有關相似三角形的動點問題探究

何麗君

摘要：點是構成圖形最基本的元素，其多樣的運動狀態(tài)與圖形結合構成了一道道靈活且精彩的綜合題.本文中從點的運動出發(fā)，研究點運動時形成的相似三角形，嘗試通過例題分析探討這類問題的解決方法.通過這樣的研究，一方面與更多教師形成教法上的交流，另一方面間接促進學生綜合素養(yǎng)的提升.

關鍵詞：點；相似三角形；分類討論思想；運動；策略

在教學過程中，時常會遇到點的運動類問題.由于動點處于不斷的運動中，教師講解時倍感壓力，而這類問題在練習與檢測中又經(jīng)常出現(xiàn).因此，研究點的運動問題非常有必要.本文中以點的運動形成相似三角形為切入點，探究圖形中點的運動問題的解決方法.

1 素養(yǎng)體現(xiàn)

動點問題一方面綜合了諸多知識點，另一方面對解決技巧有較高的要求.由此觀之，動點問題通常體現(xiàn)以下素養(yǎng)：

（1）畫圖能力，體現(xiàn)數(shù)形結合思想.由于點是運動的，因此分析其運動情況就離不開畫圖.換言之，將運動情況用圖形表現(xiàn)出來，既是解決這類問題的首要環(huán)節(jié)，也是數(shù)形結合的重要體現(xiàn)[1].

（2）問題分析能力，體現(xiàn)分類討論思想.點的運動形成相似三角形后，往往存在多個符合題意的三角形，這就需要對每種情況進行分類討論.

（3）符號化語言，體現(xiàn)轉化思想.根據(jù)點的運動情況畫好圖后，需將相關的線段用代數(shù)式表示出來，有利于分析和解決問題，同時也是將文字語言轉化成符號語言的過程.

下面結合一道題加以說明：

例題 如圖1，四邊形ABCD是一個長為8 cm、寬為6 cm的矩形.在BC，DC上分別有動點P，Q，點P的速度是2 cm/s，Q的速度是1 cm/s.現(xiàn)規(guī)定：點P從點B出發(fā)向點C運動，點Q從點C出發(fā)向點D運動，當一個點到達終點時，另一個點也立即停止運動.幾秒時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

本題出現(xiàn)了兩個動點，運動的速度、方向等為分析動點

狀態(tài)提供了重要條件.那么，

本題是如何體現(xiàn)上文中提到的素養(yǎng)的呢？

（1）通過動點的運動情況畫圖，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.由于P，Q兩點的運動，線段PQ與BC或DC形成的夾角大小不同.考慮到△ABC是直角三角形，點P，Q在運動的過程中并不能改變∠PCQ為直角這個事實，所以只需線段PQ與BC或DC形成的夾角中有一個與∠BAC相等即可.于是，可畫出圖2中的簡圖：

（2）根據(jù)畫出的圖形，利用分類討論思想解決問題，體現(xiàn)了分類討論思想.從圖2可以看出，∠PQC和∠BAC相等、∠QPC和∠BAC相等是動點運動時存在的兩種情況.

（3）根據(jù)點的運動情況，將相關線段用代數(shù)式表示出來，并根據(jù)需要列方程解決問題，體現(xiàn)了轉化思想.在確定兩種情況后，接下來需進行分析，而分析中的第一步就是根據(jù)兩點的運動狀況用代數(shù)式表示出相關線段.如下：

設t s時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似.

情況一：如圖2（1），有△ABC∽△Q1CP1，此時可知

BP1=2t，CP1=8-2t，CQ1=t，DQ1=6-t.

情況二：如圖2（2），有△ABC∽△P2CQ2，此時可知

BP2=2t，CP2=8-2t，CQ2=t，DQ2=6-t.

接下來，由相似三角形的性質列出方程并解出t.最后，解決本題[2].

2 解法說明

既然點的運動產生的相似三角形問題蘊含著如此豐富的素養(yǎng)，那么這類問題具體應如何解決呢？下面進行說明：

首先，根據(jù)動點的運動情況畫出符合題意的圖形.由于∠ABC=∠PCQ=90°，根據(jù)相似三角形的判定，若△ABC和△PCQ相似，應有以下兩種情況：

情況一：∠PQC=∠BAC，如圖2（1）.

情況二：∠QPC=∠BAC，如圖2（2）.

其次，分類討論并計算.根據(jù)以上兩種情況，分別利用相似三角形的性質列方程.

本題的解決過程如下：

解：設t s時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似.根據(jù)題意，有以下兩種情況.

情況一：∠PQC=∠BAC，如圖2（1）.此時易證得△ABC∽△Q1CP1.

情況二：∠QPC=∠BAC，如圖2（2）.此時易證得△ABC∽△P2CQ2.

3 反思與啟示

本題是在已經(jīng)確定一組對應角相等的情況下尋求另一組對應相等的角.為了簡化問題，將∠BAC設為參考對象，只需尋找∠PQC或∠QPC與之相等即可.最后，分析出了兩種不同的情況.

這種“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法，對解決“因動點產生的相似三角形問題”有重要作用.如下面這道中考真題：

（2022·湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和N，點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以1個單位長度/s的速度運動，連接PF，過點P作PE⊥PF交y軸于點E，設點F運動的時間是t s（t＞0）.

（1）若點E在y軸的負半軸上（如圖3所示），求證：PE=PF；

（2）在點F運動過程中，設OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；

（3）作點F關于點M的對稱點F′，經(jīng)過M，E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE.在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q，O，E為頂點的三角形與以點P，M，F(xiàn)為頂點的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由.

不難發(fā)現(xiàn)，本題第（3）小題與例題類似，故“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法的啟示在解決此小題時可發(fā)揮作用.因此，本題第（3）小題的解決思路簡要分析如下：

首先，根據(jù)題意確定1＜t＜2或t＞2兩種情況.然后，在每種情況中根據(jù)點的運動情況，同時結合“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法，得到1＜t＜2時△OEQ∽△MPF或△OEQ∽△MFP兩種情況，如圖4；t＞2時△OEQ∽△MPF或△OEQ∽△MFP兩種情況，如圖5.最后，進行分類討論和計算.

4 結語

綜上所述，圖形中的動點雖然常令人眼花繚亂，但掌握其分析方法，就可以化繁為簡.本文中“先確定一個參考對象后尋找其他與之相等的角”的方法，適用于因動點產生的相似三角形、全等三角形等問題中，是解決這類問題一種行之有效的方法.作為教師，應在講解中多滲透該種方法，直至學生能掌握并靈活應用于問題解決中[3].

參考文獻：

[1]朱煒煒.關于相似三角形動態(tài)問題的研討[J].中學生數(shù)學，2020（18）：11-14.

[2]陳國玉，鄭利年.相似三角形中的分類討論[J].數(shù)理化學習（初中版），2020（10）：28-30.

[3]李松.例談相似三角形分類討論問題[J].中學數(shù)學教學參考，2021（15）：63-64.