活用基本圖形 解反比例考題

李斌

1 基本圖形及基本結(jié)論

證明：由圖1可知，四邊形OABD的面積

S＝S△AOC＋S梯形ACDB.

從另一角度，四邊形OABD的面積S＝S△AOB＋S△BOD.而S△AOC＝S△BOD，所以S△AOB＝S梯形ACDB.

2 運用結(jié)論，簡潔明快

2.1 直接運用

分析：由于反比例函數(shù)的解析式已知，因此A，B兩點的坐標可求出，再直接運用本文的基本圖形即可求出△AOB的面積.

點評：本題融合一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象，運用它們各自的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)與方程的思想及本文的基本結(jié)論進行解答，比較容易得出答案.

2.2 與比例線段貫通

分析：由BE∶BF＝1∶3，想到分別過點E，F(xiàn)作x軸的平行線，利用線段成比例，用含某一字母的式子表示點E，F(xiàn)的坐標，再運用本文的基本結(jié)論可求出△EOF的面積.

解：如圖4，作EP垂直y軸于點P，EC垂直x軸于點C，F(xiàn)D垂直x軸于點D，F(xiàn)H垂直y軸于點H.

由本文的基本結(jié)論，得

點評：容易發(fā)現(xiàn)“基本結(jié)論”中的圖形隱藏在題目的圖形中，自然想到運用基本結(jié)論解題.解題的關(guān)鍵是如何作出輔助線，很好地用上兩條線段的比這個關(guān)鍵條件.

2.3 與等長線段相融

分析：由本文的基本結(jié)論知，要求△AOB的面積，只需求出點A，B的坐標.點B的坐標已知，且點B在反比例函數(shù)圖象上，則反比例函數(shù)解析式易求.由三角形相似求出點A的橫坐標，則點A的坐標就解決了.過點A作x軸的垂線，用比例線段解決之.

解：如圖6，過點A作AF垂直x軸于點F，過點B作BG垂直x軸于點G.設AF交BD于點E.

因為BD垂直于y軸，所以BD平行于x軸，則BD⊥AE.

結(jié)合本文基本結(jié)論，可知

點評：由等長線段OC＝CA，構(gòu)造相似三角形，并利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合點B的坐標求出點A的坐標，再利用本文的基本結(jié)論可輕松解決問題.

3 打破模式，靈活處理

解：如圖8，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E.

易知CE∥AB，而C是OA的中點，則

CE是△OAB的中位線.

又點C，D都在反比例函數(shù)的圖象上，則

由S△OCD＝9，C為OA中點，知S△OAD＝2S△OCD＝18，

所以S△OAD＝S△AOB－S△ODB＝18.

點評：本題沒有求出C，D兩點坐標，也沒有將△OCD的面積轉(zhuǎn)化成直角梯形的面積.解題時，要根據(jù)題目特點，靈活運用適當?shù)姆椒ǎ纫莆栈灸Ｐ停忠皶r打破模式化，不能僵硬照搬模式.

D，若△COD的面積為20，則k的值等于.

解：如圖10，過點C作CE⊥AO于點E，連接BE.

而k＝xy＝OE·CE＝3a·4a＝12a2＝24，所以k＝－24.

點評：本題所給的三角形與本文的基本圖形完全相同，但并未利用基本結(jié)論求解.解題時要根據(jù)具體題目的特征靈活運用，千萬不能硬套模式.

4 結(jié)束語

數(shù)學家懷特指出：“數(shù)學就是對模式的研究”.學習數(shù)學的重要方式就是：對生活實際進行提煉、總結(jié)，建立起數(shù)學模型，模仿數(shù)學模型，運用數(shù)學模型，并打破數(shù)學模式，再建新的數(shù)學模型，在不斷循環(huán)中逐步構(gòu)建數(shù)學的學科體系，形成解決數(shù)學問題的能力.利用基本模型、基本結(jié)論是提高解題速度、提高思維能力的重要途徑，但千萬別讓“數(shù)學模型”變成“思維枷鎖”.我們應從不同的方面對問題進行全面思考，用多思來戰(zhàn)勝對“第一印象”的依賴.

在平時的解題基礎上，我們要立足題目的解答，深度思考，挖掘出簡單圖形的豐富內(nèi)涵，建立聯(lián)系，進而借題發(fā)揮，通過各種圖形與知識的聯(lián)系，將綜合問題分解、簡化.教學中要關(guān)注核心知識，關(guān)注基本圖形，加強思維引導，將方法、技能落到實處.