遞推:貫穿數列教學的始終

江蘇省溧陽中學 (213300) 徐 蘭 黃俊赟

遞推是數列的靈魂,是序列計算的一種常用算法,是按照一定的規律來計算序列中的每一項.其思想是把一個復雜的龐大的運算過程轉化為簡單過程的多次重復.已知一個數列{an}第1項(或前幾項),且任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系用一個公式來表示就是這個數列的遞推公式.這是數列的一種表示方法.遞推是數列的本質屬性,也是它與其他函數的最大區別,本文從遞推的視角來縱觀數列全章.

1.遞推的初步理解——等差、等比數列的通項、求和公式推導

2.遞推的深度應用——累加法、累乘法的另辟蹊徑

3.遞推的深刻理解——一般數列求和方法的豁然

4.遞推的綜合應用——高考命題的熱點

建立數列的遞推關系是數列的應用和其他數學知識結合的重要方法,也成為數列試題重要的命題方向.2023年全國新高考Ⅰ卷第21題,通過全概率公式構建了數列的遞推關系,是數列與概率的綜合.23年的上海數學高考題考察了數列與函數的綜合,也是運用迭代思想解決問題.

題目:甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

解:(1)設“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃……