復(fù)合材料縱橫剪切模量的有限元計算與試驗對比研究

王天琦 魏喜龍 王威力 李剛 魏程 單鵬宇 田忠恩

摘 要 層合板（±45°/90°/0°）是準(zhǔn)各向同性層合板，其剛度在板面內(nèi)各個方向上都相同。使用計算軟件，編寫程序代碼，運用有限元的方法，劃分有限元網(wǎng)格，計算了層合板（±45°/90°/0°）的縱橫剪切模量［1］。將計算結(jié)果與復(fù)合材料縱橫剪切模量試驗結(jié)果進行對比，得到數(shù)值模擬和試驗結(jié)果之間的誤差為0.89 %，一致性很好，說明該計算方法可用于工程計算模擬。

關(guān)鍵詞 復(fù)合材料層合板；準(zhǔn)各向同性；有限元方法；縱橫剪切模量

Research on Finite Element Method and Testing for

Determination Interlaminar Shear Modulus

of Composite Materials

WANG Tianqi，WEI Xilong，WANG Weili，LI Gang，

WEI Cheng，SHAN Pengyu，TIAN Zhongen

（Harbin FRP Institute Co.， Ltd.， Harbin 150028）

ABSTRACT Laminated plates （± 45°/90°/0°） are quasi isotropic laminates with the same stiffness in all directions within the plate plane. Using computational software， program code was written， and finite element method was used to divide the finite element mesh and calculate the longitudinal and transverse shear modulus of laminated plates （± 45°/90°/0°）［1］. The calculated results are compared with the transverse and longtitude shear modulus test results， it was found that the error between the numerical simulation and experimental results was 0.89%， indicating good consistency， indicating that this calculation method can be used for engineering calculation simulation.

KEYWORDS composite laminates；quasi-isotropic；finite element method；longitudinal and transverse shear modulus

通訊作者：王天琦，碩士研究生，助理工程師。研究方向為結(jié)構(gòu)力學(xué)。E-mail：15145094822@163.com

1 引言

纖維復(fù)合材料由于其強度高、耐腐蝕等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于航空航天和海洋等領(lǐng)域中。在復(fù)合材料的研發(fā)過程及工程應(yīng)用中，經(jīng)常要對不同的復(fù)合材料試件進行多種形式的性能試驗，以獲取所需的材料和結(jié)構(gòu)性能參數(shù)。纖維增強復(fù)合材料的剪切性能是其基本性能之一，是復(fù)合材料設(shè)計中必須考慮的重要問題。許多結(jié)構(gòu)鋪層的設(shè)計、優(yōu)化都是以剪切強度、模量數(shù)據(jù)作為依據(jù)。本文采用有限元數(shù)值模擬和試驗對比的方法，對聚合物基復(fù)合材料層合板縱橫剪切性能進行分析［2］。研究有限元數(shù)據(jù)模擬方法可在無試驗條件下快速為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件提供試驗數(shù)據(jù)的依據(jù)。

2 準(zhǔn)各向同性層合板的力學(xué)試驗

2.1 復(fù)合材料層合板縱橫剪切試件制備

按照GB/T 3355-2014要求制備準(zhǔn)各向同性層合板，試樣鋪層為［45°/-45°］5s，試件尺寸如圖1所示。圖1中h表示試樣厚度，為2 mm［3］。試驗中所用到的材料規(guī)格及供應(yīng)廠家如表1所示。

2.2 試驗結(jié)果

按照GB/T 3355-2014進行力學(xué)試驗，試驗在標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境下進行，記錄試件的寬度、厚度、試件受到的破壞載荷，并計算剪切強度和剪切模量。縱橫剪切試件參數(shù)及試驗結(jié)果如表2所示。

45°縱橫剪切強度計算如公式（1）所示。

S45°=P45°max2bh（1）

公式（1）中，P45°max為最大破壞載荷，N；b為試件寬度，mm；h為試件厚度， mm。

45°縱橫剪切模量計算如公式（2）所示。

G12=△P45°2bh（△ε2-△ε1）

（2）

公式（2）中，△P45°為載荷-應(yīng)變曲線上初始直線段的載荷增量，kN；b為試件寬度，mm；h為試件厚度， mm；△ε1為對應(yīng)于△P45°的縱向應(yīng)變；△ε2為對應(yīng)于△P45°的橫向應(yīng)變［4］。

