中至少有一個為0；為t時刻并聯電容器組投入的無功功率。

1.2.3 網絡安全運行約束

線路傳輸容量約束為

式中，Pij_max和Qij_max分別為交流支路有功容量上限和無功容量上限。

節點電壓幅值的上下限約束為

式中，Vi_max和Vi_min分別為交流節點的電壓上限、下限。

1.2.4 有載調壓器運行約束

式中：kij,t為t時刻有載調壓器的變比；kij_min為有載調壓器的最小變比；Δkij為有載調壓器的每檔變比調節值；nij_max為檔位調節最大值；為含有有載調壓器的支路集合。

含有有載調壓器支路的潮流方程為

1.2.5 并聯電容器運行約束

1.2.6 上級變電站功率約束

1.2.7 燃氣輪機功率約束

1.2.8 可再生能源出力約束

式中，FWT為風電機組的功率因數。

1.2.9 儲能約束

1.3 不確定集

基于1-范數和∞-范數約束，本文根據典型場景構建了描述不同場景下的概率分布不確定性的置信集合ΩPR，即

式中：ps為第s個場景的概率；s為場景編號；Ns為經過削減后得到的典型場景總數；p為所有典型場景的真實概率ps(s=1,2,…,Ns)組成的向量；p0為所有典型場景的初始概率ps0(s=1,2,…,Ns)組成的向量；θ1為1-范數約束下的概率分布允許的偏差；θ∞為∞-范數約束下的概率分布允許的偏差。

由于聚類削減后得到的初始概率分布與實際分布之間存在誤差，因此基于抽樣生成的Ms個模擬場景，可以得到典型場景下的概率分布誤差的置信區間[18]，即

式中：Pr{}表示概率；α1和α∞為置信度，本文取值均為0.9；Ms為模擬場景總數。

由式（33）可得，θ1和θ∞的表達式為

2 模型轉換

由于第1 節所示模型為非線性非凸模型，其直接求解比較困難，故本文采用變量替換結合二階錐松弛對其進行凸化處理，在增加可解性的同時，提升模型的求解速度。

2.1 支路功率傳輸方程的轉換

因為式（15）所示的傳輸功率為非線性非凸表達式，故式（16）所示的包含支路傳輸功率的節點功率平衡方程為非線性非凸約束。為此，本文采用變量替換及二階錐松弛對其進行凸化處理。

變量替換的基本思路是將電壓的平方V2和相角θ作為獨立變量，經過數學變換，將方程的每項盡可能地轉換為包含V2項和θ項。考慮到配電網節點電壓在額定值附近波動，其幅值的標幺值接近于1，并且由于配電線路阻抗很小，其兩端節點相角差很小的特點，因此可對線路的功率傳輸方程做出近似變換。

對傳輸方程中的三角函數進行二階泰勒展開可得

由于式（37）中還存在電壓和相角的耦合項，將Vi,tVj,t、θij,t及視為獨立變量，在初值(Vi0,tVj0,t,θij0,t)附近對耦合項進行泰勒展開可得

由于節點電壓約束，節點電壓位于上下限之間，且其標幺值一般可近似為1。相應地，式（38）和式（39）可以進一步化簡為

式（37）中存在電壓的交叉項，故對Vi,tVj,t進行如下變換：

由式（42）可知，等式右側第1項為V2的線性函數；第2 項雖然為非線性項，但是由于配電網中兩節點電壓差的平方很小，整體所占比重不大。本文將V2作為獨立變量，并做出如下的近似數學變換：

于是，將式（40）～（43）代入式（37），并使用變量v和u替換V2和θ，可得

值得注意的是，式（45）中的網損項為二次項，使得式（45）仍然是非線性非凸約束，使用二階錐對其進行凸化處理。引入輔助變量vijs,t和uijs,t，即

對式（46）進行松弛可得

式（48）表示二階錐約束，將其轉化為標準形式，即

由于式（44）存在整數仍是非線性項，本文使用大M法將式（44）所示的非線性傳輸功率表達式轉換為線性不等式，即

式中，M為比較大的正實數。

經過上述處理，式（16）所示的包含支路傳輸功率的功率平衡方程已轉化為二階錐約束，可利用求解器進行求解。相應地，式（18）可改寫為

本文采用變量替換結合二階錐變換，充分利用潮流方程中功率傳輸的特點，使得每條支路僅有vi,t、vj,t和uij3個獨立變量。而文獻[14]直接采用二階錐變換進行凸化處理的方法，并沒有對功率傳輸方程中的非線性項進行處理，而是直接將ViVjcosθij及ViVjsinθij視為獨立變量，由于這4個變量之間存在耦合，需要額外增加2個約束條件。因此，對于一條支路，相較于直接進行二階錐變換方法，本文方法減少了1個變量和2個約束條件；對于L條支路，本文方法減少了L個變量和2L個約束條件。對于大規模系統，支路數L比較大，使得本文方法的計算速度更具優勢。

