對一道征解題解答的質疑與探究

廣東省佛山市順德區樂從中學 (528315) 王志國

文[1]中,作者給出了第2604號問題的解答.該問題形式優美,引起筆者的興趣,也對此進行探究,并發現文[1]對于問題(2)的解答有誤,并得到問題的一個結論及猜想,故此成文,與大家分享.

一、第2604號問題及原解答的呈現

為了說明原解答的錯誤,先將文[1]中的第2604號問題及其問題(2)的解答過程摘錄如下:

題目已知a,b,c>0,且abc=1.

二、對解答的質疑

也可舉反例驗證:

綜上可知,問題(2)的解答有誤!

三、一個結論及證明

筆者對問題2604的問題(2)進行探究,得到一個結論:

若g(t)=g(a)min,則t是方程g′(a)=0的根,即是方程4a3+3a2-3a-1=0的根.

于是g(a)min是方程16y3+567y2-3402y-18225=0的根,由三次方程的知識(或借助數學軟件),可知此方程只有一個正實根y≈8.1086.從而可得y=g(t)=g(a)min≈8.1086,所以λ的最大值約為8.1086.

四、一個猜想

該猜想在數學軟件中驗證是正確的,但還沒有成熟的證明,期待大家的進一步討論與解決.

最后給出幾道類似的題目供大家作為練習之用: