一道解析幾何試題的解法與推廣

江蘇省如東縣掘港高級中學 (226400) 許衛華

2023年3月江蘇省八市和浙江省9+1聯盟學校2023屆高三第二次調研測試的第21題是一道頗具探究價值的優質試題,本文在對該題進行解答的基礎上,對試題進行推廣探究,進而得到相應的結論.

1 試題呈現

2 解法探究

分析1:由題意設出直線l的方程,與E的方程聯立,消元、整理得到關于x的一元二次方程,然后利用韋達定理整體代入、“設而不求”求解.

下面從三個視角進行等式證明.

從而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

分析2:由題意知F是E的左焦點,而直線x=-2是E的左準線,直線l與m均過點F.

圖1

3 推廣探究

下面我們僅對上述聯考題的第(2)小題的結論進行推廣探究:能否將第(2)小題結論推廣到一般橢圓的情形?

相應地,我們有下面的結論2.