2.2 有載調壓器運行約束轉換

有載調壓器的潮流約束如式（19）所示，由于其存在離散變量和連續變量的乘積，屬于非線性約束，因此設置輔助變量ViO,t，令有載調壓變壓器的檔位一般為有限個，因此可將ki,t視為已知量，其變比集合為{ki,0,ki,1,…,ki,n} 。假設t時刻的變比為ki,s，則有

引入0-1 輔助變量zm,t來表示變壓器的運行狀態，其中zm,t≥zm+1,t(m=1,2,…,n-1) 。假設某一時刻輔助變量zm,t的值為zs，當zs=1且zs+1=0 時，則表示變壓器的變比為ks。于是可添加如下約束：

由式（56）可知，式（56）為線性約束，并且與式（19）等價。與交流功率傳輸方程類似，將式（20）轉化為

式中，vOs,t為二階錐輔助變量。

2.3 不確定集的線性化

由于式（32）中存在1-范數和∞-范數，且1-范數和∞-范數中含有的絕對值形式為非線性約束，為此本文引入輔助變量對絕對值做出如下的變換：

根據式（58），可將式（32）等價為

3 模型求解

為了便于求解，將交流配電網分布魯棒優化模型改寫為

式中：Cx為第1階段變量中開關操作的成本系數矩陣；x為第1階段變量的向量表示形式；X為第1階段變量的集合；Cy為第2 階段變量的成本系數矩陣；ys為第s個場景下第2階段變量的向量表示形式；Y為第2 階段變量的集合；A、a、B、b、D、d、E、e、F、G、f、H、L、h、Q、K、q、k為相應的系數矩陣。

由于式（60）為min-max-min 三層優化問題，直接求解比較困難，因此本文采用列與約束生成算法，將構建的兩階段優化模型分解為包含第1階段變量的主問題（master problem）和包含第2 階段變量的子問題（subproblem），然后再進行迭代求解。

3.1 主問題

將式（60）分解得到的主問題表示為

式中：fMP為主問題的目標函數；為經過第l次迭代求解得到的子問題的解；k為當前迭代總次數；γ為輔助變量；表示子問題產生的割平面。

3.2 子問題

將式（60）分解得到的子問題表示為

式中：fSP為子問題的目標函數；x*為主問題的解。

由于式（64）中存在兩層優化問題，不確定變量ps和第2階段變量ys相互獨立，因此可先求解內層的min 問題，再求解外層的max 問題。式（64）可改寫為

3.3 求解流程

使用列與約束生成算法的具體求解流程如下。

步驟1設置迭代下限LB=0、迭代上限UB=+∞及迭代次數k=1，并應用初始概率分布p0。

步驟2求解主問題MP，得到主問題的一組最優解，并更新迭代下限

步驟3將步驟2中得到的x*代入到子問題中求解，得到子問題的一組最優解及概率分布，并更新迭代上限

步驟4比較迭代下限和迭代上限，若UBLB ≤ε，則停止迭代，否則更新和ps0，并轉至步驟2，繼續迭代求解。

4 算例分析

4.1 算例介紹

本文使用經過改造的IEEE33節點交流配電系統進行算例分析，其拓撲示意如圖1 所示。其中，支路1 上接入有載調壓變壓器；將MTG 接入節點4和節點12；風力發電裝置接入節點24；光伏發電裝置接入節點32；儲能裝置接入到節點16；初始斷開支路為L33、L34、L35、L36、L37。系統的部分參數如表1所示。

表1 基本參數Tab.1 Basic parameters

圖1 33 節點交流配電網示意Fig.1 Schematic of 33-node AC distribution network

在Matlab R2020b 平臺中，利用yalmip 工具箱中Cplex 求解器進行求解。軟件環境為Windows11系統，硬件環境為Intel（R）Core（TM）i5-6300HQ CPU@2.30 GHz，16 GB內存。

由于風光出力及負荷需求的不確定性，本文假設風速服從Weibull分布、光照強度服從Beta分布、負荷服從正態分布[19]。根據風電和光伏出力的概率模型，使用蒙特卡羅法抽樣生成1 000 個模擬場景，然后使用后向削減法將生成的模擬場景進行聚類削減，最終得到了風電場出力的10 個典型場景、光伏電場出力的10 個典型場景及所有節點負荷需求的10個典型場景。經過計算，削減后風光出力和負荷需求的10 個典型場景的概率分布如圖2所示。

圖2 風光出力10 個典型場景的概率值Fig.2 Probability values of wind and PV output under 10 typical scenarios

4.2 模型及算法有效性分析

4.2.1 求解算法有效性分析

為了驗證本文求解算法的有效性，對于構建的分布魯棒模型分別采用本文所提算法與文獻[14]所提出的直接二階錐變換算法進行求解，求解時間曲線如圖3所示。

圖3 本文算法與文獻[14]算法求解時間曲線Fig.3 Curves of solving time when using algorithms proposed in this paper and Ref.[14]