根據(jù)上述試驗，按照鋪層［45°/-45°］5s制作碳纖維環(huán)氧樹脂復(fù)合材料層合板，獲得了碳纖維環(huán)氧樹脂復(fù)合材料試件的基本力學(xué)參數(shù)，如表3所示。

由表2中可看出，試驗數(shù)據(jù)有一定的離散，但離散程度不大。

3 準(zhǔn)各向同性層合板縱橫剪切模量計算方法

采用經(jīng)典層合板理論（CLT），四節(jié)點舉行層合板有限元計算方法計算變形與應(yīng)變的關(guān)系，得到縱橫剪切模量的計算值。

3.1 經(jīng)典層合板理論

與均質(zhì)材料所組成的結(jié)構(gòu)不同，復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的分析必須立足于對每一單層的分析。由于存在不同的組分層，決定了層合結(jié)構(gòu)的厚度方向具有宏觀非均質(zhì)性。為了得到層合結(jié)構(gòu)的剛度特性，必須弄清楚各單層的剛度特性；為了對層合結(jié)構(gòu)的強度做出判斷，必須首先對各單層的強度做出判斷。因此，單層的宏觀力學(xué)分析是層合結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)［5］。

經(jīng)典層合板理論，基于Kirchhoff假設(shè)，即直法線假設(shè)和法線長度保持不變，Z向應(yīng)力可以忽略假設(shè)，而建立的薄層合板中面變形方程。當(dāng)受到外部載荷作用時，層合板將發(fā)生面內(nèi)伸縮或者彎曲變形。層合板坐標(biāo)如圖2所示［6］。

直線段變形前后關(guān)系如圖3所示，圖3中以XZ平面內(nèi)的變形為例，B是中面上的一點，C是截面上的任意點，β是層合板中面的轉(zhuǎn)角，如公式（3）所示。

uc=u0-zcsinβ≈uc-zcβ

（3）

公式（3）中，β=w0x，注：在小變形情況下，才有β≈sinβ，根據(jù)上式，層合板上任意一點的位移u可以表示，如公式（4）所示。

u=u0-zw0x

（4）

同理在YZ平面內(nèi)，也可以得到任意一點位移v的表達式如公式（5）所示。

v=v0-zw0y

（5）

另外，經(jīng)典層合板理論中，任意一點的位移w與其中性面上的面外位移w0相等，如公式（6）所示。

w=w0（x，y）

（6）

公式（6）中，u、v、w分別為沿板厚范圍內(nèi)x，y，z方向的位移，中面上的點x，y，z方向的位移為u0、v0、w0，其中稱為板的撓度［6］。

后續(xù)計算過程，依據(jù)上述理論進行。

3.2 變形與應(yīng)變的關(guān)系

為了得到層合板的剛度矩陣和柔度矩陣，并且在有限元方法中運用，引入層合板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

為簡化問題，對所研究的層合板作如下假設(shè)［7］。

（1）層合板各單層之間粘結(jié)良好，可作為一個整體結(jié)構(gòu)板，并且粘結(jié)層很薄，其本身不發(fā)生形變，即各單層板之間變形連續(xù)。

