構造兩類概率模型解決相關不等式問題

廣東省惠州市第一中學 (516007) 方志平

雖然數學的各分支都有自己的研究方向和重心,但相互之間并不存在不可逾越的鴻溝.構造概率統計模型解決問題,是一種富有創造性的思維方式,它為我們解題提供了另一途徑,不失為一種好方法,該方法對于培養學生思維的廣闊性和創造性,具有重要的意義.本文嘗試構造兩類概率模型解決相關不等式問題,旨在為探索解題新路拋磚引玉.

1.構造獨立事件,巧用概率性質證明

利用概率思想,通過構造恰當的概率模型,解決一些其他數學分科的問題,是一種別開生面的解題方法.概率的性質很多,其中概率的加法公式:設A,B,C是一個隨機試驗中的三個事件,則P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC).它對于解決一些不等式問題,常常表現出簡捷、明快、精巧、新穎的特點,使數學解題突破常規,具有很強的獨特性和創造性,也彰顯了數學的永恒魅力!下面舉例說明.

評注:本題是通過局部分析法,將“二倍角”與“和角”都化為單角,得到sinx+cosx-sinxcosx≤1.由于0≤sinx≤1,0≤cosx≤1.讓我們不難聯想到構造概率,利用兩獨立事件的加法公式幫助證明.

例2 已知0

證明:設A,B,C是三個相互獨立的事件,且P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.由概率加法定理和事件的獨立性得P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC).∴P(A+B+C)=a+b+c-ab-bc-ca+abc,由已知條件0

評注:由條件與所證不等式的結構特征,讓我們聯想、類比三個獨立事件的加法公式.可見觀察與聯想是尋找解題的突破口.

例3 若01-a-b-c-d.

評注:由于0

評注:由于a,b,c是三角形三邊長,且a+b+c=1, 于是要先尋找構成三角形時a,b,c所滿足的條件.另外,條件a+b+c=1在證題時多次被利用……