運用實系數二次方程求復數范圍問題
——一道復數題的求解及變式探究

江蘇省揚中市第二高級中學 (212200) 朱衛紅

復數范圍內的實系數一元二次方程問題,原來一直是課外補充與閱讀知識,新教材(2019人教A版)中直接作為課本例題加以剖析與展示,并在例題的基礎上,給出了復數范圍內的實系數一元二次方程的求根公式,明確加強這部分知識內容的基本要求與綜合應用,也為相應命題提供依據.

1.問題呈現

2.問題剖析

此題以實系數二次方程為應用場景,利用實系數一元二次方程的虛根成對(兩虛根互為共軛復數)的基本結論,結合對應條件加以數學運算與邏輯推理,進而確定兩虛根的比值問題.該問題是基于新教材中實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,并在此基礎上合理把握相應的基本性質:

(1)當△<0時,實系數一元二次方程虛根成對(互為共軛復數);

而在實際解決問題中,可以從復數的基本性質視角切入,利用共軛復數的性質加以推理與分析;也可以從復數的待定系數法視角切入,利用復數的代數形式或三角形式引入參數,利用待定系數法來分析與運算等.這也是解決此類復數問題中比較常用的兩種基本技巧與方法.

3.問題破解

評注:根據實系數一元二次方程的虛根成對的基本性質確定兩虛根之間的關系,為進一步的性質應用與關系式恒等變形提供理論論據,而共軛復數的基本性質也是邏輯推理與數學運算的關鍵所在.而對于方程x3=1的根的求解,要注意因式分解以及求根公式的應用.看似簡單的一道二次方程問題,融合進比較多的基……