“動”中求“靜”，“動”“靜”互化

袁媛

摘要：在初中平面幾何的學(xué)習(xí)中，要運(yùn)用運(yùn)動變化的思路研究圖形，讓靜止的幾何圖形“動”起來，化抽象為具體，讓變化的圖形形象直觀地揭示出恒定不變的幾何規(guī)律，把相關(guān)的知識點(diǎn)串聯(lián)起來，這樣有助于提高分析問題和解決問題的能力.本文中結(jié)合中考試題，對常見的動態(tài)幾何類題型的解題思路與方法進(jìn)行了初步探索.

關(guān)鍵詞：“動”“靜”轉(zhuǎn)化；動“點(diǎn)”類問題；動“線”類問題；動“圖”類問題

馬克思主義哲學(xué)告訴我們，運(yùn)動是絕對的，靜止是相對的.在幾何的學(xué)習(xí)過程中，我們發(fā)現(xiàn)“靜”只是“動”的瞬間，是運(yùn)動的一種特殊形式，“動”與“靜”是可以相互轉(zhuǎn)化的.如果能讓靜止的幾何圖形“動”起來，就可以幫助學(xué)生加深對圖形概念的準(zhǔn)確理解，探索圖形的性質(zhì).教師可以用動態(tài)圖形創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)性的教學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生對問題的討論與思考；還可以通過動態(tài)圖形讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成功的樂趣.更重要的是，動態(tài)的幾何圖形能夠把與幾何、代數(shù)相關(guān)的知識聯(lián)系起來，其中蘊(yùn)含著動靜結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的思想方法，能夠在運(yùn)動變化中發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，不斷提高學(xué)生綜合分析、解決問題的能力.

在初中幾何教學(xué)中，與動態(tài)圖形有關(guān)的問題主要有以下幾類.

1 動“點(diǎn)”類問題

動點(diǎn)問題是中考數(shù)學(xué)中最常見的題型，涉及面非常廣泛.解決動點(diǎn)類問題的思路是化動為靜，以相對靜止的瞬間去尋求量與量之間的關(guān)系.

解析：如圖2所示，在矩形ABCD中，設(shè)AB=2a，BC=3a，運(yùn)動時(shí)間為t，則CD=AB=2a，AD=BC=3a，BN=v2t，AM=v1t.在運(yùn)動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA′B′N，所以B′N=BN=v2t，A′M=AM=v1t.若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好在CD的中點(diǎn)重合，則DB′=B′C=a.在Rt△B′CN中，∠C=90°，

思路與方法：本題考查矩形背景下的動點(diǎn)問題，通過動態(tài)圖形，將矩形的性質(zhì)、對稱性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)、三角形相似、全等的判定與性質(zhì)、勾股定理及翻折的運(yùn)動形式等知識點(diǎn)聯(lián)系起來.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及三角形全等的判定定理，利用翻折及中點(diǎn)性質(zhì)，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)求出相應(yīng)線段的長是解題的重要方法.

2 動“線”類問題

動線類問題的特點(diǎn)很明顯，動線在運(yùn)動過程中可能會出現(xiàn)多種情況，盡管情況不同，但解題的思路是一致的，那就是“以靜制動”，通過特殊的靜止?fàn)顟B(tài)去尋找量之間的關(guān)系.

例2 （2022年江蘇省鹽城市中考第14題）如圖3，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處，線段AB掃過的面積為.

解析：[HTF]由AB=2BC=2，得BC=1，所以AD=BC=1.因?yàn)閷⒕€段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以AB′=AB=2.

思路與方法：首先由動線AB旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB′=AB=2，再由銳角三角函數(shù)可求出∠DAB′=60°，進(jìn)而求出∠BAB′，最后根據(jù)扇形面積公式即可獲解.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、扇形的面積公式、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識點(diǎn).會觀察和分析動態(tài)圖形，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3 動“圖”類問題

動圖類問題常常結(jié)合圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換，提出相關(guān)問題.解題的思路主要是從尋找圖形運(yùn)動的特殊情況中打開，進(jìn)而靈活運(yùn)用相關(guān)幾何知識（如平行四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識、銳角三角函數(shù)、直角三角形等）解決問題.

例3 （2022年江蘇省蘇州市中考全真模擬試題第18題）在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，點(diǎn)D在AC上，且AD=22，E是射線AB上一動點(diǎn)，連接ED并將ED繞著點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°得線段EF，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在直線AC上時(shí)，可求得AE的長等于.

解析：第一種情況.當(dāng)ED順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF時(shí)，如圖4，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M.因?yàn)锳B=BC=6，∠ABC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形，于是∠A=45°.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠DEF=60°，EF=ED，所以△DEF是等邊三角形，故∠DEM=30°.設(shè)DM=x，則DE=2x，

第二種情況：當(dāng)ED逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF時(shí)，如圖5，作EM⊥AC交AC于點(diǎn)M.

思路與方法：首先要考慮到圖形順、逆兩種旋轉(zhuǎn)情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△DEF是等邊三角形，過點(diǎn)E作EM⊥AC，又可證得△AEM是等腰直角三角形，再設(shè)DM=x，利用勾股定理便可求出x的值，最后利用勾股定理即可求出AE的長度.本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn).能夠根據(jù)題意，按照ED順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，分別畫出動態(tài)圖形進(jìn)行分類解析是解題的關(guān)鍵.

綜上所述，解決動態(tài)幾何問題的基本思路是：把握運(yùn)動規(guī)律，尋求運(yùn)動中的特殊位置，在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的普遍規(guī)律.在具體解題過程中，要用運(yùn)動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運(yùn)動與變化的全過程，找出其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并要特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系.在解答動態(tài)幾何類題型時(shí)，經(jīng)常要用到數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想和方程思想等重要的思想方法.