（2）層合板雖由多層單層板疊合而成，但其總厚度仍符合假設(shè)，即厚度t與跨度L之比為（150～1100）＜tL＜18～110

（3）整個層合板是等厚度的。

在上述假設(shè)前提下，基于經(jīng)典層合板理論中位移的表達式如公式（7）所示。

u（x，y，z）=u0（x，y）-zw0x

v（x，y，z）=v0（x，y）-zw0y

（7）

w（x，y，z）=w0（x，y）

引入幾何方程，應(yīng)變與位移的關(guān)系式如公式（8）所示。

εx=ux，εy=vy，εz=wz

γyz=wy+vz，γzx=uz+wx，γxy=yx+uy

（8）

將層合板的變形帶入上式可得如公式（9）所示。

εx=ux=u0x-z2w0x2=εx0+zkx

εy=vy=v0y-z2w0y2=εy0+zky

γxy=uy+vx=u0y+v0x-2z2w0xy=γxy0+zkxy（9）

式中，kx，ky為中面的彎曲撓曲率，即曲率半徑的倒數(shù)，kxy為中面的扭曲率，εx0、εy0、γxy0為中面應(yīng)變［8］。

將總應(yīng)變整合后形式如下，其中第一部分代表的是面內(nèi)的應(yīng)變，第二部分代表的是彎曲引起的應(yīng)變，

如公式（10）所示［9］。

{ε}={εo}+z{k}

{εo}u0x

v0y

u0y+v0x

（10）

{k}=

2wx2

2wy2

-22wxy

將公式（8）代入單層板應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式，可以得到層合板中第k層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式［10］：

σxσyσz=Q11 Q12 Q16

Q12 Q22 Q26

Q11 Q26 Q66

εxoεyoγxyo+zkxkyzkxy

（11）

式（11）中Q為剛度矩陣，由公式（9）可知，層合板應(yīng)變由中緬應(yīng)變和彎曲應(yīng)變兩部分組成，沿厚度線性分布；而應(yīng)力除與應(yīng)變有關(guān)外，還與各單層剛度特性有關(guān)，若各層剛度不相同，則各層應(yīng)力不連續(xù)分布，但在每一層內(nèi)是線性分布的［11］。

3.3 四節(jié)點矩形層合板有限元計算縱橫剪切模量

有限元法的基本理念是假設(shè)將一個連續(xù)體分割成數(shù)目有限的小體（單元），彼此間只在數(shù)目有限的指定點（節(jié)點）處互相連結(jié)，組成一個單元的集合體以代替原來的連續(xù)體，再在節(jié)點上引進等效力以代替實際作用于單元上的外力。因此，可以選擇一個簡單的函數(shù)來近似地表示位移分量的分布規(guī)律，建立位移和節(jié)點力之間的關(guān)系，把有無限個自由度的連續(xù)體理想化為有限個自由度的單元集合體，使問題簡化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問題［12］。

基于復(fù)合材料層合板理論，結(jié)合3.1及3.2中的理論計算結(jié)果，建立并劃分的層合板有限元網(wǎng)格如圖4所示，在節(jié)點1，2，3上施加了邊界條件-即將所有自由度固定。

圖4 層合板試件有限元數(shù)值模擬圖

在節(jié)點13和15上，沿x軸施加25 N的力，在節(jié)點14上，沿x軸施加50 N的力，施加載荷為100 N。層合板試件厚度如公式（12）所示。

H=n·δ=10·0.24=2.4 mm （12）

式中，δ為單層厚度0.24 mm。

將節(jié)點8和節(jié)點11之間沿X軸的相對伸長量定義為ε1，沿Y軸的相對伸長量定義為ε2。則沿X軸的剪切強度和相對伸長量如公式（13）～（16）所示。

τ=F2bH=0.83333 MPa（13）

ε1=u（11）-u（8）a=0.0001274（14）

ε2=u（11）-u（8）a=0.000018（15）

γ=ε1-ε2（16）

即剪切模量如公式（17）所示。

G12′=△τ△γ=4035.61MPa （17）

試驗結(jié)果與有限元數(shù)值模擬結(jié)果之間的誤差如公式（18）所示。

ψ=G12′-G12G12=0.89%

（18）

數(shù)值模擬中用到的參數(shù)如表3所示。

由表2中數(shù)據(jù)可知，試驗結(jié)果與數(shù)值模擬得出的層合板剪切模量相差不大，誤差僅在1%以內(nèi)，存在誤差的主要原因是模擬使用的摩擦參數(shù)與試驗實際情況有差別，并且試驗使用的板料厚度也存在一定的偏差，這些因素的綜合影響導(dǎo)致了有限元模擬與試驗值之間的偏差［13］。