由圖3可知，本文算法比文獻[14]模型轉換及求解算法的計算時間少很多。這是由于文獻[14]中所用模型轉換方法未對支路功率傳輸方程中電壓交叉項與三角函數耦合項進行處理，而是直接將其視為獨立變量并進行二階錐變換，導致引入了更多的變量及約束條件；而本文以電壓的平方和相角為獨立變量，首先對潮流方程進行了低非線性化處理，然后再將其轉化為二階錐約束，使得一個支路減少了一個獨立變量和兩個約束條件，這樣系統規模更小，求解速度更快。可見，隨著系統規模的增大，本文算法的計算時間相較于文獻[14]的計算時間增加要少很多。。

4.2.2 不同置信度對優化結果的影響分析

為了分析不同置信度對本文模型優化結果的影響，采用不同的置信度構建相應的不確定集，并對本文模型進行求解，計算結果如表2所示。可以看出，當置信度增加時，總成本逐漸增大，且當置信度較大時，總成本增加得更多。由式（33）和式（34）可知，當置信度增加時，概率分布允許偏差值變大，不確定概率分布偏離真實分布的可信程度也隨之變大，即概率分布的不確定性增大，進而導致總成本增加。

表2 不同置信度下總成本對比Tab.2 Comparison of total cost at different confidence levels

4.2.3 模型保守性改善分析

為了驗證本文方法對模型解保守性改善的有效性，分別與盒子不確定性魯棒模型（簡稱盒子魯棒模型）及確定性模型進行對比，相關的計算結果如表3所示。

表3 不同模型優化結果對比Tab.3 Comparison of optimization result among different models ＄

從表3 可以看出，與確定性模型相比，本文模型優化后得到的總成本更多，并且優化后的網損及切負荷成本更小。這是由于確定性優化模型僅考慮期望場景，沒有考慮最惡劣場景的發生，因此其總成本最小；而本文使用的分布魯棒優化模型考慮了不確定性因素，使得在最惡劣場景發生時具有可行性，因此導致其總成本相對較高。盒子魯棒模型優化得到的總成本最多，而本文模型優化后的總成本則要少一些。這是由于盒子魯棒模型僅考慮了盒子不確定集中的上下界，即最惡劣情況，其決策結果過于保守，因此為了保持系統穩定運行，使得MTG發電成本及棄風棄光成本的增加，進而導致總成本增加。然而最惡劣情況具有一定的隨機性，而分布魯棒優化模型考慮了最惡劣場景的隨機性，因此總成本會更少，相應地也改善了模型解的保守性。

4.2.4 儲能站對于增強網絡運行的經濟性及安全性分析

為了分析儲能站在配電網優化調度中的作用，本文設置4 個方案進行對比。方案1：不考慮儲能裝置；方案2：考慮儲能裝置，并設置容量為0.6 MW；方案3：設置儲能裝置容量為1.2 MW；方案4：設置儲能裝置容量為1.8 WM。不同方案的優化結果如表4所示。

從表4可以看出，因儲能裝置的加入，方案2比方案1 總成本減少了97.29＄，同時棄風、棄光成本明顯減少，切負荷及MTG 發電成本也有所減少。這是由于儲能裝置發揮了調峰平谷的作用，當風、光等電源出力增加時，系統最大化消納風光出力的同時，儲能裝置盡可能地儲存多余電能，減少了棄風棄光；當系統中風、光等電源出力減少時，儲能站又能充當電源，減少切負荷情況的發生。因此，在進行考慮不確定性的配電網優化時，儲能站既增加了風光能源的接納率，也降低了切負荷量；同時，從優化模型求解角度，儲能站的接入增大了模型解的可行域，使得模型更容易求解，優化效果也更好。

對比方案2、3、4可以看出，隨著儲能容量的增加，總成本逐漸減少，這表明系統應對不確定性的能力越來越強；然而方案3總成本比方案2減少了40.70＄，方案4總成本僅比方案3減少了6.39＄。這是由于受線路容量及充放電功率的限制，使得儲能裝置無法完全儲存多余的電能，也無法及時向系統提供電能，如果增大儲能容量會導致儲能成本增加很多，使得配電網運行的經濟性受到影響。因此，需要合理配置儲能站容量，否則其效益不能得到充分發揮和利用。

5 結論

本文提出了交流配電網的兩階段分布魯棒優化模型，第1階段模型是期望場景下的運行成本最小；第2 階段模型是基于第1 階段確定的整數變量的解及概率分布的不確定集，通過調節分布式電源出力、有載調壓器、無功電源和儲能充放電等，使得最惡劣概率分布下的系統網損成本、MTG發電成本及棄風棄光切負荷成本最小。本文將變量替換與二階錐松弛技術結合，把非凸的潮流約束轉換為錐約束，并將原模型轉換為混合整數二階錐規劃模型，使用列與約束生成求解算法實現了模型的快速求解。主要結論如下。

（1）構建了包括儲能站等的配電網調度分布魯棒優化模型，相較于盒子魯棒優化模型，具有較低的保守性。仿真結果表明，配置儲能站大幅改善了配電網優化調度模型的可解性、新能源接納率及優化效果。

（2）所提模型轉換方法相比于文獻[14]，每條支路均減少了1 個獨立變量和2 個約束條件，使得優化模型的規模更小，求解速度更快。隨著系統規模的增大，本文方法的求解速度更快。