探尋本質 觸類旁通*
——一道解幾中線段比值問題引發的探究

廣東省中山市煙洲中學(中山市周建剛名師工作室) (528401) 周建剛 閆 偉

1 試題呈現

本題為2023年山東省棗莊市3月份高三模擬試題第21題,該題目的命題背景平和,內涵深刻,知識層面主要考查雙曲線的標準方程、幾何性質、直線與雙曲線的位置關系、線段比值問題,是解析幾何專題中的常規題目;重點考查學生運用坐標法研究圓錐曲線中的存在性問題,側重考查學生的數學運算、邏輯推理等素養;試題分兩問,第一問結合雙曲線的焦點坐標和漸近線方程求標準方程,屬于基礎題,第二問尋找滿足線段比值相等的點P,屬于圓錐曲線中探索性的問題,思維難度適中,但運算量較大,需要借助角平分線的性質以及根與系數的關系進行變形轉化,對學生的能力要求較高,較好地體現了對直線與圓錐曲線的核心內容和基本思想方法的考查[1].

2 試題推廣

將題目中的右焦點F改為x軸上的任意一點,不包含雙曲線的頂點和原點,其他條件不變,是否還存在點P滿足上述條件?經探究得到:

圖1

對于直線l與雙曲線交于不同支的兩點,該結論同樣成立,此處不再贅述,留給感興趣的讀者自行證明. 上述性質中F點的縱坐標為零時,就是性質2的結果,即它是性質3的特殊情況.

3 類比探究

將上述性質引申到橢圓和雙曲線中,可得到以下性質:

圖2

上述結論中,直線m實際是點F關于圓錐曲線對應的極線,因而P點本質上是過F點與其對應極線垂直的垂線與極線的交點,因此……