圓錐曲線中平面幾何特征的靈活應(yīng)用

吳明飛

［摘? 要］ 圓錐曲線中經(jīng)常涉及幾何圖形問題，其中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系至關(guān)重要，是解析幾何中重要的題型之一. 另外，特殊的幾何圖形的性質(zhì)也要深入挖掘，這樣才能更有效地解決問題.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；中點(diǎn)弦；等腰三角形；斜率

解析法是求解圓錐曲線問題最基本的方法，但往往有煩瑣的推理和計(jì)算過程. 而平面幾何特征通常能夠提供非常簡(jiǎn)潔的方法，幫助優(yōu)化解題過程. 筆者借助實(shí)例，探究平面幾何特征對(duì)解決圓錐曲線問題的作用，下文是教學(xué)中筆者的一些實(shí)踐和思考.

試題呈現(xiàn)

方法解析

注 由等腰三角形可得其底邊的中線與弦垂直，這里就涉及弦中點(diǎn)問題. 上述解法先聯(lián)立直線與橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過直線垂直建立參數(shù)的等量關(guān)系，最后由Δ>0求出k的取值范圍. 此解法思路明確，但運(yùn)算量不小. 進(jìn)一步思考以上求解過程，發(fā)現(xiàn)可以優(yōu)化解題步驟. 對(duì)于弦中點(diǎn)問題，我們常常利用點(diǎn)差法求解，更容易找到中點(diǎn)與已知條件之間的關(guān)系. 下面介紹由點(diǎn)差法得到的一個(gè)重要結(jié)論（結(jié)論1）.

注 上述解法運(yùn)用了結(jié)論1和等腰三角形的性質(zhì). 等腰三角形可以轉(zhuǎn)化到直線垂直，從而刻畫出直線斜率的數(shù)量關(guān)系，而中點(diǎn)弦也含有直線斜率間的關(guān)系，故將直線斜率作為橋梁，能更加有效、簡(jiǎn)潔地解決問題.

用解法2很好地解決了橢圓中的等腰三角形問題，對(duì)于雙曲線中的等腰三角形問題，情況又是怎么樣的呢？下面繼續(xù)研究利用直線斜率間的關(guān)系解決雙曲線中的等腰三角形問題，首先觀察下面這個(gè)結(jié)論（結(jié)論2）.

橢圓中的弦中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，可以保證直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而雙曲線是不封閉的曲線，那么弦中點(diǎn)落到雙曲線哪個(gè)區(qū)域可以保證直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)呢？這是必須解決的雙曲線中點(diǎn)弦存在性問題.

教學(xué)反思

1. 把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)化幾何特征

中點(diǎn)弦與等腰三角形相結(jié)合的問題，可借助平面幾何特征，通過有效轉(zhuǎn)化（將直線斜率作為橋梁），把該問題變得簡(jiǎn)單清晰，從而順利地解決了該問題. 從解析幾何的性質(zhì)突破，拓寬解題思路，化繁為簡(jiǎn)，才能使得解法靈活多樣.

2. 凸顯內(nèi)在聯(lián)系，挖掘思想方法

在教學(xué)中，要凸顯圓錐曲線和特殊幾何圖形的性質(zhì)以及內(nèi)在邏輯聯(lián)系，挖掘其隱含的思想方法，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握平面幾何特征和本質(zhì)，提倡學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高教學(xué)的實(shí)效性.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 林麗娟，楊萬(wàn)江. 關(guān)于圓錐曲線弦中點(diǎn)問題的解法再探［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2000（05）：21-23.

［2］ 黃富春. 雙曲線中有關(guān)中點(diǎn)弦存在性問題的探索［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006（03）：40-41.