4 結(jié)語

基于經(jīng)典層合板理論，運用計算軟件并使用有限元分析方法對復(fù)合材料層合板的縱橫剪切試驗進行數(shù)值模擬，提出了一個含有前后處理的完整的四節(jié)點有限元程序算法，該程序算法可以為模擬層合板的拉伸、壓縮等力學(xué)性能提供計算基礎(chǔ)［14］。本文研究分析得到了層合板的縱橫剪切模量，根據(jù)數(shù)值模擬后的數(shù)據(jù)顯示，有限元方法在一定程度上可以得到比較準(zhǔn)確的預(yù)測復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能，能夠指導(dǎo)復(fù)合材料層合板鋪層結(jié)構(gòu)［15］，有限元數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)之間的誤差在1%左右，使用有限元數(shù)值模擬方法計算剪切模量的方法是可行的，可以滿足工程需要。

參 考 文 獻

［1］楊涵，周仕剛，薛元德.（±45°/90°/0°）s準(zhǔn)各向同性層合板的拉伸強度［J］.纖維復(fù)合材料， 2010（4）：5.DOI：10.3969/j.issn.1003-6423.2010.04.001.

［2］鮑宏琛，劉廣彥.準(zhǔn)各向同性纖維增強復(fù)合材料層合板的開孔拉伸破壞模擬［J］.復(fù)合材料學(xué)報， 2016， 33（5）：7.DOI：10.13801/j.cnki.fhclxb.20160112.005.

［3］劉寶良，夏軍.基于Mindlin理論的復(fù)合材料層合板的有限元分析［J］.黑龍江科技大學(xué)學(xué)報， 2004， 14（3）：171-173.DOI：10.3969/j.issn.1671-0118.2004.03.010.

［4］朝魯，張鴻慶，唐立民.一個計算微分方程（組）對稱群的Mathematica程序包及其應(yīng)用［J］.計算物理， 1997， 14（003）：375-379.DOI：10.1007/BF02947208.

［5］邵明.有限元法在復(fù)合材料層合板力學(xué)性能中的應(yīng)用研究［D］.浙江大學(xué)，2013.

［6］李真，陳秀華，汪海.基于重合網(wǎng)格法的含孔復(fù)合材料層合板有限元分析［C］//第17屆全國復(fù)合材料學(xué)術(shù)會議.中國力學(xué)學(xué)會;中國宇航學(xué)會;中國航空學(xué)會;中國復(fù)合材料學(xué)會， 2012. DOI：ConferenceArticle/5af1b392c095d71bc8cb4150.

［7］李斯華李良偉.復(fù)合材料層合板的層間應(yīng)力有限元分析［J］.四川建材， 2013， 039（001）：63，66.

［8］Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПб.： Нестор， 2001. 276 с.

［9］Жилин П.А. Рациональная механика сплошных сред： учеб. пособие. СПб.： Изд-во Политехн. ун-та， 2012. 584 с.

［10］Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота // Известия РАН. Механика твердого тела. 1994. № 1. C. 164-168.

［11］Кувыркин Г Н， Головин Н Н， Петрикевич Б Б， et al. Разработка теоретических основ и методов оценки несущей способности и прочностной надежности （риска разрушения） термонапряженных элементов конструкций из композитных материалов на основе углерода［R］. Российский фонд фундаментальных исследований， 1994.

［12］Демидов А С， Хомовский Я Н. Особенности расчёта и выбор критериев напряженно-деформированного состояния для тонкостенных конструктивных элементов из углерод-углеродных композитных материалов［J］. Sciences of Europe， 2016 （9-4 （9））： 80-84.

［13］王言磊，郝慶多，歐進萍.復(fù)合材料層合板面內(nèi)剪切實驗方法的評價［J］.玻璃鋼/復(fù)合材料， 2007（03）：6-8.DOI：10.3969/j.issn.1003-0999.2007.03.002.

［14］張紀(jì)奎，酈正能，關(guān)志東，等.復(fù)合材料層合板固化壓實過程有限元數(shù)值模擬及影響因素分析［J］.復(fù)合材料學(xué)報，2007， 24（2）：6.DOI：10.3321/j.issn：1000-3851.2007.02.022.

［15］許良梁，矯桂瓊，盧智先，等.含分層復(fù)合材料層合板剪切屈曲的實驗研究［J］.機械強度，2007， 29（4）：5.DOI：10.3321/j.issn：1001-9669.2007.04.011.